福建中考数学试题分类解析汇编专项12-押轴题

1、2019 福建中考数学试题分类解析汇编专项12- 押轴题注意事项 ：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。在论述题中， 问题大多具有委婉性， 尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点， 最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。 只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。专题 12：押轴题解答题1. 福建福州14 分，如图，二次函数yax22

2、ax3a (a0) 图象的顶点为h，与x 轴交于a、 b两点b在a 点右侧，点h、b关于直线l：y3x3 对称、3 1求 a、 b 两点坐标，并证明点 a 在直线 l 上； 2求二次函数解析式； 3过点 b 作直线 bk ah交直线 l 于 k 点， m、n 分别为直线 ah和直线 l 上的两个动点，连接 hn、 nm、 mk，求 hn+nm+mk和的最小值、【答案】 解： 1依题意，得22ax3a0 ( a0) ，解得 x1 = 3， x 2=1，ax b 点在 a 点右侧， a 点坐标为 3， 0， b 点坐标为 1， 0。直线 l ： y3 x3 ，3当 x =3 时， y3330 ，点

3、 a 在直线 l 上。3 2点 h、 b 关于过 a 点的直线 l ： y3 x3 对称， ah=ab=4。3过顶点 h作 hc ab交 ab 于 c点，那么 ac=1 ab=2，hc= 42222 3 。2顶点 h 1， 23 。代入二次函数解析式，解得a3，2二次函数解析式为 y3x23x3 3。22 3直线 ah的解析式为 y3x3 3 ，直线 bk的解析式为 y3x3 ，yx3 3x3由3，解得。 k 3， 23 。那么y3x3y2 3bk=4。过点 k 作直线 ah的对称点 q，连接 qk，交直线 ah于 e，过点 k 作 kd ab，垂足为点 d。点 h、 b关于直线ak 对称，

4、hn+mn的最小值是 mb，。且 qm=mk，qe=ke=kd=2 3 ， aeqk。 bm+mk的最小值是 bq，即 bq的长是 hn+nm+mk的最小值。 bk ah， bkq= heq=90。由勾股定理得 qb=8。 hn+nm+mk的最小值为 8。【考点】 二次函数综合题，解一元二次方程，轴对称的性质，解二元一次方程组，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】 1解出方程 ax22ax 3a 0 (a 0) ，即可得到 a 点坐标和b 点坐标；把 a 的坐标代入直线 l 即可判断 a 是否在直线上。 2根据点 h、b 关于过 a 点的直线 l ： y3 x3 对称，得

5、出 ah=ab=4，过顶点3h作 hc ab交 ab于 c点，求出 ac和 hc的长，得出顶点h 的坐标，代入二次函数解析式，求出 a ，即可得到二次函数解析式。 3解方程组y3x3 3 ，即可求出 k 的坐标，根据点 h、 b 关于直线 ak对称，y3x3得出 hn+mn的最小值是 mb，过点 k 作直线 ah的对称点 q，连接 qk，交直线 ah于 e，得到bm+mk的最小值是 bq，即 bq的长是 hn+nm+mk的最小值，由勾股定理得qb=8，即可得出答案。2. 福建泉州 14 分 如图 1，在第一象限内，直线y=mx 与过点 b 0， 1且平行于 x 轴的直线 l 相交于点a，半径为

6、r 的 q与直线 y=mx、x 轴分别相切于点t、 e，且与直线l 分别交于不同的m、 n 两点、1当点a 的坐标为3， p时，3填空： p=_， m=_， aoe=_、如图 2，连接 qt、 qe，qe交 mn于点 f，当 r=2 时，试说明：以t、m、 e、n 为顶点的四边形是等腰梯形；2在图 1 中，连接 eq并延长交 q于点 d，试探索：对2由、m、 r 的不同取值，经过m、 d、 na 的值；假设变化、请说明理【答案】 解： 1 1，3 ， 60。 2如图，连接 tm， me，en， qn，qm， oe和 op是 q的切线， qex 轴， qtot，即 qta=90。而 l x 轴，

7、 qe mn。 mf=nf。又 r=2 ， ef=1， qf=21=1。四边形 qnem为平行四边形，即 qn me。 en=mq=eq=qn，即 qen 为等边三角形。nqe=60， qnf=30。在四边形 oeqt中， qto= qeo=90， toe=60， tqe=360 -90 90 60 =120。 tqe+nqe=120 +60 =180。 t、 q、 n 三点共线，即tn 为直径。tmn=90。 tnme， mtn=60= tne。以 t、 m、 e、 n为顶点的四边形是等腰梯形。 3对 m、 r 的不同取值，经过m、 d、n 三点的抛物线y=ax2+bx+c ，a 的值不会变

