高数1全套公式

1、一、三角函数1 .公式同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sinA2( a )+cosA2( a )=tan2( a )+1= secA2( ；cOtA2( a )+1= cscA2( a)商的关系：tan a =sin a /cos aot a =cos a /sin a倒数关系：tan a cot ; =sin a csc a; =tos a sec a =1三角函数恒等变形公式：两角和与差的三角函数：cos( a + 3 )=cos a eois sin 3cos( a 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3sin( a3 )=sin a cos 3 土 cos a

2、sin 3tan( a + 3 )=(tan a +tan -tan(a tan 3)tan( - 3 )=(tan -tan 3 )/(1+tan a tan 3)倍角公式：sin(2 a )=2sin a cos acos(2 a )=cosA2( -s)n人2( a )=2cosA2( -1=1- 2si门人2( a)tan(2 a )=2tan a #1 门人2( a )半角公式：sinA2( a /2)=- cos a )/2cosA2( a /2)=(1+cos a )/2tan A2( a /2)=(1cos a )/(1+cos a)tan( a /2)=sina /(1+co

3、s ot-()es1a )/sin a万能公式：sin a =2tan( a /2)/1+ta门人2(a /2)cos a =1-tanA2( a /2)/1+ta门人2(a /2)tan a =2tan( a /2)/t1a门人2( a /2)积化和差公式：sin a cos 3 =(1/2)sin( a + 3-)+9n( acos a sin 3 =(1/2)sin( -sin(+33 )cos a cos 3 =(1/2)cos( a + 3 )+3$I asin a sin-(3/2)cos(a +-3o)s( a 3 )和差化积公式：sin a +sin 3 =2sin( a +

4、3 )/2cos)/2 asin asin 3 =2cos( a + 3 )/2sin3 )/2xcos a +cos 3 =2cos( a + 3 )/2COs3 )/2:cos a-cos 3=2sin(a + 3 )/2sin( 3 )/2)2.特殊角的三角函数值11f(0 (0=)JI6(30)4(45)卫3(60)22(90)cos日13/20心=0i 0)i|u.iju.一兀二次方程2ax +bx+c=0有二互异实根有一相等实根（有一根）b无实根x-by b - 4ac2 _2a元次不等式(a0)2ax +bx +c 0(X1 x2bx丰-2ax乞Rax +bx +cv 0捲 c

5、X X2xex运三、因式分解与乘法公式2 2(1) a -b -(a b)(a b)2 2 2(2) a 2ab b = (a b)(3) a2 -2ab b2 =(a -b)2(4) a3 b3 =(a b)(a2 -ab b2)(5) a3 -b3 =(a -b)(a2 ab b2)32233(6) a 3a b 3ab b = (a b)(7) a3 -3a2b 3ab2 -b3 =(a -b)32 2 2 2(8) ab c 2ab 2bc 2ca = (a b c)(9) an -bn =(a -b)(an anb -abn，- bnJ),( n _ 2)四、等差数列和等比数列1.

6、等差数列通项公式：an二ai n -1 d前n项和公式Sn =门可 或2.等比数列GPan =0,通项公式an = a1q前n项和公式.ai 1 -qn1 -q nq五、常用几何公式q=1q=1平面图形名称符号周长C和面积S正方形a 边长C = 4aS = a2长方形a和b边长C = 2(a+b)S = ab三角形a,b,c 三边长 h a边上的高 s 周长的半 A,B,C 内角 其中 s = (a+b+c)/2S = ah/2=ab/2 sinC1/2=s(s-a)(s-b)(s-c)2=a sinBsinC/(2sinA)平行四边形a,b 边长 ha边的高 a-两边夹角S = ah=abs

