第三册分式方程的应用_八年级数学教案

1、第三册分式方程的应用_八年级数学教案 _模板教学目标1.使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；2.通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。教学重点和难点重点：列分式方程解应用题.难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程.教学过程设计一、复习例解方程：(1)2x+xx+3=1;(2)15x=2 15 x+12;(3)2(1x+1x+3)+x 2x+3=1.解 (1) 方程两边都乘以x(3+3), 去分母，得2(x+3)+x2=x2+3x, 即 2x3x= 6所以x=6.检验：当 x=6 时， x(x+3)=6(6+3) 0，所以

2、 x=6 是原分式方程的根.(2) 方程两边都乘以 x(x+12) ，约去分母，得15(x+12)=30x.解这个整式方程，得x=12.检验：当x=12 时 ,x(x+12)=12(12+12)0,所以 x=12 是原分式方程的根.(3) 整理，得2x+2x+3+x 2x+3=1, 即 2x+2+x 2 x+3=1,即方程两边都乘以2x+xx+3=1.x(x+3) ，去分母，得2(x+3)+x2=x(x+3),即2x+6+x2=x2+3x,亦即2x3x= 6.解这个整式方程，得x=6.检验：当 x=6 时， x(x+3)=6(6+3) 0，所以 x=6 是原分式方程的根.二、新课例 1 一队学

3、生去校外参观，他们出发30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2 倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间请同学根据题意，找出题目中的等量关系.答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米 )；骑车的速度 =步行速度的2 倍；骑车所用的时间=步行的时间 0.5 小时 .请同学依据上述等量关系列出方程.答案：方法 1设这名学生骑车追上队伍需x 小时，依题意列方程为?15x=215 x+12.方法2设步行速度为x 千米时，骑车速度为15x 15 2x=12.2x千米时，依题

4、意列方程为解由方法1 所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2 所列出的方程.方程两边都乘以2x，去分母，得3015=x ，所以x=15.检验：当 x=15 时， 2x=2150，所以 x=15 是原分式方程的根，并且符合题意.所以骑车追上队伍所用的时间为15千米30 千米时 =12 小时 .答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟 .指出：在例 1 中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度 =距离 时间 .如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程.例 2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成

5、；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成 .现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天 ?分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是s=mt,或t=sm，或m=st.请同学根据题中的等量关系列出方程.答案：方法 1工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为程所需的天数就是(x+3) 天，设工程总量为1，甲的工作效率就是依题意，列方程为x 天，那么乙单独完成工x1，乙的工作效率是1x+3.2(1x+1x3)+x2 xx+3=1.指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量.方法 2设规定

6、日期为x 天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x 天，根据题意列方程2x+xx+3=1.方法 3根据等量关系，总工作量甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x 天，则可列方程1 2x=2x+3+x 2x+3.用方法1方法3 所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了重点是找等量关系列方程.三、课堂练习1.甲加工 180 个零件所用的时间，乙可以加工240 个零件，已知甲每小时比乙少加工.5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.2.a，b 两地相距135 千米，有大，小两辆汽车从a 地开往 b 地，大汽车比小汽车早出发 5 小时， 小

7、汽车比大汽车晚到30 分钟 .已知大、 小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.答案：1.甲每小时加工15 个零件，乙每小时加工2.大，小汽车的速度分别为18 千米时和20 个零件 .45 千米时.四、小结1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根 .一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意 .原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数

8、的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2 题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从a 地到达 b 地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从 a 地到 b 地需用时间为x 小时，则大汽车从a 地到 b 地需 (x+5 12)小时，依题意， 列方程135 x+5 12： 135x=2： 5.解这个分式方程，运算较繁琐.如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从a 地到 b 地的时间，运算就简便多了.五、作业1.填空：(1) 一件工作甲单独做要m 小时完成，乙单独做要n 小时完成，