8、化。理由如下：如图，连dm，me， dm为直径， dme=90。而 dm垂直平分 mn， rt mfd rt efm。2 mf=ef?fd。设 dh， k， h 0， k=2r ，那么过 m、 d、 n三点的抛物线的解析式为：2y=a x-h +k。又 m、n的纵坐标都为1，当 y=1时 ， a x-h 2+k=1 ， 解 得 x1= h1 k，a1kx2= h。a mn=21k 。 mf=1 mn= 1 k 。a2a21 k1 k 1 。 1 k1 k 1 。 a= 1。aa对 m、r 的不同取值， 经过 m、d、n 三点的抛物线y=ax2+bx+c，a 的值会变化，a= 1。【考点】 一次

9、、二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，切线的性质， 平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质， 多边形内角和定理，平行的判定和性质，等腰梯形的判定，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】 1点 a 的坐标为3 ， p，点 a 在直线 l ： y=1 上，3 p=1，即点 a 坐标为3 ，1。3点 a 在直线 y=mx 上， 1=3 m，解得 m= 3 。3在 rt oba中，ob=1，ab= 3 ，tan aob= 3 ， aob=30。 aoe=60。332作辅助线：连接 tm，me， en，qn， qm，根据切线的性质得到

10、 qex 轴， qt ot，由 qe mn，得到 mf=nf，而 r=2 ， ef=1，那么四边形 qnem为平行四边形，即 qn me；同时有 qen为等边三角形，那么 nqe=60， qnf=30；在四边形 oeqt中， qto= qeo=90， toe=60，可求出 tqe=120，于是有 tqe+ nqe=120 +60 =180，即t、q、n 三点共线， 得到 tn为直径；得到 tmn=90，得到 tn me，所以 mtn=60 =tne，得到以 t、m、 e、 n为顶点的四边形是等腰梯形。3作辅助线：连接 dm， me，根据垂径定理和圆周定理的推论得到 dme=90，dm垂直平分

11、mn，所以 rt mfd rt efm，得到 mf2=ef?fd，设 dh， k，h 0， k=2r ，那么过 m、d、 n 三点的抛物线的解析式为：1ky=a x-h 2+k，令 y=1，得到 x1= h，a1 k11 k2，得到1 k，解得 a= 1。x2= h，那么 mf= mn=a1 k 1a2a3. 福建漳州14 分 如图 1，抛物线 y mx211mx 24m(m 0) 与 x 轴交于 b、c 两点点b 在点 c的左侧，抛物线另有一点 a 在第一象限内，且bac 90、 1填空： ob _， oc _； 2连接 oa，将 oac沿 x 轴翻折后得 odc，当四边形 oacd是菱形时

12、，求此时抛物线的解析式；3如图 2，设垂直于x 轴的直线l ： x n 与 2中所求的抛物线交于点m，与 cd交于点n，假设直线l沿 x 轴方向左右平移，且交点m始终位于抛物线上a、 c两点之间时，试探究：当n 为何值amcn的面积取得最大值，并求出这个最大值、【答案】 解： 1 ob3， oc 8。 2连接 ad，交 oc于点四边形oacd是菱形，e，1 adoc， oeec 2 8 4。 be 4 3 1。又 bac 90， ace bae。aece2 be ae。 ae be ce1 4 4。 ae 2。点a的坐标为(4 ， 2) 。1把点 a 的坐标 (4 ， 2) 代入抛物线ymx2

13、 11mx 24m，得 m 2。111抛物线的解析式为 y 2x2 2 x 12。 3直线 xn 与抛物线交于点m，111点 m的坐标为 (n ， n22n 12) 。2由 2知，点 d 的坐标为4， 2，1那么由 c、 d 两点的坐标求直线cd的解析式为 y 2x 4。1点 n的坐标为 (n ， 2n 4) 。11111 mn 2n2 2 n 12 2n 4 2n2 5n 8。111 s 四边形 amcn s amn s cmn2mn ce 2 2n2 5n 8 4 (n 5) 2 9。当 n 5 时， s 四边形 amcn9。【考点】 二次函数综合题，解一元二次方程，待定系数法，曲线上点的

