模块1优秀案例：函数的单调性

1、函数的单调性顺德一中 吕德蓉教学目标：1. 了解函数单调性的概念，掌握有关证明和判断的基本方法。（1） 了解并区分增函数，减函数，单调性，单调区间等概念。（2） 能从数和形两个角度认识单调性。（3） 能借助图象判断一些函数的单调性，能利用定义证明某些函数的单调性。2. 通过函数单调性的证明，提高学生在代数方面的推理论证能力，培养学生的观察，归纳，抽象的能力，同时渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想。3. 通过对函数单调性的理论研究，增强学生对数学美的自我体验，培养乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。教学结构分析1、知识结构函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念，函数单

2、调性的判定方法，函数单调性与函数图象的关系。2、重点难点分析（1） 本节教学的重点是函数的单调性概念的形成与认识。教学的难点是领悟函数单调性的本质，掌握函数单调性的证明。（2） 函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至搞不清什么是代数证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自

3、然就是教学中的难点。3、教法安排（1） 函数单调性概念引入时，可以先从学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等图象出发，回忆图象的增减性，从这点感性认识出发，通过问题逐步 向抽象的定义靠拢。可以从点的坐标的角度，也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释，引导学生发现自变量与函数值的变化规律，再把这种规律用数学语言表示出来。在这个过程中，对一些关键的词语（某个区间，任意，都有）的理解要融入其中，将概念的形成与认识结合起来。（2） 函数单调性证明是严格规定的，要让学生按照步骤去做，就必须让他们明确每一步的必要性，每一步的目的，特别是在第二步变形时，让学生明确变换的目标，到什么程度就可以判断符号，

4、在例题的选择上应以突出变换的目的，以便帮助学生总结规律。 教学重点，难点重点是函数的单调性概念的形成与认识难点是函数单调性的证明 教学用具投影仪，计算机教学方法引导发现法教学过程设计一.引入新课师：前面我们学习了函数的概念、函数的表示以及如何画出某些函数的图象，同时还掌握了求函数定义域和值域的一些方法。下面我们继续对函数做进一步的研究。请大家观察下列图象，探讨函数值随自变量值变化的情况：（用投影幻灯给出图（1）、图（2）、图（3）、图（4）00图（1） 图（2） 00图（3） 图（4）二.讲授新课1.探索（由学生说出变化情况）图（1）：在上，随增大而增大图（2）：在上，随增大而减小；在上，随增

5、大而增大图（3）：在上，随增大而减小；在上，随增大而减小图（4）：在上，随增大而减小；在上，值不变；在上，随增大而增大师：我们对图（1）进行研究：在上，随增大而增大，用数学语言如何表达呢？师：（学生一时不知如何回答，再引导）我们回到图象上，从左往右看，图象是上升的，而图象是由什么组成的？（设问，引发学生思考）生：由点组成。师：对了，很好！图象是由点组成的，在直线上任取两点，那右边的点比左边的点要高吧？（设问，引发学生思考，会有部分同学认同）师：那事实上点总是由坐标刻画的，点的横坐标是自变量的值，而对应的纵坐标表示的是函数值，既然图象上右边的点比左边的点高，如何用数量关系刻画点在点 的右边？（学

6、生回答）又如何用数量关系刻画点比点 高？（学生回答）师：由于，为图象上任意两点，从而有：任意，,当时，都有，同样地，（下面的内容引导学生，让学生逐条说出来）在图（2）中，在上，任意，当时，都有在图（4）中，在上，任意，当时，都有师：对于图（1）所表示的函数，我们说函数在上是增加的 图（2）所表示的函数，我们说函数在上是增加的 图（4）所表示的函数，我们说函数在上是增加的你能用自己的语言表达函数在某区间上是增加的吗？定义：在函数的定义域内的一个区间上，如果对于任意两个数，当时，都有，那么就称函数在区间上是增加的，有时也称函数在区间上是递增的。师：（运用一分为二的观点引入）图（2）中，函数在上是减