9、如果两人合做，完成这件工作的时间是_小时；(2) 某食堂有米m 公斤，原计划每天用粮a 公斤，现在每天节约用粮b 公斤，则可以比原计划多用天数是_;(3)把 a 千克的盐溶在b 千克的水中，那么在m 千克这种盐水中的含盐量为_千克 .2.列方程解应用题.(1) 某工人师傅先后两次加工零件各1500 个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18 个小时 .已知他第二次加工效率是第一次的2.5 倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?(2) 某人骑自行车比步行每小时多走8 千米，如果他步行12 千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40 千米用多少小时?(

10、3) 已知轮船在静水中每小时行20 千米，如果此船在某江中顺流航行72 千米所用的时间与逆流航行48 千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?(4)a ， b 两地相距135 千米，两辆汽车从a 地开往 b 地，大汽车比小汽车早出发5 小时，小汽车比大汽车晚到30 分钟 .已知两车的速度之比是5： 2，求两辆汽车各自的速度.答案：1.(1)mn m+n;(2)m a b ma;(3)ma a+b.2.(1)第二次加工时，每小时加工125 个零件 .(2) 步行 40 千米所用的时间为 40 4=10(时 ).答步行 40 千米用了 10 小时 .(3)江水的流速为 4 千米时 .

11、课堂教学设计说明1.教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程.这种安排， 意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯 .这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例 1 是行程问题， 其中距离是已知量，求速度 (或时间 )；例 2 是工程问题， 其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(或工作效率 ).这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目

12、中的等量关系， 以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业， 则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路 .3.通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真 ”和 “弄假成真 ”两句话形容 .如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是 “以假

13、当真 ”通.过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x 就变成了确定的量，这就是 “弄假成真 ”.用函数的观点看一元二次方程教案设计一、教学目标：1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系2理解抛物线交x 轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根3能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。二、教学重点、难点：教学重点：1体会方程与函数之间的联系。2能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。教学难点：1探索方程与函数之间关系的过程。2理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。三

14、、教学方法：启发引导合作交流四：教具、学具：课件五、教学媒体：计算机、实物投影。六、教学过程：活动 1 检查预习引出课题预习作业：1解方程：（ 1） x2+x 2=0; (2) x2 6x+9=0; (3) x2 x+1=0; (4) x22. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程师生行为： 教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知， 2x 2=0.3x-4=0 的解 .教师做出适当总结和评价。教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2 题的格式要规范。设计意图： 这两道预习题目是对旧知识的回顾， 为本课的教学起到铺垫的作用 ,1 题中的三个方

15、程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式， 这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来， 让学生回顾二次方程的相关知识； 2 题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。一、教学目标： （一）知识与能力目标：（课件第2 张）1.体会解不等式的步骤，体会比较、转化的作用。2.学生理解、巩固一元一次不等式的解法.3.用数轴表示解集，加深对数形结合思想的进一步理解和掌握。4.在解决实际问题中能够体会将文字语言转化成数学语言，学会用数学语言表示实际的数量关系。（二）过程与方法目标：1介绍一元一次不等式的概念。2.通过对一元一次方程的解法的复习和对不等式

16、性质的利用，导入对解不等式的讨论。3.学生体会通过综合利用不等式的概念和基本性质解不等式的方法。4.学生将文字表达转化为数学语言，从而解决实际问题。5.练习巩固，将本节和上节内容联系起来。（三）情感、态度与价值目标：（课件第3 张）1.在教学过程中，学生体会数学中的比较和转化思想。2.通过类比一元一次方程的解法，从而更好的掌握一元一次不等式的解法，树立辩证统一思想。3.通过学生的讨论，学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神。4.通过本节的学习，学生体会不等式解集的奇异的数学美。二、教学重、难点：1.掌握一元一次不等式的解法。2.掌握解一元一次不等式的阶梯步骤，并能准确求出解集。3.能将

