圆锥曲线练习3

1、解析几何练习3一、选择题1.直线y=x与抛物线y2=4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为(A) 482.直线y(B) 56=2k与曲线9k2 +y2 =18 k(C) 64( D) 72x| (k R,且k h0)的公共点的个数为(A)13.抛物线(B)2y2 =4x的焦点为(C)3F,准线为(D)4l，经过F且斜率为庐的直线与抛物线在 x轴上方的部分相交于点 A, AK丄I，垂足为K,则AKF的面积是A. 4B4.设F1, F2分别是双曲线3弟2+ 9C. 4序的左、右焦点.若点D . 8p在双曲线上，且PF-尹=0，则I P?；+P

2、vr=B.A.庐5.设Ft、F2是双曲线(A)墮26.曲线X2a2 -A.(1,3)y2b22庐2 2x ya2 b2 -西2_1 ( a0,b 0)=1的左、右焦点。D.2庐若双曲线上存在点A,使/ F1AF2=90o且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为(B)(C)(D)庐的两个焦点为2F1、F2,若P为其上一点，且|PF|=2| PF|,则双曲线离心率的取值范围为7.已知F1、A. (0,1)B. (1,3f2是椭圆的两个焦点，满足B8. 已知点P是抛物线A.西29. 双曲线B. 3(0,1 C .2=2x上的一个动点，则点C.岳D.(0,吃)2D. 3, -He)M厂MQd的点M

3、总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是D .座,1)2P到点(0, 2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为C.(3,+ 比)2 2丄=1 a 2 b 2若M F2垂直于x轴，则双曲线的离心率为72(a A 0 , b 0 )的左、92右焦点分别是F1, F2,过F1作倾斜角为30 0的直线交双曲线右支于M点,C.D. _ 210.椭圆2 丁 a=1( a A b0)3的左、右顶点分别是AB,左、右焦点分别是 F1,F2 .若| AF 1 |, | F1F21，1 FiB|成等比数列，则此椭圆的离心率为A. IB.411 .设F1,F2是椭圆52x ,丿E ： -=1( aaC .丄2

4、0)的左、右焦点,bb2 F 2P F1是底角为30的等腰三角形，则A.1B . 2 C23E的离心率为.3 D .412.如图，中心均为原点 0的双曲线与椭圆有公共焦点,将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A. 3B . 2 C .石 D13.如图，f1,F2分别是双曲线C： _yl_1a2 b 2.J 2(a, b 0)P为直线X =汶上一点,_ 245M ,N是双曲线的两顶点若M ,O , N二-ti ”亠F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M若| M F2 | F1F2 |，贝y C的离心率是A. 2 拓B3.品 C .2D14已知f1

5、,f2为双曲线x2 -y2 =2 的左、右焦点，点P在C上,|PF|=2 | PFj，贝y COS*1 PF2 =A. LB . 3C. 1D.4的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线4545V15.椭圆X2 y2b 0 的右焦点为F,其右准线与X轴的交点为A.在椭圆上存在点 P满足线段AP的垂直平分线过点订+产 b 0 )F,则椭圆离心率的取值范围是(A (0, 7(B)(0, 12216.若直线y =x +b与曲线(C)庐 _1 , 1)(D) 1 , 1)2y _3k有公共点，贝y b的取值范围是A. 11 42 湮二、填空题17.已知F，F2为双曲线B.-7,3C.-1,1 42/2D.

6、120 ,32X2a0，b 0且a Hb)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标X = b 上; PF1 f2的内切圆的圆心必在直线x=a上；.pf1F2的内切圆的圆心必在直线. pf1F2的内切圆的圆心必在直线 OP上；. pf1F2的内切圆必通过点(a,0).其中真命题的代号是_18. 已知抛物线y=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(X1,y 1),B(x 2,y 2)两点，贝U yJ+yj的最小值是 19. 双曲线X2 y2 -右顶点为A,右焦点为F,过F平行双曲线的一条渐近线的直线交双曲线于点B,贝AfB的面积为_ _91620. 已知椭圆冬二原点.下面

7、四个命题：.(ab 0)的右焦点为F,右准线为l ,离心率e=庐 过顶点A(0,b)作AM丄l ,垂足为M,则直线FM5的斜率等于.21.在平面直角坐标系中，椭圆X2yl _1(2 abA0)的焦距为2，以0为圆心，a为半径的圆，过点1堑0 作圆的两切c线互相垂直，则离心率e =22.过抛物线M FBIX22 py ( p 0)的焦点 F作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则三、解答题2+ 2 =1(a 0)过点 b(I)求椭圆C的方程；(n)当过点P (4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点 A,B时, 上取点Q，满足23.设椭圆C :2X2 aM( J2,1)

