人教版八年级上册数学讲义只是分享

1、八年级数学讲义 三角形第11章 一、 三角形的概念 1 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接 2三角形的表示 bc，a，ABC中，边：AB，BCAC 或 C B， 顶点：A， ，内角：A ，B C 三角形的边二、 （证明所有几何不等式的唯一方法）:三角形的三边关系 1.b+ca :(1) 三角形任意两边之和大于第三边 b-ca. ,就可构成三角形a当最长，且有时:1.2 确定三角形第三边的取值范围. 两边之差AE，CE=AB AB+ACAE DE=AD AE=2AD AB+ACAE AB+AC2ADCCAEAB

2、AACC和锐角求证如的中线，=分别是钝角 证明延C至，DF=C，连BAD和BDAD=BDADFBDCCD=DFADBDCAF=BABCCAFACB=180 ACB=ABC，ABC+CBE=180 CAF=CBE 又因为AC=BE， CAFCBECE=CF 例3、 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点CABC?ABCBCEEFADFDEFAD，若，求证：为的角平分线 GABCCF?BG?AD证明：延长到点，使，连结 BHFEHFEHE?在和中 CEF?BEH?CE?BE? BEH?CEF?FE?HE? BEH?CEF?， BG?CF?EFC?EHBBH?，而 AGF?BGE?BG

3、E?EHB AGF?AFG?又 ADEF， BAD?CAD?AGF?AFG?例4、如图，在中，是边的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于点F求证：BC?ABCADAFEF 证明：延长AD到点G，使AD=DG，连结BGDC=DB 边的中线 是BCAD在 中GDBADC和AAD=DG FGDB ADC=EDC=DB ）（SSSGDB ADCCBBG=AC CAD=BGD DG BED=又BE=AC，BE=BG AEF=CAD，BED=AEFG AF=EF，FAEAEF=即： 二 截长补短法:1.过某一点作长边的垂线 截长2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短

4、边相等。 补短:1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。 【例题精讲】 例1. 如图，ABC中，ACB2B，12 求证：ABACCD （补短法）证法一： 证法二：AB AF（截长法） 延长AC至点F，使得 在AB上截取AEAC，连结DE 中在ABD和AFD 在AED和ACD中 ） ABDAFD（SAS F B AEDACD（SAS） B ACB2 F 2 ACB FDC 而 ACBF FDC F CF CD CF 而ACAFCD AFACCD ACAB CD=AB+BD. 求证：为2、 如图，在ABC中，ADBC边上的高，B=2C.例 ，证明：在DC上截取DE=DB，连接AE （D

5、E=DB，ADB=ADE,AD=ADADEADBSAS）在ADB和ADE.中 ，AEB=B AE=AB， ，C，ED=BDCAE，B=2 AEB=C+C. AEB=2 CE=AE=AB. CAE，故 C= CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD. AB=AD+BC 上，求证：BAD的平分线，点E在CDABC例3、如图，AD/BC，BE、AE分别是、 证明：在AB上截取AF=AD，连接EF C+D=180 ，平分BADAE而 BFE+AFE= 180 1=2 C=BFE 中，在FAE和DAE在BFE 和 BCE中 AF=AD C=BFE 1=2 3=4， AE=AE BE=BE DAEFAE

6、BFE BCE D AFE= BF=BC AD+BC=AB 又 AD/BC、如图，ABC中，ABAC，AD是4BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除A、D外的任意一点。求证AAPPC 证明：在AB是截取AEAC 在ACP与AEP中，有： ACAE （已知） EAPCAP （已知AD是BAC角平分线） APAP （公共边） ACPAEP （SAS） PCPE （全等三角形对应边相等） BEPBPE （三角形两边差小于第三边） BEPBPC （等量代换） BEABAE ACAE BEPBPC ABACPBPC 与角平分线有关的辅助线三 、角平分线上的点到角两边的距离相等。、对称性；b角平分线具有

7、两条性质：a 截取构造全等1 C?BDBACAB?AC?BABCAD ，平分 如图1，在，求：的值中，例1 ACAE?ABAEAE 上截取使解法1：在，连结A ADAD?BAD?DAEA ，AEDABD ，E DEBD?B?AED ，ACBD?AB? 又，B D CDE?CE?BDB D C ，EDCC? ， ）（图1F C? ?AED?2?B ， 2）（图1?2?B?C ACAF?DFFAB ，使：解法2延长到，连结AD=AD CAD， FAD=AC=AF FAD(SAS)CADAC?BDABCF=2ABC=2 BD=BF AB+BF=AF 又 垂线”构造全等三角形或等腰三角形 + 2、“角

