椭圆的性质及常考题含答案

1、MFt | + I MFA2a= |只抚|时，M的執迹为线国FiJa椭圆的性质文字语言：平面内与定点&的距庫的和零常数大 “ | ）的点的轨迹（或集合）叫橄榊岡2ga W I斫就的轨迹刃椭阅定文冠用撕阀上帕点P科轉孕焦点构成占卩刀几2b0）的焦点分别是 Fi（0， 1）, F2（0,1），且 3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;设点P在这个椭圆上，且| PF| | PB| = 1,求/ RPR的余弦值.解析：（1）依题意知 c = 1,又 c2= a2 b2,且 3a2 = 4b2,2 223 21 222V X所以a a = 1,即；a = 1. a = 4.因此b = 3.从而椭圆方程为

2、；+ ： = 1.4443由于点P在椭圆上,所以 |PF| + |PF| = 2a = 2X 2= 4，又 |PF| | PF| = 1，所以 | PF| = |, | PF| =-3,又| F1F2I = 2c = 2，所以由余弦定理得cos / RPF =| PF| 2+ | PF| 2 | F1F2I 2,2 I PF| PF5 32 X 2X 235.即/ RPR的余弦值等于35.题型三求椭圆的离心率例4已知椭圆的两个焦点为Fi、F2,A为椭圆上一点，且 AF丄AB，/ AFi = 60,求该椭圆的离心率. 解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如右图所示.由AF丄AF2知厶AFF2

3、为直角三角形，且/ AFFi = 60.由椭圆定义知 |AF| + | AF2| = 2a，| F1F2I = 2c，则在 Rt AF1F2 中，由/ AEFi = 60 得 | AFF = c， | AF| = ：3c，所以 | AF| + |AR| = 2a = （ ,；3+ 1 ）c，所以离心率 e= C= ;3 1 .a点评：求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法：直接求出a和c的值，套用公式 e= c求得离心率；a巩 固】设椭圆的两个焦点分别为F1, F2。过F2作椭圆长轴的垂线交于点P.若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率(答案,2 1)2 2x

4、y巩固】椭圆g +丘=1( a b0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是Fi,F2.若| AF|,IF1F2I,|FiB|成等比数列，则此椭圆的离心率为解析：由椭圆的定义知，|AF|= a- c,| F1F2I= 2c,|BF|= a+ c.因为 | AF| ,|FiF2|, | BF|成等比数列，因此 4c2= (a- c)( a + c)，整理得5c2= a2,两边同除以a2得5e2= 1,解得e =5 .题型四 椭圆的标准方程求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法 (先定性，后定型，再定参)2 2当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 y=1m n

5、2 2(m0, n0且m n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 Ax + By =1 ( A0, B0且Am B)，这种形式在解题中更简便身，；3和点，1，求椭圆的标准方程.33解析：设椭圆的方程为2 2mx+ ny = 1( m0, n0, nr5 n).因为点身,-3和点今2, 1都在椭圆上,3nK所以-3 2+ nK ( 3)2 = 1,nK2 2+ nKi23=1,解得m= 1,1n = 9.2m3 + 3n= 1, 即8m7 + n= 1,所以所求的椭圆的标准方程为22 y x+ =1.两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A B两点，且 AB3,则C的方程为( )2(A)2

6、2 2x y (D)1542 22*x yy 1(B)322 2x y 1( C)143【答案】C13【解析】如图，|阴|二上|血|=二|珀鸟|二2,由椭圆定义得 O2|卫耳|=茁_?0 在血A卫耳码中，*耳f=|卫耳I； 4|九乌=(彳)；由得df = 2) j2 = 3 WS C 的方程丸H = 1 应选 CL43【考点定位】瞞園育程的求薛.x2 y23【巩固】1.设椭圆C:孑+器=1(ab0)过点(0,4)，离心率为5.求C的方程;4 求过点(3,0)且斜率为：的直线被C所截线段的中点坐标.5【解析】将(qQ优入匕的肓程得云=1尸4,即1 几尸冻雲的方程为奈#】(2)过点(3,0)且斜率

