数据结构：第五章 树和二叉树

1、第五章 树和二叉树,树是一类重要的非线性数据结构。 5.1 树的概念和基本术语 一、树的定义 1.定义：树(tree)是n(n0)个结点的有限集T；当n=0时称为空树。在任一非空树（n0）中： （1）有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root)； （2）其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集：T1,T2,Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)。 说明：树的定义中又用到树的概念，即定义是递归的。 2.特点： 结点之间具有层次关系；某个元素最多只与上一层的一个元素有直接关系，而可以与其下一层的多个元素有直接关系,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,

2、有子树的树,根,子树的子树,子树,3.树的表示树形表示法（关系图）、嵌套集合、广义表表示、凹入表示,A(B(E, F(K,L), C(G), D(H, I, J,A* B* E* F* K* L* C* G* D* H* I* J,G,C,A,B,D,H,I,J,E,K,F,L,二、基本术语 结点(node)表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支 结点的度(degree)结点拥有的子树数 叶子(leaf)度为0的结点 孩子(child)结点子树的根称为该结点的孩子 双亲(parents)孩子结点的上层结点叫该结点的 兄弟(sibling)同一双亲的孩子 树的度一棵树中最大的结点度数

3、结点的层次(level)从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层 深度(depth)树中结点的最大层次数 森林(forest)m(m0)棵互不相交的树的集合 有序树树中结点的各子树看成是从左到右有次序的，不能互换。反之，称为无序树,结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0,叶子：K，L，F，G，M，I，J,结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F,结点I的双亲：D 结点L的双亲：E,结点B，C，D为兄弟 结点K，L为兄弟,树的度：3,结点A的层次：1 结点M的层次：4,树的深度：4,结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先,三、树的基本操作,1、初始化 2、树的遍历 3、求指

4、定结点所在树的根结点 4、求指定结点的双亲结点 5、求指定结点的某一孩子结点 6、求指定结点的最右边兄弟结点 7、将一棵树插入到另一树的指定结点下作为其子树 8、删除指定结点的某一子树,5.2 二叉树,一、定义与基本操作 1.定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或 为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成。 2.特点 二叉树结点的度最大为2; 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒,即便是一个子树,也必须分出左右. 3.基本形态(5种,A,只有根结点 的二叉树,空二叉树,右子树为空,左子树为空,左、右子树 均非空,二、二叉树性质 性质1：

5、二叉树的第i层至多有 2i-1 个结点(i 1,证明：用归纳法证明之： i=1时，只有一个根结点， 是对的 假设对所有j(1ji)命题成立，即第j层上至多有 个结点 那么，第i-1层至多有 个结点 又二叉树每个结点的度至多为2 第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即 故命题得证,性质2：深度为k的二叉树至多有2k -1个结点(k1,证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是,性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为 n0，度为2的结点数为 n2，则 n0=n2+1,证明：设:n1为二叉树T中度为1的结点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1

6、+n2 又:二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个分支进入,设B为分支总数，则:n=B+1 又:分支由度为1和度为2的结点发出则:B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1,特殊形式的二叉树： （1）满二叉树 定义：一棵深度为k 且有2k-1个结点的二叉树,特点：每一层上的结点数都是最大结点数 （2）完全二叉树 定义：深度为k，结点数不满足2k-1,但结点编号(按层)和深度为k的满二叉树的结点一一对应时，称为 特点:叶子结点只可能在层次最大的两层上出现;并且最下面一层结点都集中在该层最左边,性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1

7、 证明:结点数n值介于深度为k的满二叉树与深度为k-1的满二叉树之间, 2k-1-1 2k-1n log2n1，则 其双亲是i/2 ; (2)若2in，则该结点左孩子编号是2i;否则无左孩子; (3)若2i+1n，则该结点右孩子编号是2i+1;否则无右孩子; (4)若i为奇数且不为1,则左兄弟编号为i-1;否则无左兄弟; (5)若i为偶数且小于n,则右兄弟编号为i+1;否则无右兄弟,三、二叉树的存储结构,1、顺序存储结构 实现：用一组地址连续的存储单元依次自上而下、 自左至右存储完全二叉树上的结点元素； 特点： 结点间关系蕴含在其存储位置中（性质5） 浪费空间，适于存放满二叉树和完全二叉树,a

8、,b,c,d,e,f,g,通过补虚结点，将一般二叉树变成完全二叉树,2、链式存储结构 二叉链表,由二叉树定义，每个结点至少包含三个域：数据域和左、右指针域，所以结点结构为,typedef struct node datatype data; struct node *lchild, *rchild; BinTree,在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域,root,5.3 二叉树的遍历,遍历是非线性结构上定义的重要操作，树的遍历是对树的线性化过程。是指循某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。 方法：将二叉树看作由根结点、左子树、右子树组成，并规定先左后右，则可得到三种顺序

9、： 先序遍历：先访问根结点,然后 分别先序遍历左子树、右子树; 中序遍历：先中序遍历左子树， 然后访问根结点，最后中序遍历右子树; 后序遍历：先后序遍历左、右子树, 然后访问根结点,LDR、LRD、DLR RDL、RLD、DRL,D L R,先序遍历序列：A B D C,先序遍历,L D R,中序遍历序列：B D A C,中序遍历,L R D,后序遍历序列： D B C A,后序遍历,先序遍历：1 2 4 5 6 7 3 中序遍历：4 2 6 5 7 1 3 后序遍历：4 6 7 5 2 3 1,例,算法 递归算法,1) 先序遍历 void preorder(BinTree *bt) if(b

