(最新整理)二次函数中平行四边形通用解决方法

1、(完整)二次函数中平行四边形通用解决方法 (完整)二次函数中平行四边形通用解决方法 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)二次函数中平行四边形通用解决方法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整)二次函数中平行四边形通用解决方法的全部内容。12 探究(1）在图1中，已知线段ab，cd，

2、其中点分别为e，f。若a（-1，0），b(3,0），则e点坐标为_；若c（-2，2),d（2，-1），则f点坐标为_；(2）在图2中，已知线段ab的端点坐标为a(a，b），b（c，d），求出图中ab中点d的坐标（用含a，b，c,d的代数式表示）,并给出求解过程;归纳无论线段ab处于直角坐标系中的哪个位置,当其端点坐标为a（a,b），b（c，d)，ab中点为d（x，y） 时,x=_,y=_；（不必证明)运用在图2中，一次函数y=x2与反比例函数的图象交点为a，b.求出交点a，b的坐标;若以a，o，b，p为顶点的四边形是平行四边形,请利用上面的结论求出顶点p的坐标。以二次函数为载体的平行四边形存在

3、性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高对这类题,常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解为此,笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题1 两个结论，解题的切入点数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。1。1 线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点a坐标为（x1,y1），点b坐标为(x2,y2)，则线段ab的中点坐标为（，）.图

4、1证明 ： 如图1,设ab中点p的坐标为（xp,yp）.由xp-x1=x2xp，得xp=,同理yp=，所以线段ab的中点坐标为（,）.1.2 平行四边形顶点坐标公式图2abcd的顶点坐标分别为a（xa,ya)、b(xb，yb)、c(xc，yc)、d（xd,yd)，则：xa+xc=xb+xd；ya+yc=yb+yd.证明: 如图2，连接ac、bd，相交于点e点e为ac的中点，e点坐标为(,)。又点e为bd的中点,图3e点坐标为（，）.xa+xc=xb+xd；ya+yc=yb+yd。 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等2 一个基本事实，解题的预备知识如图3，已知不在同一直线上的三

5、点a、b、c，在平面内另找一个点d，使以a、b、c、d为顶点的四边形是平行四边形答案有三种:以ab为对角线的acbd1，以ac为对角线的abcd2，以bc为对角线的abd3c3 两类存在性问题解题策略例析与反思3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例1 已知抛物线y=x2-2x+a（a0)与y轴相交于点a，顶点为m。直线y=x-a分别与x轴、y轴相交于b、c两点,并且与直线am相交于点n。(1)填空:试用含a的代数式分别表示点m与n的坐标，则m( )， n( )；（2)如图4，将nac沿y轴翻折，若点n的对应点n恰好落在抛物线上，an与x轴交于点d，连接cd,求a的值和四边形a

6、dcn的面积；（3)在抛物线y=x22x+a(a0)上是否存在一点p，使得以p、a、c、n为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点p的坐标；若不存在，试说明理由.解：（1)m(1,a1）,n(,）；（2)a=；s四边形adcn=;(3)由已知条件易得a(0,a)、c（0，-a)、n(,）。设p（m，m2-2m+a)。当以ac为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：图4，。p1（，);当以an为对角线时，得:,（不合题意，舍去）.当以cn为对角线时，得：,.p2（-,)。在抛物线上存在点p1（,-）和p2(，)，使得以p、a、c、n为顶点的四边形是平行四边形.反思：已知三

7、个定点的坐标,可设出抛物线上第四个顶点的坐标,运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题图5例2 如图5，在平面直角坐标系中，抛物线a（-1，0)，b(3,0),c(0，1）三点.（1)求该抛物线的表达式；（2）点q在y轴上，点p在抛物线上,要使以点q、p、a、b为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点p的坐标。解 :(1）易求抛物线的表达式为y=；（2）由题意知点q在y轴上，设点q坐标为(0，t)；点p在抛物线上，设点p坐标为（

8、m,）.尽管点q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了当以aq为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：1+0=3+m,m=4,p1(4,7）；当以bq为对角线时，得：1+m=3+0，m=4，p2(4，)；当以ab为对角线时,得：1+3=m+0，m=2，p3（2,1）。综上，满足条件的点p为p1（-4，7)、p2（4，)、p3（2,1)。反思:这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上,另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式该动点哪

9、个坐标已知就用与该坐标有关的公式本例中点q的纵坐标t没有用上，可以不设另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论. 例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过a（4,0），b(0,-4），c(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点m为第三象限内抛物线上一动点，点m的横坐标为m，amb的面积为s求s关于m的函数关系式,并求出s的最大值；(3）若点p是抛物线上的动点，点q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点p、q、b、o为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点q的坐标解：（1）易求抛物线的解析式

10、为y=x2+x4；（2）s=m2-4m（4m0)；s最大=4（过程略）；（3）尽管是直接写出点q的坐标，这里也写出过程由题意知o（0，0)、b(0，4).由于点q是直线y=x上的动点，设q（s,-s），把q看做定点；设p(m,m2+m-4）。当以oq为对角线时，图6s=2。q1(-2+，2)，q2(-2-，2+)；当以bq为对角线时,s1=-4,s2=0(舍)。q3(4,4);当以ob为对角线时，s1=4，s2=0(舍）。q4(4,-4）.综上,满足条件的点q为q1（-2+,2-)、q2（-2-，2+）、q3（-4，4)、q4（4,4）。反思：该题中的点q是直线y=x上的动点，设动点q的坐标为

11、（s,-s），把q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4 问题总结 这种题型,关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点,分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论,然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组）这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合,从对角线入手不会漏解,条理清楚，而且适用范围广其本质是用代数的方法解决几何问题,体现的是分类讨论思想、数形结合的思想。如图,在平面直角坐标系中，已知rtaob的两条直角边oa、ob分别在y轴和x轴上，并且oa、ob的长分别是方程x27x+

12、12=0的两根(oa0b），动点p从点a开始在线段ao上以每秒l个单位长度的速度向点o运动；同时，动点q从点b开始在线段ba上以每秒2个单位长度的速度向点a运动，设点p、q运动的时间为t秒（1）求a、b两点的坐标。（2)求当t为何值时，apq与aob相似，并直接写出此时点q的坐标（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点m，使以a、p、q、m为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出m点的坐标;若不存在，请说明理由如图，抛物线经过a（1，0），b(5,0），c（0,）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点p，使pa+pc的值最小，求点p的坐标；（3）点m为x轴上一动点，

13、在抛物线上是否存在一点n,使以a，c，m，n四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点n的坐标;若不存在，请说明理由如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+4与y轴交于a点，与x轴交于b点，抛物线c1:y=x2+bx+c过a、b两点，与x轴另一交点为c（1）求抛物线解析式及c点坐标（2）向右平移抛物线c1，使平移后的抛物线c2恰好经过abc的外心，抛物线c1、c2相交于点d，求四边形aocd的面积(3)已知抛物线c2的顶点为m，设p为抛物线c1对称轴上一点，q为抛物线c1上一点,是否存在以点m、q、p、b为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出p点坐标；不存在,请说明理由如图，在平面直角坐标系中，直