7、少的，图（4）中，函数在上也是减少的。同样我们可以用语言定义函数在某区间上是减少的：定义：在函数的定义域内的一个区间上，如果对于任意两个数，当，那么就称函数在区间上是减少的，有时也称函数在区间上是递减的。（板书，并对关键字加着重号）师：（进一步提问深化）图（3）中，在上是减少的吗？为什么？ （学生开始可能不确定，甚至得出错误的结论，这时可以分别在两区间，上取点比较，引导学生作出判断）生甲：不是的，比如当，时，但，不成立。师：那么我们把这个结论怎么修正一下？应该是函数分别在和上是减少的。但在整个定义域上不是减少的。师：（提问）那么图（4）中，函数在上又如何？（不增不减）师：对照定义我们看看这两个

8、图象：（用投影幻灯给出图（5）、图（6）00图（5） 图（6）师：通过这两个图象我们来看几个相关概念。图（5）中对于区间上的任意，当时，都有，因此在区间 上是递增的；而图（6）中对于区间 上的任意，当，因此在区间上是递减的。那么我们称区间是函数和的单调区间。如果函数在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数在这个子集上具有单调性。如果函数在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称单调函数。三、例题讲解例1 如图所示的是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，函数是增加的还是减少的？（用投影幻灯给出图（

9、7）321-1-2-1-3-5-4543210-2 图（7）生甲：在区间-5，-2，1，3上函数是减少的，因此-5，-2，1，3是函数的单调减区间；在区间-2，1，3，5上函数是增加的，因此-2，1，3，5是函数的单调增区间生乙：我有一个问题，-5，-2是函数的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是的单调减区间呢？师：问得好这说明你想的很仔细，思考问题很严谨容易证明：若在上单调（增或减），则在上单调（增或减）反之成立吗？（学生一般从特殊函数出发思考验证，这里给学生一点考虑的时间，然后顺势引导）怎样？反之不然吧？谁能举出反例来？（由学生自己挖掘例子）也就是说要找一个函数，在上单调（增或减

10、），但在上不一定成立。生甲：比如函数在（0，）上是单调减少的，但在0，上不成立，因为函数中。师：对，这个例子很好，所以在我们平时的学习过程中，一定要多些思考，特别是很多问题要从多方面考虑，这样才能不断提高思维的严谨性。例2 画出函数的图象，判断它的单调性，并加以证明543师：作出函数的图象（如图（8），由图看出，函数的图象在上是上升的，函数是2上的增函数。211师：（指出用定义证明的必要性）从函数图象上观-10察函数的单调性固然直观，但在理论上不够严谨，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据 图（8）解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径师：怎样用定义证明呢？请

11、同学们思考后在笔记本上写出证明过程（巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演学生可能会对如何比较和的大小关系感到无从入手，教师应给以启发）师：对于和我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数，如果，那么它们的差-就大于零； 如果=，那么它们的差-就等于零；如果，那么它们的差-就小于零，反之也成立因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系生：（板演）设，是上任意两个自变量，当时，-=（3+2）-（3+2）=3-3=3（-）0，所以在上是增函数师：他的证明思路是清楚的一开始设，是内任意两个自变量，并设（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“设”），然后看 -，这一步是证明的关键，再对式子

12、进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，但美中不足的是他没能说明为什么 -0，没有用到开始的假设“”，大家不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号应写明“因为，所以-0，从而 -0，即”这一步可概括为 “作差，变形，定符号”（同上，划线并标注“作差，变形，定符号”）最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第三步“下结论”（在相应位置标注“下结论”）这就是我们用定义证明函数单调性的三个步骤。师：这里要特别说明的是，比较两个数的大小，除了作差比较，还可以怎样？生：（大部分学生一时未必想得到，但应该还是应该有学生知道）还可以作商。师：对了！我们还可以通过作商比较两个数的

13、大小。那么这里要比较和的大小，我们可以转化为判断大于1还是小于1，但是这里要注意有一个前提，就是是函数在给定区间上恒大于零，否则按照不等式运算性质会产生错误的结论。归纳小结：对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势。在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的。在例题的讲解过程中，有意识地让学生暴露问题，点出学生在证明过程中所出现的问题，并对学生的解答进行简单的分析小结，这样可以引起全体学生的重视，是很有必要的。四、课堂练习P 练习2 五、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这