大学文科数学20112.3.ppt

1、第二章 线性代数,2.3 一般线性方程组的求解,1.4 一般线性方程组的求解,主要教学内容： 线性方程组的一般理论 线性方程组在几何中的应用 重点难点： 齐次与非齐次线性方程组的解,一. 线性方程组的一般理论 1.一般线性方程组解的基本定理 定理：设A与 分别是n元线性方程组的系数矩阵与增广矩阵 若 ，则方程组无解 若 ，则方程组有唯一解 若 ，则方程组有无穷多解，且通解含n-r个任意常数（也称参数） m是非本质的？秩是本质的,1.4 一般线性方程组的求解,矩阵形式：AX=B,例5：解线性方程组 解,1.4 一般线性方程组的求解,原方程组的唯一解：x1=1,x2=2,x3=3,例6：解线性方程

2、组 解,1.4 一般线性方程组的求解,原方程组无解,例7：解线性方程组 解： 看149页选取任意常数的习惯方法,1.4 一般线性方程组的求解,原方程组有无穷多个解，含2个任意常数，令x3=c1,x4=c2 通解,先看例2.3.4） 例8：讨论参数a与b取什么值时,方程组 有唯一解, 无穷多解或无解 解,1.4 一般线性方程组的求解,1)若a=0且b=0，则,显然, ，因此原方程组无解,1.4 一般线性方程组的求解,2) 若 , 且 则,此时 原方程组也无解,3) 若 且 则,故原方程组有无穷多解,令 得原方程组的通解,1.4 一般线性方程组的求解,4) 若 且 则,此时 方程组有唯一解, 其解

3、为,2.齐次线性方程组的基本定理 定理. n元齐次线性方程组AX=0一定有零解（两种看法：秩；代入） 若 ，则方程组只有零解 若 ，则方程组有无穷多个非零解，且通解含n-r个任意常数 例9：解齐次线性方程组,1.4 一般线性方程组的求解,解,1.4 一般线性方程组的求解,1.4 一般线性方程组的求解,有2个任意常数，令,得原方程组的通解,注：通解表达式不唯一（参见152页，第2行改错），但所含任意常数的个数相同，所代表的解集也相同！（变中有不变,1.4 一般线性方程组的求解,有2个任意常数，令,得原方程组的通解,注：通解表达式不唯一（参见152页，第2行改错），但所含任意常数的个数相同，所代表

4、的解集也相同！（变中有不变,二. 线性方程组在几何中的应用 讨论三个平面的位置关系: （中学学过：讨论两条直线以至多条直线之间的位置关系,1.4 一般线性方程组的求解,中学学过讨论平面上两条直线以至多条直线的位置关系 利用“一一对应”） 两条直线 的位置关系（删去下面的第3行和第3 列） 两条直线交于一点、重合、平行 解线性方程组 有唯一解、有无穷多解、无解,1.4 一般线性方程组的求解,方程组的解与两条直线的位置关系有下列几种联系： 有唯一解：两条直线交于一点 有无穷多解： 两条直线重合于一直线（通解含一个任意常数） 没有解：两条直线无交点平行 启发：通过解线性方程组可以确定 平面上两条直线

5、 之间的位置关系（多条直线 ,1.4 一般线性方程组的求解,三个平面的位置关系：重合、交于一条直线、交于一点、无公共点（平行或；,在MATLAB命令窗口中运行程序 ls1.m，可以得到图形,讨论三个平面位置关系利用“一一对应” : 三个平面 的位置关系 解线性方程组,1.4 一般线性方程组的求解,方程组的解与三个平面的位置关系有下列几种联系： 有唯一解：三个平面交于一点 有无穷多解： 三个平面交于一直线（通解含一个任意常数） 三个平面重合（通解含两个任意常数） 没有解： 三个平面无公共交点（三个平行；两个平行；两两相交） 启发：通过解线性方程组可以确定 空间三个平面 之间的位置关系（多个平面,

6、1.4 一般线性方程组的求解,例1：平面 重合于一个平面 解： 由此解得： 其中c1，c2为任意常数,1.4 一般线性方程组的求解,例2:平面 相交于一条直线 解： 由此解得： 其中c为任意常数 （图有误；意思对,1.4 一般线性方程组的求解,例3： 平面 相交于一个点（1，1，1） 解： 由此解得： （图有误，意思对,1.4 一般线性方程组的求解,例4：平面 没有公共交点 解： 方程组无解 （图有误，意思对,1.4 一般线性方程组的求解,讲解两个平面的相互位置关系 （利用前面的例子，只看其中两个平面,本节结束 谢谢,线性方程组解的几何意义,解：用MATLAB的 rref 命令可以解得,用MATLAB绘制平面的简单方法为,方程组（1）有唯一解,方程组（2）有无穷组解,方程组（3）和（4）无解,ezmesh() 单引号内为平面方程,在MATLAB命令窗口中运行程序 ls1.m，可以得到图形,从上图中也可以看出： 方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有 唯一解； 方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一维的。 方程组（3）的三个平面没有共同的交点。即方程组无解。 方程组（4）也