概率论与随机过程：3.5 两个随机变量函数的分布

1、第3次课 教学内容： 两个随机变量函数的分布。 教学目的及目标： 熟练掌握求随机变量函数的分布的基本方法，会求几种类型（三类和、商、最大最小）函数的分布 教学重点： 分布函数法及其应用 教学难点： 分布函数法的正确使用，以及变换定理的理解和使用,3.5两个随机变量函数的分布,主要问题： 已知(X,Y)的分布,求 Z=g(X,Y)的分布,一、离散型随机变量函数的分布,例1,解,等价于,概率,例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布为,求随机变量 的分布律,例3 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为,解,一、离散型随机变量函数的分布,1、离散型随机变量和的

2、分布,例1 若离散型随机变量X、Y独立，且P(X=k)=ak , k=0,1,2,； P(Y=k)=bk , k=0,1,2, 。求Z=X+Y的概率函数,解,a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2,解：依题意,因此,i=0,1,2,j=0,1,2,Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , 且,即Z服从参数为 的泊松分布,例2 设X和Y相互独立，XB(n1, p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布,解: Z的全部可能取值为0,1, n1+ n2，而且当k=0,1,n1+n2时, 有,所以，Zb(n1+n2, p,回忆二项分布的实际背景，我们

3、可给出本问题的一种直观解答,同样，Y是将上述Bernoulli试验独立重复n2次时事件A出现的次数,考虑一个Bernoulli试验，设试验的结果为 和A，且A发生的概率为p,于是，Z=X+Y 就是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，故Z B(n1+n2, p,因为X B(n1,p),所以X 是将上述Bernoulli试验独立重复进行n1次时事件A出现的次数,这个结果很容易推广至多个的情形: 若Xi b(ni, p), i=1,2,m,且X1,Xm独立,则X1+X2+Xmb(n1+n2+nm, p,上两例的结果通常称为泊松分布与二项分布的可加性，即,若 X B (n1, p), Y B

4、 (n2, p), 且X,Y独立,则 X + Y B ( n1+n2, p,若 X P (1), Y P (2), 且X,Y独立,则 X + Y P(1+ 2,解一:记1-p=q ，则P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n,P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n,例3 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布,n=1,2,2、离散型随机变量函数分布的其它例子,解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1,P(max(X1,X2) n )-P(max(X

5、1,X2) n-1,P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1,n=0,1,2,问题：如何求Y=min(X1,X2)的分布,留作课下思考,练2: 设(X,Y)的分布律为,求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律,解: (1) V=Max(X,Y)可能取值为：0,1,2,3,4,5,PV=0=PX=0,Y=0=0,PV=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0 +PX=1,Y=1 =0.01+0.01+0.02=0.04,类似可求得V取其它值的概率，从而得到V的分布律为,V=0,V=1,V=2,V=3,V=4,V=5,2) U=Min(X

6、,Y)的可能取值为：0，1，2，3 PU=i=PX=i,Yi+PXi,Y=i,i=0,1,2,3. U的分布律为,U=0,U=1,U=2,U=3,3) W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,W的分布律为,W=0,W=1,W=2,W=3,W=4,W=5,W=6,W=7,W=8,结论,问题：设(X,Y)为连续型随机向量,其概率密度为f(x,y),又Z=g(X,Y)为X与Y的函数（g连续）,若Z是连续型随机变量, 求Z的概率密度fZ(z),然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z,二、连续型随机变量函数的分布,一般方法：分布函数法先求Z的分布函数Fz(z,例4: 设(X,Y)的

7、概率密度为 x, y+,求 的概率密度,解: 先求Z的分布函数FZ(z,于是可得Z的概率密度为,当z0时, FZ(z)=0，当z0时,1. Z=X+Y 的分布,由此可得概率密度函数为,由于 X 与 Y 对称,所以也有,特别地，当 X, Y 独立时,fX(z)与fY(z) 的卷积,由公式,解,例5 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度,得,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,则,若(X ,Y,则,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示,也即,于是,解,*)

8、例,此时,例,证明,同理可得,故有,当 X, Y 独立时,由此可得概率密度为,解,例6,所以,则有,故有,生存函数,或,或,推广,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数,留作课下练习,例7,解,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn,为极值,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值,三、随机变量变换的分布定理,设(X,Y)具有概率密度f(x,y), U=g(X,Y), V=h(X,

9、Y)。 问题：如何由(X,Y)的密度求(U,V)的概率密度？ 对此， 我们不加证明地给出如下定理,ii) g,h在A中有连续偏导数； (iii)变换()的雅可比行列式J在A中处处不为0,i) 是一一对应,中，当(x,y)A时,(u,v)的值域为G，且变换()满足,定理. 设(X,Y)有联合密度f(x,y),且区域A(可以是全平面)满足P(X,Y)A =1,在变换,则(U=g(X,Y),V=h(X,Y)的概率密度为,其中x(u,v),y(u,v)是由变换()决定的反函数,利用此法求 商的分布： Z = X / Y,例8: 设X,Y相互独立,都服从参数为=1的指数分布,而U=X+Y,V=X/Y.

10、(1)求(U,V)的联合密度,(2)分别求U,V的概率密度,(3)讨论U,V的独立性. （教材p.136:30） 解: 首先(X,Y)的概率密度为,记 A=(x,y)|x0,y0,显然有P(X,Y)A=1, 对变换(): 当(x,y) A时,(u,v)的值域为G=(u,v)|u0,v0,且此变换满足定理中的条件(i)(ii)(iii)。由变换()可解得,所以,由前述定理即得(U,V)的概率密度为,2) 由(U,V)的联合密度可求出U,V的概率密度fU(u),fV(v,3)容易看出,对于任意的u, v，恒有f(u,v)= fU (u) fV (v) , 所以U,V相互独立,练4: 设X,Y相互独

11、立,服从同一分布N(0,1) ,而 (R,)是平面上随机点(X,Y)相应的极径,极角,即有关系,求(R,)的联合密度（教材p.136:31,由定理得(R,)的联合密度为,解:变换,的定义域A=(x,y)|(x,y)(0,0,值域G=(r,)|r0,02,满足定理的条件,并且,顺便我们看出R,的概率密度分别为,并且R与是相互独立的,注： 在求Z=g(X,Y)的概率密度时,可以再找一个X与Y的函数W=h(X,Y)使得变换 满足定理的条件,于是利用定理的结论就可以求出（Z,W）的联合 密度，再由联合密度便可求出Z的概率密度。 可以用此方法导出X+Y，X/Y，XY，X-Y等简单函数的概率密度的一般公式,小结 本章以二维随机变量为主，讨论了多维随机变量的 (1)联合分布 (2)边缘分布 (3)X,Y的独立性 (4)条件分布 (5) 二维随机变量函数的分布。 这些内容不难推广到高维随机变量，请同学们自学,2若XN(,2)，则,3若Xi服从二维正态分布 N(i,