方向导数与梯度【专业教育】

1、第七节 方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,1,学习幻灯,一、问题的提出,一块长方形的金属板，受热,产生如图温度分布场,设一个小虫在板中逃生至某,问该虫应沿什么方向爬行,才能最快到达凉快的地点,处,问题的实质,应沿由热变冷变化最剧烈的 方向爬行,2,学习幻灯,需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率,从而确定出温度下降的最快方向,引入两个概念：方向导数和梯度,方向导数问题,梯度问题,3,学习幻灯,讨论函数 在一点P沿某一方向的 变化率问题,二、方向导数,4,学习幻灯,当 沿着 趋于 时,是否存在,5,学习幻灯,记为,6,学习幻灯,的方向导数为,7,学习幻灯,方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧

2、极限,原因,8,学习幻灯,证明,由于函数可微，则增量可表示为,方向导数的存在及计算公式,那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在,且有,计算公式,9,学习幻灯,故有方向导数,两边同除以,得到,10,学习幻灯,故x轴到方向l 的转角,解,方向l 即为,11,学习幻灯,解,由方向导数的计算公式知,1）最大值; （2）最小值； （3）等于零,例2 求函数,的方向导数,并问在怎样的方向上此方向导数有,12,学习幻灯,故,13,学习幻灯,推广:三元函数方向导数的定义,对于三元函数,它在空间一点,沿着方向l的方向导数,可定义为,14,学习幻灯,方向导数的计算公式,15,学习幻灯,解,令,故,方向余弦为,

3、求函数,处的指向外侧的法向量,16,学习幻灯,故,17,学习幻灯,三、梯度,18,学习幻灯,上的单位向量,19,学习幻灯,结论,x轴到梯度的转角的正切为,函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值,梯度的模为,20,学习幻灯,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截,得曲线,它在xoy面上投影方程,等高线,称为等值线,等值线,几何上，称为等高线,21,学习幻灯,例如,22,学习幻灯,等值线,上任一点处的一个法向量为,表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同,它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等,梯度的模就等于函数在这个法线方向的,方向导

4、数,值线,23,学习幻灯,问题,上山时，如何选择最快的方向,计算方法课程中的一种计算策略,瞎子下山法,24,学习幻灯,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值,梯度的概念可以推广到三元函数,25,学习幻灯,解,由梯度计算公式得,故,则在,处梯度为,例4 求函数,在点,处的梯度，并问在何处梯度为零,26,学习幻灯,一、方向导数,注意方向导数与一般所说偏导数的区别,小结,1.定义,2.计算公式,27,学习幻灯,二、梯度,注意梯度是一个向量,定义,方向：x轴到梯度的转角的正切,模,28,学习幻灯,三、方向导数与梯度的关系,方向与取得最大方向导数的方向一致,模为方向导数的最大值,梯度,其中,29,学习幻灯,思考题,问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大,答：梯度方向,答,30,学习幻灯,作 业,P.