14、坐标与方程的关系，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。2【分析】 1根据二次函数与 x 轴交点坐标求法，由 mx 11mx24m 0(m 0) ，解一元二次方程即可得出。 2利用菱形性质得出 ad oc，从而得出 ace bae，即可得出 a 点坐标，从而求出二次函数解析式。3用待定系数法求出过c、d 两点的坐标的直线cd的解析式，从而由s 四边形 amcn=s amn+s cmn利用二次函数的最值求出即可。4. 福建三明14 分 在矩形 abcd中，点 p 在 ad上， ab=2，ap=1、将直角尺的顶点放在pabbcefef1当点 e 与点 b 重合时，点f 恰好与点c 重

15、合如图 ，求 pc的长；2探究：将直尺从图中的位置开始，绕点p 顺时针旋转，当点e 和点在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：a 重合时停止、 tan pef的值是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段ef 的中点经过的路线长、【答案】 解： 1在矩形abcd中， a d 90， ap 1， cd ab 2，那么 pb5。 abp apb 90。又 bpc 90， apb dpc90。 abp dpc。 apbdcp。appb15，即。 pc 25。cd pc2pc 2 tan pef的值不变。理由如下：过 f 作 fg ad，垂足为 g，那么四边形 abfg是矩形。 a pfg9

16、0， gf ab 2。 aep ape 90。又 epf 90， ape gpf 90。 aep gpf。 ape gpf。pfgf2 peap 1 2。pf rt epf中， tan pef pe 2。 tan pef的值不变。 3线段 ef 的中点经过的路线长为5。【考点】 矩形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形斜边上中线的性质，线段中垂线的性质，三角形中位线定理。【分析】 1由勾股定理求pb，利用互余关系证明apb dcp，利用相似比求pc。2 tan pef 的值不变、过f 作 fgad，垂足为g，同 1的方法证明apbpfgf2dcp

17、，得相似比 pe ap 1 2，再利用锐角三角函数的定义求值。 3如图 2，对 ef 的中点 o，由直角三角形斜边上中线的性质，有pobo 1 ef，2即点 o在 pb的中垂线上。所以从开始到停止，线段ef 的中点经过的路线是一条线段。如图 3，画出起始位置和终点位置时，线段ef 的中点 o， o，连接 oo，线段 oo 即121212为线段 ef的中点经过的路线长，它是pb 的中垂线的一段，也是bpc的中位线。由1，根据三角形中位线定理，oo1pc 5。1222 25. 福建厦门 11 分抛物线 y= x +2mx m+2 的顶点 a 在第一象限，过点 a 作 aby 轴于点 b，c 是线段

18、 ab上一点 不与点 a、b 重合，过点 c 作 cd x 轴于点 d 并交抛物线于点p、 1假设点 c 1，a是线段 ab的中点，求点 p 的坐标； 2假设直线 ap 交 y 轴的正半轴于点 e，且 ac=cp，求 oep的面积 s 的取值范围、【答案】 解： 1依题意得顶点 a 的坐标为 2， a，设 p1， n由顶点坐标公式，得2m，得 m=2。22抛物线的表达式为y=x2+4x 2。把 p 点的坐标代入得 n=1。即 p 点的坐标为 1， 1。 2把抛物线化为顶点式： y= x m 2+2，可知 a m， 2，设 c n， 2，把 n 代入 y= x m 2+2 得 y= n m 2+

19、2，所以 p n， n m 2+2。 ac=cp， mn=2+ m n 2 2，即 m n= m n 2。 m n=0 或 mn=1。又 c点不与端点a、 b 重合， m n。 m n=1。那么 a m， 2，p m 1， 1。由 ac=cp可得 be=ab。 ob=2， oe=2 m。 ope的面积 s= 1 2 mm 1 = m 3 2+ 1 1 m 2。228 0 s 1 。8【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程式的关系，二次函数的性质。【分析】1根据题意得顶点a 的坐标为 2，a，然后设 p 1， n。由二次函数的顶点得a 点的横坐标为 2，求得函数的解析式，把 p 点的坐标