7、为*的直线方程为 产*(l 3)U设直銭与7的交点为卫(JT，龙)*方皿 龙)！将直娱方程尸去Ld)代入疋的右程，得Z l $3对 r=ijc 9jS0 解得3的中点坐标7=宁=专=宁=彳3十船引=0 _6亍飞2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点的坐标分别为(一4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0);焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).解析：(1)由于椭圆的焦点在 x轴上，2 2x y设它的标准方程为 -+ 2= 1(ab 0).a b 2a= 2+2= 10,. a= 5.又 c = 4,. b = a2 C = 25 16= 9.2 2故所求椭圆的方程为 +

8、y = 1.259 由于椭圆的焦点在 y轴上，2 2y x设它的标准方程为 2+ b= 1(a b 0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，402+ 2= 1， a b2a = 4，? , 20 1b = 1.2+ 2= 1 a b2故所求椭圆的方程为y . + x = 1.4题型五：椭圆与弦1.若直线与椭圆有两个公共点 M(x“ yj, N(X2, y2),可结合韦达定理，代入弦长公式 MN = 加k2)(xX2)24X2】 或mn 二. (I 1 )(y iy2)2 4yiy2或MN =1 k2 x1 x2 求距离.例7 已知椭圆的长轴长是短轴长 的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y

9、二x + 2所得线段AB的长为耳2.5(1)求椭圆方程；求厶OAB勺面积.2 2x y解析：(1) t a = 2b,.设椭圆方程为 花+孑=1,y=x + 2,2 2 2 2联立 x y得 5x + 16X+ 16- 4b = 0,+ 14b2 十 b21,2 2 2 = 16 - 20(16 4b )= 16(5b - 4) 0,16X1 + X2= ,5216 4bX1X2=.5设直线与椭圆交于 A(X1, y , B( X2, y2)两点，22 5b 4= 16, b = 4, 即卩 b= 2. a= 2b= 4.2 2椭圆方程为76+ 4 = j2点O到直线y = x+2的距离1 S

10、AOB=2i i6气胚 厂 i6丨 AB d= 2-X ：2 =-.点评：直线I的斜率为k，与椭圆的两个交点坐标为A(xi, yi) , B(X2, y2)，则弦AB的长为 | AB = p 1 + k/ m= 16. m= 4,1 xi X2I =Q 1 + k2 (xi + X2) 2 4xiX2.2 2x y巩 固】i.在椭圆 = i上求一点47p,使它到直线I : 3X 2y i6 = 0的距离最短.3解析：设与椭圆相切并与 I平行的直线方程为 y= x+ m2 2x y22代入+ 7 = 1，并整理得 4x + 3mx+ m 7 = 0.2 2 = 9m16( m 7) = 02.故

11、两切线方程为y= 3x + 4和y = 3x 4.3x2 y2如图，显然y=十一4与椭圆+专=1的切点P距I最近,切点坐标为2, 4.2 2x y已知斜率为2的直线经过椭圆三+ 丁= 1的右焦点Fi,与椭圆相交于A, B两54求弦AB的长.解析：方法2 2x y因为直线I过椭圆5 + 4 = 1的右焦点F1(1,0),又直线的斜率为2,所以直线l的方程为y = 2(x 1),2x y 2 = 0,即2x y 2 = 0.由方程组 x2y2+ -= 1545得交点 A(0， 2) , B 3,- 2 2|AB =：( xa xb)+(yA yB )0 5 2+ 2 4 23312559 = 3方

12、法二设 A(xi, yi),B(x2, y2),2x y 2= 0,则A, B的坐标为方程组的解.2 2x y+ = 154消 y 得 3x2 5x= 0,则5X1 + X2= 3, X1 X2= 0.3=v ( Xi X2)( 1 + Kab)=，:(1 + kAB)(xi+ X2) 4xiX22(1 + 2 )32-4X03例8 已知椭圆X2 + y2i，求过点i ipq，2且被p平分的弦所在直线的方程.解析：方法由题意可知，该直线的斜率存在,不妨设所求直线方程为1 i2 = kx 2，2扌 + y22得(2 + 4k )x + 4k(i k)x+ (i k) 4 = 0,设直线与椭圆交于A(xi, yi) , 0X2, y2)两点，则4k i kXi+ X2=2 + 4k2= i，i解之得k = 2= i,i i y= kx + Q Qk,直线方程为2x + 4y 3= 0.方法二 设直线与椭圆交于A(xi, yi),巳X2,