二面角的定义

1、二面角,二面角,一、二面角的定义,从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,二面角,二面角的平面角,一个平面垂直于二面角,面分别相交于射线PA、PB,垂足为P，则APB叫做二面,二面角,二、二面角的求法,1、直接法,二面角的求法,A,B,C,O,cos(),M,N,三角形ABC在平面N内的射影为BCO 三角形ABC的面积为S，三角形BCO的面积为S射,面积法,例1. 在棱长为a的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 求（1）平面C1BD与平面 ABCD所成角的大小； （2）二面角AB1D1C 的大小,例题分析,P,O,例2.如图，已知P是二面角-AB-棱上一点，过P分别在、内引射线P

2、M、PN，且MPN=60 BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数,C,D,解,在PB上取不同于P 的一点O,在内过O作OCAB交PM于C,在内作ODAB交PN于D,连CD，可得,COD是二面角-AB-的平面角,设PO = a ，BPM =BPN = 45,又MPN=60,COD=90,因此，二面角的度数为90,a,二面角,例3如图P为二面角内一点，PA,PB,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数,过PA、PB的平面PAB与 棱 交于O点,PA PA,PB PB,平面PAB,AOB为二面角的平面角,又PA=5，PB=8，AB=7,P= 60 AOB=120,这二面角的度数为120,

3、解,O,二面角,取AB 的中点为E，连PE，OE,O为 AC 中点， ABC=90,例4如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值,PEO为二面角P-AB-C 的平面角,OEAB ，因此 PEAB,解,二面角,例5 已知：RtABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使BDC成直角。 求证： 平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC BAC = 60,证明,在图乙中,ADBD，ADDC,AD平面BDC,平面ABD平面BDC,在图甲中,AB=AC=a，BAC=90,在图乙中,AB

4、C是等边三角形,BAC=60,平面ACD平面BDC,BD=DC=BC/2=2/2,D,B,A,C,A,D,B,C,甲图,乙图,例6、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值,AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,M,A,B,C,A1,B1,C1,例7：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值,N,Q,分析：易知，平面ABC与平面BCC1B1垂直故可由面面垂直的性质来

5、寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线,h=1/32,解：由直三棱柱性质得平面ABC 平面BCC1B1，过A作AN 平面BCC1B1，垂足为N，则AN 平面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。 AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB，CAB1A，AB=BB1=1，得AB1= 。直线B1C与平面ABC成300角，B1CB=300，B1C=2，RtB1AC中，由勾股定理得AC= ，AQ=1。在RtBAC中，AB=1，AC=，得AN= 。 sinAQN= 。即二面角B-B1C-A的正弦值为,1、如图，AB是圆的直

6、径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.ABP B.ACP C.都不是,练 习,60,二面角,二、二面角的平面角,一、二面角的定义,从空间一直线出发的两个半,平面所组成的图形叫做二面角,1、定义,2、求二面角的平面角方法,点P在棱上,点P在一个半平面上,点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,二面角,几点说明,定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法,三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法,垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用,以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角,间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，