8、，且左焦点为 f1(-J2,0)冋耳*讦词，证明：点Q总在某定直线上24.如图、椭圆X2 +y2 Ra Ab A0)的一个焦点是 F ( 1 , 0), O为坐标原点. a2 b2在线段(I)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；(n)设过点F的直线l交椭圆于 A B两点.若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2 +|OB25若椭圆C :x2十y2 ja 3 F)的离心率为 e,直线l : y=x+2与以原点为圆心、椭圆 G的短半轴长为半径的圆 O相切(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C的左焦点为F1，右焦点为F2,直线l 1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线 于|

9、1,垂足为点P，线段b 0)b的左、右焦点，过F2作倾斜角为一的直线交椭圆D于A , B两点，F,3到直线AB的距离为3 ,连结椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4 .(1)求椭圆D的方程;(2)过椭圆D的左顶点P作直线11交椭圆D于另一点Q .若点N(O,t)是线段PQ垂直平分线上的一点,且满足NP .NQ =4,求实数t的值;过P作垂直于h的直线l2交椭圆D于另一点G，当直线h的斜率变化时，直线GQ是否过X轴上的一定点，若过定点,请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.答案:一、选择题1. 解析：直线y=x_3与抛物线I y 2 = 4x程组得(y ，消元得丿=X 一3 的面积

10、为48,选A.2. 将 y =2k 代入 9k2x2 + y22y2 =4x交于A, B两点，过A, B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，联立方I x =1I x-10 X +9 =0，解得 i，和（12J=9， |AP|=10 ，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形 APQB=6=18k2 x2 2 2 2得: 9k x +4k =18k x=9|x| -18 X +4 = 0，显然该关于| x|的方程有两正解，即 X有四解，所以交点有 4个，故选择答案 D。，经过F且斜率为J3的直线y = J3(x -1)与抛物线在X轴上 23)， AKF的面积是4J3，选Co3.解.抛物线y2 =

11、4x的焦点F(1，0)，准线为I : X =_1 方的部分相交于点 A(3，2j3)，AK丄l，垂足为K( 1,24.解.设F，F2分别是双曲线X2 + =1的左、9=2 |PO =| F1F2 | = 2/10，选 B。右焦点.若点P在双曲线上，且PF F,=0 ,则PF t +PF 22 25. 解.设F1, F2分别是双曲线二_与=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使/ F1AF2=90o,且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，a b|AF1|=3，双曲线中 2a=| AFt|-| AF 2|=2，2 J| AF,| |AF2|2 - 710，离心率 e，选B。常26. B解：

12、由于左右是对称的，不妨设 P在右支上(即x0) 根据双曲线的焦半径公式，有PF1=2PF2 等价于 ex+a=2(ex-a)得到ex=3a从而e=3a/x又因为x需要大于a，故e 3因此，1e 37. C 8. A 9. B10. 【解析】椭圆的顶点 A(a,0), B(a,0),焦点坐标为F,c,0), F2(c,0)，所以|aF 又因为|afJ，|F1F2，|F1B|成等比数列，所以有4c2 =(a c)(a +c) e亠匹，选B.a 511. 【解析】因为 F2PF1是底角为30 ”的等腰三角形，则有F2F F2P ,因为NPFtF3a1drcO122口 仃 L 22：=a c ，即 5

13、c ：= aa c,F1B a+c ， F1F2，所以a = J5c，离心率为= 2c.2 = 30 0，所以 N PF 2 D = 60 011F2D =-PF 2=F1F2所以，即 -c = X2c = c，所以：= 2c，即U =A，所以椭圆的离心率为222a 412. B【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为2a ，由M ,0,N将椭圆长轴四等分， 则2a =2X2ae = 3，选 C.4，即 a ：= 2 a ，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为cceac，则双曲线的离心率为 e=， e =， 一：=2. a aea13 .【解析】由题意知直线F1 B的方程为:=bx +b

14、，联立方程组cy = b X + b,c 得点Q,4 ），联立方程组xyc a c aX 丄=0一 abb丄y = X 牛b, c得点P（七匚，b），所以lx yc + a c+ a+ 2=0lab2PQ的中点坐标为(貯b2；)，所以PQ的垂直平分线方程为：22y-j-c(x-b b所以e王.214 .【解析】2警），令y =0，得b故选B解：由题意可知，a|PF1 |=472,| PF2 |=272,+ PF -F2FZPF! PF 2cos N Ft PF 2 =2 IPF122 2X =c(1 +Z),所以 c(1=3c，所以 abb=J2 =b,”.C = 2 ,设 | PF |=2x