20、代入得 n=1，从而求得 p 点的坐标。2把抛物线化为顶点式： y= xm 2+2，求得其顶点坐标，设 c n，2，然 2表示出 ope的面积，从而求得面积的取值范围。6.福建龙岩 14 分如图，在直角梯形 abcd中， d=bcd=90， b=60，ab=6，ad=9，点 e 是 cd上的一个动点 (e 不与 d 重合 ) ，过点 e 作 ef ac，交 ad于点 f( 当 e 运动到 c时， ef 与 ac重合 ) 、把 def沿 ef 对折，点 d的对应点是点 g，设 de=x， gef与梯形 abcd重叠部分的面积为 y。(1) 求 cd的长及 1 的度数；(2) 假设点 g恰好在 b

21、c上，求此时 x 的值；(3) 求 y 与 x 之间的函数关系式。并求x 为何值时， y 的值最大 ?最大值是多少?【答案】 解： 1过点 a 作 ambc于 m， b=60， ab=6 bm=ab?cos b=6 1 =3，2am=ab?sin b=63 =3 3 。2 d= bcd=90，四边形amcd是矩形。cd=am=3 3 。 ad=9， tan dac=cd3 33 。 dac=30。ad93 efac， 1= dac=30。 cd=3 3 ， 1=30。 2假设点 g恰好在 bc上，那么有 ge=de=x， ec=3 3 x。 1=30， fed=60。 gef=60。 gec=

22、60。 ge=2ce，即 x=2 3 3 x，解得 x=2 3 。 3 efg efd， sefg=s efd= 1de df= 1 x 3x3 x 2 。222当 0 x 23 时，随着 x 的增大， s efg增大，此时 s efg就是重叠的面积，即 y=s efg=3x2 。当 x=2 3 时， y 达到最大值，为 6 3 。2当 x 23 时， efg就有一部分在梯形外，如图。 ge=de=x， ec=3 3 x， me=2 3 3 x。 gm=ge me=x 2 3 3 x =3x 6 3 。 ng=3x6 33x6。3 smng= 1ngmg=13x 63x6 333x62。223

23、2此时 y=s s=3222x3x63x3393 。 efg mng22当 x= 33 时， y 最大值 = 93 。3223综上所述， y 与 x 之间的函数关系式为y=x0x22；3 x3 39 3 x2 3当 x= 3 3 时， y 最大值 =9 3 。【考点】 直角梯形的性质，二次函数的最值，全等三角形的判定和性质，翻折变换折叠问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，矩形的判定和性质，勾股定理。【分析】 1将 ab平移，使点a 与点 d 重合，利用勾股定理，那么可得出cd的长度，根据cd与 ad的长度关系可得出dac的度数，也就得出了1 的度数。 2根据点 g落在 bc

24、上时，有 ge=de=x， ec=3 3 x，求出 gef= gec=60，然后根据ge=2ce列出方程即可得出x 的值。3根据 efg efd列出 y 的表达式，从而讨论x 的范围，分别得出可能的值即可。7. 福建莆田 14 分菱形 abcd的边长为 1、 adc=60，等边 aef两边分别交边 dc、 cb于点 e、 f。1 4 分特殊发现：如图 1，假设点 e、f 分别是边 dc、cb 的中点、求证：菱形 abcd 对角线 ac、 bd交点 o即为等边 aef的外心； 2假设点 e、 f 始终分别在边 dc、 cb上移动、记等边 aef的外心为点 p、 4 分猜想验证：如图 2、猜想 a

25、ef的外心 p 落在哪一直线上，并加以证明； 6 分拓展运用：如图3，当 aef面积最小时，过点p 任作一直线分别交边da于点 m，交边 dc的延长线于点n，试判断11dm是否为定值、假设是、请求出该定值；假设不dn是、请说明理由。【答案】 解： 1证明：如图1，分别连接oe、 0f，四边形abcd是菱形， acbd， bd平分 adc、 ao=dc=bc。 cod= cob= aod=90，ado=1 adc=1 60 =30。22又e、 f分别为dc、 cb中点，oe=1 cd，2of=1 bc， ao=1ad。22 0e=of=oa。点 o即为 aef的外心。 2猜想：外心p 一定落在直

26、线db上。证明如下：如图 2，分别连接pe、 pa，过点 p 分别作 pi cd于 i ， pj ad于 j， pie= pjd=90。 adc=60， ipj=360 pie pjd jdi=120 ，点 p 是等边 aef的外心， epa=120， pe=pa。 ipj= epa。 ipe= jpa， pie pjaaas。 pi=pj。点 p 在 adc的平分线上，即点p 落在直线db上。 11为定值 2。dmdn当 ae dc时、 aef面积最小，此时点e、 f 分别为 dc、 cb中点、连接 bd、 ac交于点 p，由 1可得点p 即为 aef的外心。如图 3、设 mn交 bc于点

