第四讲一元二次方程与二次函数(含解析)

1、第四讲一元二次方程与二次函数( 含解析 )第四讲一元二次方程与二次函数【前言】前三讲，笔者要紧是和大伙探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到， 整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，然而对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中， 代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。因此在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行认真的探讨和分析。一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答

2、题的方式考察。 然而在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，因此我们接着通过真题来看看此类问题的一般解法。第一部分真题精讲【例 1】 2017，西城，一模2：关于 x 的方程 mx3(m1)x2m30 、假设二次函数y1mx23(m1)x2m1 的图象关于y 轴对称、求二次函数y1 的解析式；一次函数y22x 2 ，证明：在实数范围内，关于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值 y1 y2均成立；2c 的图象通过点 (5 ，0) ，且在实数范围内，在条件下， 假设二次函数 y3 ax bx关于 x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1 y3 y2，均成立，

3、求二次函数y3 ax2bx c 的解析式、【思路分析】 此题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，因此需要讨论m=0和 m 0 两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直截了当相减即可。事实上那个一次函数y2 恰好是抛物线y1的一条切线，只有一个公共点1， 0。依照那个信息，第三问的函数假如要取不等式等号，也必须过该点。因此通过代点， 将 y3 用只含 a 的表达式表示出来 , 再利用

4、 y1 y3 y2 , 构建两个不等式 , 最终分析出 a 为何值时不等式取等号 , 因此能够得出结果 .【解析】解：1分两种情况：当 m0 时，原方程化为3x30 ，解得 x1 ， 不要遗漏当 m0 ，原方程有实数根.当 m0 时，原方程为关于x 的一元二次方程， 3 m1 24m 2m3m26m9m3 2 0 .原方程有两个实数根 . 假如上面的方程不是完全平方式该怎么样办？再来一次根的判定，让判别式小于 0 就能够了，只是中考假如不是压轴题差不多判别式都会是完全平方式，大伙注意确实是了综上所述， m 取任何实数时，方程总有实数根. 2关于 x 的二次函数 y1mx 23( m1)x 2m

5、3 的图象关于 y 轴对称， 3( m1)0 . 关于 y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0 m 1 .抛物线的解析式为y1x21. yyx212x2x1 2 0 ，判断大小直截了当做差12 y1 y2 当且仅当 x 1 时，等号成立 . 3由知，当 x1 时， y1y20 . y1 、 y2 的图象都通过 1,0 .特别重要，要对那个等号有敏锐的感受关于 x 的同一个值， y1 y3 y2， yax2bxc 的图象必通过1,0 .3又 y3ax2bxc 通过5,0， y3ax1x5ax24ax 5a .巧妙的将表达式化成两点式，幸免繁琐计算设yy3y2ax245a(2x2)ax2(4a 2

6、) x(25a) .ax关于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1 y3 y2均成立， y3y2 0 ，321- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 11 2- 1- 2- 3图 7 y ax2(4a2) x(2 5a) 0 .又依照 y1 、 y2 的图象可得a0 ， y最小4a(25a)(4 a2)2 0 . a0 时 , 顶点纵坐标确实是函数的最小值4a (4 a2)24a(25a) 0 . (3a 1)2 0 .而 (3a1)2 0 .只有 3a1 0 ，解得 a1.3抛物线的解析式为y31 x24 x5.333【例 2】 2017，门头沟，一模关于 x 的一元二次方程 (m2

7、22) x 1 0 .1)x 2(m 1当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； 2点 a 1， 1是抛物线 y( m21)x22(m 2) x 1 上的点，求抛物线的解析式； 3在 2的条件下，假设点b 与点 a 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点 b 的直线，假设存在，请求出直线的解析式；假设不存在，请说明理由.【思路分析】 第一问判别式依旧要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。 值得关注的是第三问，要注意假如有一次函数和二次函数只有一个交点，那么需要设直线 y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，然而如此还不够，因为 y

8、=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线 , 恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点 , 因此需要分情况讨论, 不要遗漏任何一种可能 .【解析】： 1由题意得（2 m24( m21)02）解得 m54m210解得 m1当 m5且 m1时，方程有两个不相等的实数根 .4 2由题意得 m212( m2) 1 1解得 m3，m1舍 ( 始终牢记二次项系数不为 0)y8x210x1 3抛物线的对称轴是x58由题意得 b1 ， 1( 关于对称轴对称的点的性质要掌握)41与抛物线有且只有一个交点b(这种情况考试中容易遗漏 )x4另设过点 b 的直线 ykx b k0 把 b1 ， 1 代入