15、,| PF2 |=XF1F2 =4,(4血？+(272) -42x272x47?222口仃22=2b =2c -2a ，即 3a =2c ,则 |卩匸|_|卩F2|=x=2a = 272 ,故弦 定 理 可 得15. D 解： 设 P（acos 0 ,bsin 在椭圆上存在一点0)P满足线段AP的垂直平分线过F ,PF = AFPF = Jacos q -c)2 + (bsin q)2b2联合解得(e2 +cos q =1),而一K cos0 b0e1),2因此，恒有OA + OB AB(ii）当直线AB不与x轴重合时,2设直线AB的方程为：x=my+1,代入 笃+笃=1, a b2 2 2+

16、 b -a b =0,K2c2.2b -a b22 2a +b m整理得(a2 +b2m2) y2 + 2b2my 缶M2b2m所以y1 +丫2 = ”2a +b m2+ ob因为恒有OA AB ，所以N AOB1为钝角.即 OA QB = (x1, y, )x2, y2 x1 x y1 y0 恒成立.2X1X2 +$“2 =(my1 +1)(my2 +1) +丫2 =(m +1) y1 y m( y y2 12 2 2 2 2 2(m + 1)(b -a b ) 2b m +12 2 2 2 2 2 a +b ma +b m2 2 2 2 2 2 2-m a b +b -a b +a0,所以

17、-niab+b2- a2b2+a20 对 m R恒成立, 即 abma2 - ab+b对 m R 恒成立.当m R时，a2b2m最小值为0,所以a2-22. 2.2,2.2.2.4a a b - b a 0, b0,所以 a0,1 +府十 1 _75、a,a或a(舍去)，即2 2a2b2+b2,2(i ) (ii) , a的取值范围为(士 , +处).2+ k2解法二:（I）同解法一，（n）解：（i）当直线1 y2x=1代入T +牛=1,a bl垂直于x轴时，2 22 b (a -1) _yA =”一1.因为恒有 I OA2+| OB2| AB2,2(1+ yA)i,即解得a1 或a2匸2(x

18、i,yi), B(X2,y2).2亠=12 I :b(ii )当直线l不垂直于x轴时，设A2x设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 一a/冃八 22.2、22,22.2-2.2_得(b+a k )x-2 a k X+ a k a b=0,2 2 2 2 2 2+件2a ka k -a b故 X1+X2=, Xc Xc =b +a kb +a k. . 2 2 2因为恒有I oa +|OB |AB ,所以 x21+y21+ x22+ y22( X2-X1)2+( %-y1)2得X1X2+ yyv。恒成立.2 2 2 2X1X2+ y1y2= X1X2+k(X1-1)( X2-1)=(1+ k

19、) X1X2-k(X1+X2)+ k22222,2“22,2 丄，2、，222b2 +a2k2=“2、a k -a b 2 2a k +，2 =(a -a b + b )k -a b b +a kb +a k由题意得(a2- a2 b2+b2) k2- a2 b20时，不合题意；a=虫；22 2.2.、 . a- a （a -1）+ （ 巫（舍去），b2 +b2=0 时,b2+b2_22 八42a-1)0,1+5/5a2综合(i ) (ii ),a的取值范围为（1+/5、,+ 处).225.解：(1 )由 e史得32b pi a2-e =3由直线I ： X - y + 2=0与圆x2 +y2=

20、b2相切,得二=|b|所以,b J2=U2 , a =2 2所以椭圆的方程是 L+L=1.32（2）由条件，知|MF2|=|MP| 。即动点迹C2的方程是y2 =4x 。M到定点F2的距离等于它到直线l1 : -1的距离，由抛物线的定义得点 M的轨（3 ）由（2），知 Q（ 0，0 ）。设2y 1R(,y1),s(42Z,y2),所以4QR22 y2 y1RS =(,y2 -yJ.4JJ2由QR 忘=0,得 y1(y2 -y1)16中 y 1 (y2 yi) =0.16因为 yt Hy2,化简得 y = y 1 -y1(10 分)22256二 y2 = y1 +2y1yt =也时等号成立+ 3

21、2 2j256 +32 =64 (当且仅当2y12562y1).（12 分）4 2屁冷 p2+y所以当y2 =64,即y2 = 8时,|QS扁26解：（I）设F，F2的坐标分别为（=85.故IQS |的取值范围是 6 J5. +必）。-C,0）, （C,0）,其中 C aO由题意得AB的方程为：y = J3（x -c）因F1到直线AB的距离为3 ,所以有-73c -73cJ3 +1=3,解得 C = J3所以有a222c-b =c =3由题意知：1 X2a X2b =4 ,即 ab =2 2联立解得：a =2,b =12X所求椭圆D的方程为d+y2 =1(n)由(I)知：P(2,0),设 Q(x1,y1)根据题意可知直线11的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线11的方程为y =k(x +2)把它代入椭圆D 的方程，消去 y ,整理得：(1 +4k2)x2 +16k2x +(16k2 _4)=0由韦达定理得16，则1