10、t!=NULL) printf(%dt, bt-data); preorder (bt-lchild); preorder (bt-rchild);,2) 中序遍历 void inorder(BinTree *bt) if(bt!=NULL) inorder (bt-lchild); printf(%dt, bt-data); inorder (bt-rchild);,3) 后序遍历,void postorder(BinTree *bt) if(bt!=NULL) postorder (bt-lchild); postorder (bt-rchild); printf(%dt, bt-data

11、);,算法分析:对含n个结点的二叉树,其时间复杂度为O(n).空间复杂度,即所需辅助空间为遍历过程中栈的最大容量,即树的深度,最坏情况下为n,即空间复杂度为O(n,void pre(BinTree *T) if(T!=NULL) printf(%dt,T-data); pre(T-lchild); pre(T-rchild);,返回,返回,返回,返回,A,C,B,D,返回,先序序列：A B D C,遍历的非递归算法,一般,递归过程都能用非递归算法实现,即转化为非递归算法,并且有一定的转化方法(规律).在此，不做讨论,遍历算法的应用举例,遍历”是二叉树各种操作的基础，可在遍历过程中对结点做各种处

12、理，如：计算结点个数或叶子结点数；求二叉树高度；建立二叉树等,建立二叉链表 void CreatebiTree(BinTree *T) /按先序次序输入结点字符，建立二叉链表存储结构 char ch; cin ch ； if (ch=#) T=NULL; / 建空树 else T = new BinTree ; / “访问”操作为生成根结点 T-data = ch; CreateBiTree(T-lchild); / 递归建(遍历)左子树 CreateBiTree(T-rchild); / 递归建(遍历)右子树 /else /CreateBiTree,例: 读入字符: ABC#DE#G#F#

13、建立二叉树如下,void nodes(BinTree T,int /BiTreeDepth,线索二叉树二叉链表的结构扩展 二叉树的遍历：非线性结构的线性化 问题：在二叉树的链式存储中，如何快速找到某结点在某遍历序列(先序/后序/中序)中的直接前驱和直接后继？ 为每一结点增加pred和succ指针域降低存储密度 利用二叉链中的空链域(n个结点有n+1个空链域) 增加标识链域(孩子？线索,5.4 线索二叉树,定义： 前趋与后继：在二叉树的先序、中序或后序遍历序列中两个相邻的结点互称为。 线索：指向前趋或后继结点的指针称为。 线索二叉树：加上线索的二叉链表表示的二叉树叫。 线索化：对二叉树按某种遍历

14、次序使其变为线索二叉树的过程叫,实现 在二叉链表的结点中增加两个指针域 pred :指向其前驱的指针； succ :指向其后继的指针 结点定义,typedef struct BiThrNode datatype data; struct BiThrNode *lchild, *rchild; struct BiThrNode *pred, *succ; BiThrTree,data,rchild,succ,pred,lchild,H,头结点,二叉树的中序全线索链表,5.5 树和森林,一、树的存储结构 1、双亲表示法：定义结构数组存放树的结点，结点含两个域： 数据域：存放结点本身信息 双亲域：指

15、示本结点的双亲结点在数组中位置 特点：找双亲容易，找孩子难,按层存放,2、孩子表示法(结合顺序、链式存储,孩子链表：每个结点的孩子结点用单链表存储，再用含n个元素的结构数组指向每个孩子链表,特点：找孩子容易，找双亲难。可以与双亲表示法结合，形成双亲-孩子链表示,带双亲的孩子链表,3、孩子兄弟表示法（二叉树表示法） 实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针域分别指向其第一个孩子结点和下一个兄弟结点 特点 操作容易,可利用二叉树的算法实现树的操作. 破坏了树的层次.并且应与二叉树做区别.借用二叉树形式,而内容不同. 容易找到某结点的孩子和兄弟,如:找某结点的第i的兄弟,只要沿着fc

16、h找到第一个孩子,再沿该孩子结点的nsib连续走i-1步,即可找到的i个孩子,typedef struct node datatype data; struct node *fch, *nsib; JD,fch,data,nsib,二、森林与二叉树的转换,1、森林转化成二叉树的规则 步骤：（1）将森林中各棵树转化为对应二叉树； （2）取第1棵树的根作为森林二叉树的根；将第二 棵树的根链入第一棵树的兄弟链；依次类推，将 森林中各二叉树根结点看作兄弟，通过兄弟链链 接起来,2、 二叉树转换为森林的规则 步骤：若二叉树非空，则二叉树根及其左子树为第1棵树的二叉树表示，二叉树的右子树又看作是一个森林转

17、换的二叉树，用同样的方法，直到最后产生一个没有右子树的二叉树为止,三、树的遍历,遍历按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列 常用方法 先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树 后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点,前序遍历 若树非空，则 1、访问根结点 2、依次前序遍历树的各子树,遍历序列： A，B，E，F，C，G，D，H，I，J,后序遍历 若树非空，则 1、依次后序遍历树的各子树 2、访问根结点,遍历序列： E，F，B，G，C，H，I，J， D，A,注意： 前序遍历一棵树等价于

18、前序遍历该树对应的二叉树 后序遍历一棵树等价于中序遍历该树对应的二叉树,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,A，B，E，F，C，G，D，H，I，J,5.6 哈夫曼树及其应用,一、概念 1、路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的路径；路径上的分支数称为路径长度。 2、树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和； 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和,3、Huffman树设有n个权值w1,w2,wn，构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子的权值为wi,则wpl最小的二叉树叫哈夫曼树，即Huffman树是带权路径长度最短的树,例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树,WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36,WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46,WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35,二、构造Huffman树的方法Huffman算法 1、根据给定的n个权值w1,w2,w