7、in a菱形a边长a夹角D长对角线长 d短对角线长S = Dd/22 . =a sin a梯形a和b 上、下底长 h 高m 中位线长S = (a+b)h/2 =mh圆r半径 d 直径C = nd = 2 nr u2S = nr=nd2/4扇形r扇形半径 a圆心角度数C = 2r + 2n r X (a/360) S = n 2 Xa/360)圆环R外圆半径 r内圆半径D外圆直径 d内圆直径S = n (於-r2) =n (D-d2)/4椭圆D 长轴 d 短轴S = n Dd/4立方图形名称符号表面积S和体积V正方体a边长S = 6a2V = a长方体a 一长 b 宽 c 咼S = 2(ab+a

8、c+bc) V = abc圆柱r-底半径h 高C 底面周长S底一底面积S侧一侧面积S表一表面积C = 2 nrS 底一nrS 侧=Ch2S 表=Ch+2S 底=Ch+2nrV = S 底 h = n rh圆锥r-底半径 h 高2V = n rh/3球r半径 d 直径V = 4/3 n 3=nd3/6S= 4 n 2=nd2基本初等函数名 表达式 定义域图 形称常数函数y =C幕 y =x函数随而异, 但在R 上 均有定义.8过点（1，1）；J . 0时在R 单增；: 0时在R 单减.指数函数xy =aa 0a胡y 0 .过点0,1 .a -1单增.0 ： a 1 单减.mm n m -n am

9、-n mm na a a r = a , a a a对数函数y =loga xa 0a =1过点1,0 .a单增.0 ： a 1 单减.loga a =1,loga1 二 0,M ,N 0loga MN 二 loga M loga N,MlogalogaM -loga N,Nloga M 卩=Ploga M ,. log c b 亠iloga b c 0广 1 , logcaloga ax =x(x 0)aloga x x(x 0)正 弦 函 数y =sin xRyi朮O1 u-13 /2|2応2ft H 12 比奇函数.T =2兀.iy“余 弦 函 数y =cosxRyi-1偶函数.T =2

10、兀.1心正 切 函 数y = tan xjix 式 km + 2ZiiJy 11丿J1i奇函数.T =兀. 在每个周期 内单增Ir(xII余 切 函 数y = cot xx 式 kn,MZL、I1 kJ奇函数.T =n .在每个周期 内单减.ni131 ix反 正 弦 函 数y =arcsin xLij-1Iy01x-J/2奇函数. 单增.31JI- y .22反 余 弦 函 数y = arccosxLi!1-1yTL腔o1x单减.0兰y兰兀.反 正 切 函 数y =arctan xRyUT2_厂ox涎一_奇函数. 单增.TtJI_一 y _ .22反 余 切y = arc cot xRy 1

11、JT单减.0 c y 兀.函数ox极限的计算方法一、初等函数：l.lim C二C(C是常值函数)2. 若f (x j (即f (x)是有界量)，lim a =0(即。是无穷小量)，二lim f (x卢=0, 特别:f x j=C二 limC3若 f(xjM(即f(x 是有界量)n lim f x)= o,C特别:f x = C C = 0 = lim 00c g C04.lim0C cO5.未定式1 0型A分子，分母含有相同的零因式，消去零因式B. 等价无穷小替换(常用sin x x,ex-1 x,ln x 1 x)C. 洛必达法贝U:要求 f x , g x 存在,且lim f_ 存在,此时

12、,lim f x = lim f_g(x)g(x) g(x)2 型oOA. 忽略掉分子，分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大，保留最高阶的无穷大，再化简计算B. 分子，分母同除以最高阶无穷大后，再化简计算.C. 洛必达法则.3 “ 呻型0aO通过分式通分或无理函数有理化，转化为0型或一型0旳roO oO1 =二(4 )0 乂转化为 00 =0 05 00型一求对数0二6 型_求对数 0 .： 17 1型 通过lim 1 x x =e或求对数来计算.x0二、分段函数：分段点的极限用左，右极限的定义来求解. 基本初等函数的导数公式(1)(C) = 0 , C是常数(2)(x ：) - : x 1(3)

