导数练习题及答案

1、章末检测、选择题1.已知曲线y= X2+ 2x 2在点M处的切线与x轴平行，则点 M的坐标是（）A . ( 1,3)B . ( 1, 3)C. ( 2, 3) D. ( 2,3)答案 B解析/ f(X)= 2x + 2 = 0, x= 1.f( 1) = ( 1)2 + 2X ( 1) 2= 3.A M( 1, 3).2.函数y= x4 2x2+ 5的单调减区间为（）( 8, 1)及(0,1)(1,0)及(1 , + 8 )C.(1,1)(8, 1)及(1 ,+8 )答案 A解析y = 4x3 4x= 4x(x2 1)，令 y 1时，y= In（x + 1）为减函数,y = f(X)的图象过第

2、一、二、三象限的一故二次函数y = f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限.6. 已知函数f(x) = X3 + ax2 x 1在( 8,+8 )上是单调函数，则实数a的取值范围是 （）A. （-8,-也）B. /3, /3C.（逅，+8） D.（-V3,也）答案 B解析 f （x）= 3x2 + 2ax 1 0 在（8,+）恒成立，= 4a2 12 0? 3 a 0)，贝U y = f(x)()A .在区间(e, 1)(1 , e)内均有零点B .在区间(e，1), (1, e)内均无零点C.在区间(e，1)内无零点，在区间(1, e)内有零点

3、D .在区间(e, 1)内有零点，在区间(1, e)内无零点答案 C解析由题意得x 3f(x)=，令 f (x)0 得 x3;令 f (x)0 得 0x 3; f (x)= 0 得x= 3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3 ,+S)为增函数，在点x= 3处有极1 e 1 1小值 1 ln 3 0, f(e) = 3 1 0.9设函数f(x) =3 +0x2 + tan 0,其中0 0 ,器，则导数f (1)的取值范围是()A . -2,2 B .迈，C. V3, 2 D血 2答案 D解析 / f (x) = x2sin 0+ x Vscos 0, f (1) = sin

4、0+ Vscos 0= 2(1sin 0+当cos 0)n=2sin( 0+ 3).0 0訐0+n-于寸2n厂n2 - sin( 0+ 3) 1.V2 0得 x 2 或 XV 0;由 f (x) 0,f(2) = 1 3解析由题意应有f (x) = 3/+ a0，在区间(1,1)上恒成立，则 a3x2, x ( 1,1)恒成立，故a 3.13.在平面直角坐标系 xOy中，点P在曲线C: y= x3 10x + 3上，且在第二象限内，已知 曲线C在点P处的切线的斜率为 2,则点P的坐标为 .答案 (2,15)解析 y=3x2 10= 2? x=戈,又点P在第二象限内， x= 2,得点P的坐标为(

5、一2,15)14.函数f(x) = x3+ax2+bx+a2,在x = 1时有极值10,那么a, b的值分别为答案 4,11解析f(x)= 3x2 + 2ax + b,f (1) = 2a +b+ 3= 0,2f(1) = a + a + b +1 = 10,2a+ b = 3a = 3a2+ a + b= 9b = 3a = 4，或f，当a = 3时，x= 1不是极值点，a, b的值lb = 11分别为4， 11.三、解答题15.设|a1，函数f(x) = x3 |ax2 + b( 1 x 1)的最大值为1,最小值为 当，求常数a,b.解令 f(X)= 3x2 3ax= 0,得 xi = 0

6、, X2= a.f(0) = b, f(a)=勢 b, f( 1) = 1 |a + b,f(1) = 1 3a+ b23因为 3a1，所以 1 2a 0在-,刁上恒成立,2 1 1即12x2 a 0 在 1, 上恒成立, a w 12x2 在1, 1 上恒成立， aw (12x2)min = 0.当 a= 0 时，f (x)= 12x2 0 恒成立(只有 x= 0 时 f(X)= 0).二a = 0符合题意.1 1若f(x)在 1, 1上为单调减函数,1 1则f (x)w 0,在2 2上恒成立,2 1 1即12x2 aw 0 在 1, 1上恒成立, a 12x2在2, 1上恒成立,a(12X

7、 )max= 3.当 a= 3 时，f (x)= 12x2 3= 3(4x2 1)w 0 恒成立(且只有 x=g时 f (x) = 0).因此，a的取值范围为aw 0或a 3.17.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r米，高 为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为 160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000 n元(n为圆周率).将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解 因为蓄水池侧面的总成本为100

8、2rn = 200nh(元)，底面的总成本为160n2元,所以蓄水池的总成本为(200 nh + 160 n2)元.又根据题意 200 nh + 160 n2= 12 000 n,所以1 2 h=石(300 4r )，从而因为r0 ,又由h0可得r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当 r (5,573)时，V(r)0,故 V(r)在(5,/3)上为减函数.由此可知，V(r)在r = 5处取得最大值，此时 h = 8.即当r = 5, h= 8时，该蓄水池的体积最大.17.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)一133的函数解析式可以表示为：y=

9、 128 000x 80X+ 8(0 xw 120).已知甲、乙两地相距 100千米.(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?解(1)当x= 40时，汽车从甲地到乙地行驶了100 = 2.5小时,133要耗油(128000X 403 40+ 8) X 2.5= 17.5(升).当速度为X千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h(x)升,X.,、，13310012800153 qc3x 800 x 80依题意得 h(x)=(芮000X 80x + 8).=面X +M 匸(0X

10、W 120),h(x)=640 话=140r(0xw120).令 h(X)= 0,得 x= 80.当 x (0,80)时，h(X) 0, h(x)是增函数.当 x= 80 时，h(x)取到极小值 h(80) = 11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值.答 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 升.当汽车以80千米11.25 升./时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为13118.已知函数 f(x)= 3x aln x ya R,0).(1)当a = 3时，求曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)

11、的单调区间;(3)若对任意的x 1 ,+8 )，都有f(x) 0成立，求a的取值范围.1 , 1解(1)当 a = 3 时，f(x) = 3x3 3ln x 3, f(1) = 0,23-f (x)= x J, f (1) = 2,曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线方程 2x+ y 2= 0.,2 a(2)f (x) = x x=厂(x 0).当a 0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0 ,+s).x当a 0时，令X(0,徧(需，+ s)f (X)一0+f(x)减极小值增f (x)= 0，解得x=需或x=需(舍).函数f（x）的递增区间为（鴿，+8）,递减区间为（0,萌）对任意的X 1 ,+8),使f(x) 0成立，只需对任意的X 1 ,+8)