17、文字叙述转化为数学语言，从而完成对应用问题的解决。三、教学突破：教材中没有给出解法的一般步骤，所以在教学中要注意让学生经历将所给的不等式转化为简单不等式的过程，并通过学生的讨论交流使学生经历知识的形成和巩固过程。在解不等式的过程中，与上节课联系起来，重视将解集表示在数轴上，从而指导学生体会用数形结合的方法解决问题。在研究中，鼓励学生用多种方法求解，从而锻炼他们活跃的思维。四、教具：计算机辅助教学.五、教学流程 :（一）、复习：教学环节教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图导入新课1给出方程： (x+4)/3=(3x-1)/2, 抽学生演算。（注意步骤）2学生回忆不等式的性质，并说出解不等式

18、的关键在哪里。3让学生举一些不等式的例子。在学生归纳出一元一次不等式的概念后，据情况点评。4 新课导入：通过上节课的学习，我们已经掌握了解简单不等式的方法。这节课我们来共同探讨解一元一次不等式的方法。1学生练习，并说出解一元一次方程的步骤。2认真思考， 用自己的语言描述不等式的性质，说出解不等式的关键在于将不等式化为xa或 xa的形式。（出示课件第2 页）3举出不等式的例子，从中找出一元一次不等式的例子，归纳出一元一次不等式的概念。4明确本课目标，进入对新课的学习。1复习解一元一次方程的解法和步骤。2让学生回顾性质，以加强对性质的理解、掌握。3运用类比思维4自然过度，出示课件第3、4 张（二）

19、、新授：教学环节教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图探究一元一次不等式的解法1、学生观察课本第61 页例 3，教师说明：解不等式就是利用不等式的三条基本性质对不等式进行变形的过程。提醒学生注意步骤。2分析学生的解答，提醒学生在解不等式中常见的错误：不等式两边同乘（除）同一个负数不等号方向要改变。3激励学生完成对(2) 解答，并找学生上讲台演示。4.强调在数轴上表示解集时的关键（出示课件第8 页）5出示练习（出示课件第 9 页）6鼓励学生讨论课本第61 页的例 4。提示学生： 首先将简单的文字表达转化成数学语言。（出示课件第10 页）7指导学生归纳步骤。8补充适当的练习，以巩固学生所学。（

20、出示课件第12 页）1.类比解一元一次方程，仔细观察，理解用不等式的性质（3）解不等式的原理，并掌握用数轴表示不等式的解的方法。2学生类比解一元一次方程的步骤与解一元一次不等式的一般步骤,同时完成练习。 （出示课件第6 页）3.完成例 3(2)：2(5x+3) x3(12x) 的解答。 教师提示， 组内讨论后， 检查自己的解答过程，弥补不足，进一步体会解一元一次不等式的方法。4理解、体会在数轴上表示解集的方法和关键。5学生组内讨论完成。6认真完成对例题的解答， 在教师的提示下找到不等量关系， 列出不等式：（ x+4 ）/3-（ 3x-1 ） /21, 并求解。 .7组内讨论并归纳后，看教师所出

21、示的课件。（出示课件第11 页）8认真完成练习。1电脑逐步演示，让学生从演示过程中理解不等式的解法。（出示课件第5 张）2巩固对一般解法的理解、掌握。3通过类比归纳，提高学生的自学能力。（出示课件第7 页）以订正学生解答。4让学生明白不等式的解集是一个范围，而方程的解是一个值。5培养学生的扩展能力。6类比一元一次方程的解法以加深对一元一次不等式解法的理解。7通过动手、动脑使所学知识得到巩固。8巩固所学。（三）、小结与巩固：教学环节教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图小结与巩固1引导学生对本课知识进行归纳。2学生完成后（出示课件第13、 14 页）。3练习与巩固。1学生组内讨论小结，组长帮助组员对知识巩固、提升。2学生加强理解。3完成练习：书63 页第 4 题，第 5（2、 4）题。1培养学生总结、归纳的能力。2点拨学生对知识的理解与掌握。3巩固本课所学。（第 2 课时）一、教学目标1使学生了解判定定理2、 3 的证明方法并会应用2继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解3通过了