27、g，设 dm=x， dn=y x 0、 y o，那么 cn=y1。 bcda， gbp mdp。 bg=dm=x、 cg=1 x。 bcda， gbp ndm。 cncg ，即 y11 x 。dndmyx x y=2xy 。 112 ，即11=2。xydmdn【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的外接圆与外心。【分析】 1首先分别连接oe、 0f，由四边形abcd是菱形，即可得ac bd， bd平分 adc、ao=dc=bc，又由e、f分别为dc、 cb中点，即可证得0e=of=oa，那么可得点o 即为 aef的外心。2首先分别连接pe、

28、 pa，过点 p 分别作 pi cd于 i ， pjad于 j，即可求得ipj 的度数，又由点p 是等边 aef 的外心，易证得pie pja，可得 pi=pj ，即点p在 adc的平分线上，即点p 落在直线db上。当 ae dc时、 aef面积最小，此时点e、 f 分别为 dc、 cb中点、连接 bd、ac交于点 p，由 1可得点p 即为 aef 的外心、由 gbp mdp，即可11dm为定dn值 2。8. 福建南平14 分 定义：对于抛物线y ax2 bx c(a 、 b、 c 是常数， a 0) ，假设b2 ac，那么称该抛物线为黄金抛物线、例如：y2x2 2x 2 是黄金抛物线、 1请

29、再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式_； 2假设抛物线 y ax2bx c(a 、b、c 是常数， a 0) 是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与 x 轴的公共点个数的情况要求说明理由；3将黄金抛物线沿对称轴向下平移3 个单位直接写出平移后的新抛物线的解析式；设中的新抛物线与y 轴交于点a，对称轴与x 轴交于点b，动点 q在对称轴上， 问新抛物线上是否存在点 p，使以点 p、 q、 b 为顶点的三角形与 aob全等？假设存在，直接写出所有符合条件的点 p 的坐标；假设不存在，请说明理由 注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图画图不计分y ax2 bx c(a 0) 的对称轴是

30、bb【提示：抛物线x 2a，顶点坐标是( 2a ，4ac b24a ) 】y54321-5 -4 -3 -2 -1oy1 2 3 4 5 x 1 2 3 4【答案】 解： 1 y=x2，y=x2 x 1， y=x 2 2x 4 等。 2依题意得b2=ac =b24ac=b 2 4b2= 3b2。当 b=0 时， =0，此时抛物线与x 轴有一个公共点。当 b0 时， 0，此时抛物线与 x 轴没有公共点。 3新抛物线的解析式为 y=2x 2 2x 1。存在。有四个符合条件的点p 的坐标： 0， 1， 1， 1， 1 ， 1 ，22 3 ， 1 。2 2【考点】 二次函数综合题，一元二次方程根的判别

31、式，平移的性质，全等三角形的判定。【分析】 1利用 b2=ac 即 b2-ac=0 的抛物线为黄金抛物线。 2根据题意得到 b2=ac，然后结合根的判别式即可求得其根的判别式，根据判别式得到抛物线与 x 轴的交点情况即可。 3根据抛物线的平移规律即可得到平移后的抛物线的解析式： y 2x2 2x2 2 x 1 2 322向下平移 3 个单位，得 y 2 x 1 2 3 3 2x2 2x 1。22然后利用直角三角形的性质即可得到使以点p、q、 b 为顶点的三角形与aob全等的点 p 的坐标：如图，可求 a 0， 1， b 1 ， 0，210oa=1， ob=， aob=90。2过点 a 作 aq1y 轴，交抛物线对称轴于 q1，交抛物线于p2，此时得到满足条件的点p1 0， 1， p2 1， 1。在抛物线对称轴上取点q2，使 bq2= 1 ，过 q2 作 y 轴的垂线2交抛物线于 p ，p ，此时得到满足条件的点p1，1，p 3，34322421 。29. 福建宁德13 分 直线 yx6 与 x 轴、 y 轴分别交于点a、b，点 e 从 b 点，出发以每秒 1 个单位的速度沿线段 bo向 o点移动与 b、o点不重合，过 e 作 efab，交 x 轴于 f. 将四边形 abef沿 ef 折叠，得到四边形