9、ykx b ，得kb1 ， b1 k 1444y kx1 k 14y8x210x1ykx1 k 14整理得 8 x2(10k) x有且只有一个交点，解得 k61y6 x21k204(10k)2148(k2)04综上，与抛物线有且只有一个交点【例 3】b 的直线的解析式有11x， y 6 x42p 3,m ) 和 q 1， m 是抛物线 y2x2bx 1上的两点、 1求 b 的值； 2判断关于 x 的一元二次方程 2x2bx1 =0 是否有实数根， 假设有， 求出它的实数根；假设没有，请说明理由； 3将抛物线y2 x2bx1的图象向上平移k k 是正整数个单位，使平移后的图象与 x 轴无交点，求

10、k 的最小值、【思路分析】拿到题目，特别多同学不假思索就直截了当开始代点，然后建立二元方程组，十分麻烦，计算量大，浪费时间同时可能出错。然而认真看题，发明p,q 纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数， 因此轻松写出对称轴求出 b。 第二问依旧是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减 ( 单独的 x), 上加下减 ( 表达式整体 ) 然后求出结果。【解析】(1) 因为点 p 、q在抛物线上且纵坐标相同，因此p、q关于抛物线对称轴对称同时到对称轴距离相等、x

11、b3 14 、因此，抛物线对称轴42，因此， b 2由 1可知，关于x 的一元二次方程为2x24x 1 =0、因为，b24ac =16 8=8 0、因此，方程有两个不同的实数根，分别是x1b12 ， x2b12 、2a22a2 3由 1可知，抛物线y2x24x 1 的图象向上平移k k 是正整数个单位后的解析式为 y 2x24x1k 、假设使抛物线y2x24x1k 的图象与 x 轴无交点，只需2x24x 1 k0 无实数解即可、由b24ac =16 8(1k) = 88k 0，得 k1又 k 是正整数，因此 k 得最小值为 2、【例 4】 2017，昌平，一模抛物线 y ax24ax 4a 2

12、，其中 a 是常数、 1求抛物线的顶点坐标； 2假设 a2x 轴交于整数点坐标为整数的点，求此抛物线的解析，且抛物线与5式、【思路分析】此题第一问较为简单，用直截了当求顶点的公式也能够算，然而假如巧妙的将 a 提出来 , 里面确实是一个关于x的完全平方式, 从而得到抛物线的顶点式, 节省了时间 .第二问那么需要把握抛物线与x 轴交于整数点的判别式性质. 这和一元二次方程有整数根是一样的 . 尤其注意利用题中所给 a2, 求得整点的可能取值 ., 合理变换以后代入判别式5 1依题意，得a0 ， yax24a24axa24x42xax22.2抛物线的顶点坐标为(2 ,2) 2抛物线与 x 轴交于整

13、数点， ax24ax4a20 的根是整数、2 x4a16a4a (4a 2)22a 是整数、2aa a 0 ，2 x2是整数、a 2 是整数的完全平方数、 a a2，5 25 、 (特别多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)a 2 取 1， 4， a当 21 时， a2 ； 当 24 时， a1、aa2 a 的值为 2 或 1 、 2抛物线的解析式为y2x28x6 或 y1x22x 、2【例 5】 2017，平谷，一模：关于 x 的一元二次方程m1 x2m2 x10 m 为实数 1假设方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； 2在 1的条件下， 求证： 不管 m 取何值， 抛物线 ym1

14、 x2m2 x 1 总过 x轴上的一个固定点； 3假设 m 是整数， 且关于 x 的一元二次方程m1 x2m2 x10 有两个不相等的整数根，把抛物线 ym1 x2m2 x1 向右平移 3 个单位长度， 求平移后的解析式、【思路分析】此题第一问比较简单，直截了当判别式0 就能够了，依旧不能遗漏的是m 1 0。第二问那么是比较常见的题型. 一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的x,y 的取值 . 关于此题来说 , 直截了当将抛物线中的m提出 , 对其进行因式分解得到 y=(mx x1)(x+1) 就能够看出当x=1 时 ,y=0 ，而这一点恰是抛物线横过的x 轴上固定点 . 假如想不到因式分

15、解 , 由于此题固定点的特别性 ( 在 x 轴上 ),也能够直截了当用求根公式求出两个根,标准答案既是如此 , 然而有些麻烦 , 不如直截了当因式分解来得快 . 至于第三问 , 又是整数根问题 +平移问题 , 因为第二问中已求出另一根 , 因此直截了当令其为整数即可 , 比较简单 .解：12m 24 m 1 m2方程有两个不相等的实数根, m 0 m 1 0 , m 的取值范围是m0 且 m1 . 2证明：令 y 0 得 m1 x2m2 x10 .2m . xm2mm22 m12 m1m2m，m2m12 x11 x2( 如此做是因为差不多明白判别式是,2 m12 m1m1m计算量比较小 ,假如

16、根号内不是完全平方就需要注意了)抛物线与x轴的交点坐标为， ，1，,10m 10不管 m 取何值，抛物线ym1 x2m2 x 1 总过定点1，0 3 x1 是整数只需1是整数 .m1 m 是整数，且 m0，m1 , m 2当 m2 时，抛物线为yx21 、把它的图象向右平移3 个单位长度，得到的抛物线解析式为yx21 x26x 83【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，然而考点无非也确实是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难， 然而需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是