8、平分线ABCDCBABC?AD?ABCDBD ，平分中，例2 如图3，在四边形?180?A?C 求证：BCBCDF EDDEABBAF 证明：过点于点作延长线于点，作，交，交ABCBDE ，平分A CD?ADDF?DE ，又D FCDRtRtEAD ，CEAD? ?180BAD?EAD? ，C F B ?180BAD?C? ）（图3?90?ACACABCDB，过点，已知等腰三角形于点的平分线交中，例3 如图4CE?2BDEBDBD 的垂线交 作的延长线于点求证：F CEFBA 交，证明：延长的延长线于点CF?ABCBEBE ，的平分线，A F BCF? ，E FBC 是等腰三角形D FE?CE

9、 CE?2CF B C ?ACFABD?AB?AC90?CAFBAD? ，4 （图CAFBADRtRt CE?2BD?CF 角平分线的性质 、角的平分线的性质1 角的平分线上的点到角的两边距离相等。，E于，PEOB是OC上一点，PDOA于点D是例1，如图，OCAOB的角平分线，点P 。求证：PD=PE （已知），PEOB证明：PDOAA 0 ODP=OEP=90（垂直的定义）D （已知）又OC平分AOBC （角的平分线定义）AOC=BOCP 中RtEOP在RtDOP和B O E BOC?AOC?OEP?ODP? ?OPOP? RtEOP（AAS）RtDOP PD=PE（全等三角形的对应边相等）

10、 2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定） 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。，于ED，PEOB在AOB内部的一条射线OC上，并且PDOA于点已知：例2如图，点P AOB的平分线。PD=PE。求证：射线OC是0 ODP=OEP=90（垂直的定义）OA证明：PD，PEOB（已知）OP?OP? 和RtDOPRtEOP中，在?PE?PD? （HL）DOPRtEOPRtAOB OC平分 EOP（全等三角形的对应角相等） 即射线DOP= 【典型例题】EA=EB 。求证：，ADOBBC例3：如图，已知OE平分AOB，OAO D C E B A 。O，OB=OC相交于点，D，BEAC于ECD，

11、BE于：如图，已知例4CDAB2 求证：1=A 1 2 E D O C B ，BD上，且PMP，OB边上取OA=OB，点在ODAOB例5：如图所示，已知OD平分，在OAPM=PN 。求证：PNAD B M D P N A O 与EFACD的高，那么DF分别是ABD和，：如图，例6AD是ABC中BAC的平分线，DE AD有何特殊的位置关系？试证明你的结论。A O E F B D C 0。C=180 ABC。求证：A+BDBCBA7例：如图，在四边形ABCD中，AD=DC，平分 D A C B 轴对称第13章 知识网络结构图 定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，(1) 这

12、个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴 ，则对应线段两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形) 性质(2) (对折后重合的角)相等相等；对应角(对折后重合的线段) 对称轴垂直平分连接对应点的线段 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫 轴对称图形 做这条线段的垂直平分线 轴对称 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 (3)垂直平分线 距离相等 判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上 轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换 ) ，yx轴的对称点的坐标为P(x)P(x，y关于 作轴对称图形 用坐标表示轴对称 ) y(x，)P(x

13、，y关于y轴的对称点的坐标为P 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 等腰三角形) (1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角 底边上的中线、底边上的高相互等腰三角形的顶角平分线、(2) 性质 )(三线合一重合 轴对称及轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。如下 是轴对称图形。左图，ABC llAAA CBC B C B ；轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形” 况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形

14、看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。 等腰三角形和等边三角形 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形1、 三线合一 等边对等角 2、 等腰三角形的性质： 1（） 两腰相等 两底角相等（2） ，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合3） “三线合一”（ 等腰三角形的判定：3、 有两条边相等的三角形是等腰三角形（1） 有两个角相等的三角形是等腰三角形2） （ 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形4、 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于605、 等边三角形的判定：6、 三条边都相等的三角形是等边三角形1） （ ） 三个角都相等的三角形

15、是等边三角形2（ 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形（3） 【典型例题】 ）1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ 例1：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为00000 36 20C、D或120、 A、20 B、120 0C=_ BAD=80，则，AB=AD=DC 如图，在ABC中，点D是BC上一点，2例： A 0 80 C B D ） 8cm例2：若等腰三角形的底边长为，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是（26cm 13cm或D 、18cm C18cm或21cm B A、21cm 、 00CD=_ ，则ABC，若AD=6，ABC=60，BD平分C=903例：如图，ABC中， C D B A 的位与AEBC的外角，AB=ACAE是BACDAC的平分线。试判断中，：如图，在例4ABCD 置关系。 E A B C BE=CD ACE是等边三角形。求证：例5：如图，ABD和 E A D C B o , 于B, ABC=120, DB, BD是AC边上的中线BC例6已知如图所示, 在ABC中: AB=2BC 求证B A D C E 00，AB的垂直平分线DE交AB于E，交：如图