17、考验判别式大于0，不要不记得二次项系数为0 或者不为0 的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直截了当应用。至于根与系数的关系 韦达定理 近年来中考差不多尽量幸免提及， 虽不提倡然而应用了也可不能扣分，考生依旧尽量掌握为好， 在实际应用中能节省大量的时间。第二部分发散思考【思考 1】 . 2017 ，北京中考关于 x 的一元二次方程 2x24x k 10 有实数根， k 为正整数 . 1求 k 的值； 2当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数 y 2x24xk 1 的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式； 3在

18、2的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 请你结合那个新的图象回答：当直线y1 x b b k与此图象有两个公共点时，b 的取值范围 .2【思路分析】 去年中考原题 , 相信有些同学差不多做过了. 第一问自不必说， 判别式大于0 加上 k 为正整数的条件求k 特别简单 . 第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根, 一个个代进去看确实是了, 平移倒是不难 , 向下平移确实是整个表达式减去8. 然而注意第三问 ,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题, 一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发

19、生了变化, 哪些地方没有变 . 然后利用画图解决问题 .【思考 2】 2017，东城，一模：关于 x 的一元二次方程x22(2m3) x4m214 m80 1假设 m 0, 求证：方程有两个不相等的实数根； 2假设 12m 40 的整数，且方程有两个整数根，求m 的值、【思路分析】 此题也是整根问题， 然而不像上题， 就三个值一个个试就能够试出来结果。此题给定一个比较大的区间, 因此就需要直截了当用求根公式来计算. 利用区间去求根的判别式的区间 , 也对解不等式做出了考察 .【思考 3】 2017，海淀，一模:关于 x 的一元一次方程kx=x+2的根为正实数，二次函数y=ax2 bx+kc c

20、0的图象与 x 轴一个交点的横坐标为1.1假设方程的根为正整数，求整数k 的值；2求代数式 (kc)2b2ab 的值；akc 3求证 : 关于 x 的一元二次方程ax2 bx+c=0必有两个不相等的实数根 .【思路分析】此题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论k 的取值即可。第二问那么需要将 k 用 a,b 表示出来 , 然后代入代数式进行转化. 第三问那么比较繁琐, 需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式, 去证明二次方程根的判别式大于0. 然而实际的考试过程中, 考生在化简判别式的过程中想不到利用条件去套未知条件, 从而无从下手导致失分 .【思考 4】 2017，

21、顺义 , 一模.：关于 x 的一元二次方程x2(2 m 1)xm2m20 、 1求证：不论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； 2假设方程的两个实数根x1， x2 满足 x1x21m2 ，求 m 的值、m1【思路分析】这一题第二问有些同学想到直截了当平方来去绝对值, 然后用韦达定理进行求解 , 然而如此的话计算量就会特别大, 因此此题绕过韦达定理, 直截了当用根的判别式写出 x1， x2 ,发明 x1， x2 基本上关于m的一次表达式,做差之后会得到一个定值. 因此问题轻松求解.那个题目告诉我们高级方法不一定简单, 有的时候最笨的方法也是最好的方法.第三部分思考题解析【思考 1 解析】解

22、：1由题意得，16 8(k 1) 0 、 k 3 、 k 为正整数， k 12，3、 2当k1 时，方程2x24 xk10 有一个根为零；当 k2时，方程 2x24xk10无整数根；当 k3时，方程 2x24xk10 有两个非零的整数根、综上所述， k1 和 k2 不合题意，舍去；k3符合题意、当 k3时，二次函数为y2x24x2 ，把它的图象向下平移的解析式为 y2x24x6 、 3设二次函数 y 2x24x6 的图象与 x 轴交于a、 b 两点，那么 a(3，0)， b(10)， 、依题意翻折后的图象如下图、当直线 y1 xb 通过 a 点时，可得 b3；22当直线 y1 xb 通过 b

23、点时，可得 b1、22由图象可知，符合题意的b(b 3) 的取值范围为1b32、2【思考2 解析】= 2(2 m 3)214m8） =8m4证明：-4（4m2m 0,8m40.方程有两个不相等的实数根。 2 x= 2(2 m3)8m4 =(2m3)2m 12方程有两个整数根，必须使2m1为整数 且 m为整数、又 12 m 40，252m181.8 个单位得到的图象y86424 a 2 ob 24x246852m1 9、令 2m 1 6, m35.2令 2m 1 7, m 24.令632m 1 8, m.2 m=24【思考 3 解析】解：由 kx=x+2 ，得 (k 1) x=2.依题意 k 10. x2.k 1 方程的根为正整数， k 为整数 , k 1=1 或 k 1=2. k