13、(ax)JaxIna,特别地，当 a =e时，(ex)丄ex(4)11(logax)，特别地，当 a =e时，(ln x)x ln ax(5)(sin x) = cosx(6)(cosx) = -sin x(7)(tan x) = = sec2 xcos x(8)(cot x)- = - esc2 xsin x(9)(secx) = (secx) tan x(10)(cscx) - -(cscx) cot x(11)(arcsin x) =p1 -x2(12)(arccosx) = -一, 1j1-x2(13)(arctan x)21 +x(14)(arccot x) -2基本初等函数的微分公

14、式(1)、de =0(c为常数)；、d(x )=七4dx(为任意常数)；、d(ax) =ax|nadx，特别地，当 a 二e时，d(ex)=exdx；、11d(IogaX)dx，特别地，当 a =e时，d(ln x)dx ；x In ax、d(sin x)二 cosxdx ；、d(cos x) - -sin xdx ；、d(tanx)二 sec xdx ；(8)、2d(cotx) = -csc xdx ；(9)、d (sec x) = secx tan xdx ；(10)、d(cscx)二 - cscxcotxdx ;(11)、d (arcsin x)二/ dx ;-X(12)、d (arcc

15、osx)=1- k ；(13)、d (arctan x)=2 dx ;1 x(14)、d (arc cot x):dx .1 x2曲线的切线方程幕指函数的导数u xvx -u xvxy-y。二 f (xo)(x-x。)b(x)inu(x)+v(x)XJVu(x)丿极限、可导、可微、连续之间的关系条件A =：条件B, A为B的充分条件条件B = 条件A, A为B的必要条件条件A = 条件B, A和B互为充分必要条件边际分析 边际成本 MC =C (q);边际收益 MR = R(q)；边际利润ML = L (q)， L (q) = R (q) -C (q) = MR MC弹性分析y = f (x)

16、在点x0处的弹性，特别的，需求价格弹性:学吕yg Ex xn y。EDEpD (p)罗尔定理若函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b连续;在开区间(a,b)可导; f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点拉格朗日定理设函数f(x)满足：(1) 在闭区间a,b连续；(2)在开区间(a,b)可导，ba则在(a,b)上至少存在一点，使得f ()(b) f(a)基本积分公式0 dx 二 Ckdx = kx Ck为常数特别地：d = x Cx，dx 二上 C-1L 卩+11dx =ln |x| C(有时绝对值符号也可忽略不写)xx aa dxCln aexdx 二 ex C cosxdx 二 s

17、in x C sin xdx 二-cosx C= sec2 xdx = tan x C cos x(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)= csc2 xd = - cot x C sin x secx tan xdx = secx C cscxcotxdx = -cscx Cdx21 x=arcta n x C(或.芒cotx C)dx1：二 arcsinx C(或dxx2-arccosx C)tan xdx = Tn |cosx| C，cotxdx =1 n |sin x| C， secxdx =ln |secx tanx| C，

18、 cotxdx 二In |cscxcotx| C，2dx 2 丿arctan C， (a = 0)，a x a adxa2 -x21 ln 2ax ax a(a=0)，dxx, c、(21) : arcs inC， (a . 0)，品2 -x2a=1 n x+x2 士a2 +C , (a 式0).(22) 一dx -2 2x 二 a常用凑微分公式、1dx d ax b a, b为常数，且a = 0 a、xdx = * 1 d x22、exdx =dex、sin xdx = -d cosx(8)、cosxdx 二 d sin x(9)、sec xdx 二 d tan x(10)、csc2 xdx

19、 = -d cot x(11)、.idarcsinx(12)、1一阶线性非齐次微分方程黒 PQ(x)P(x)dx的通解为Q(x)eP(x) dxdx+ C(右图)0 g(x)dx2)区域D由连续曲线xfx(y) 和直线x=c,x=d围成，其中(y)(y) c 乞 y 乞 ddD的面积 A -| (y) - (y) dyc平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式1、绕x轴的旋转体体积(右图)b 2Vxf2(x)dxJ a注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴.2、绕y轴的旋转体体积(右图)d 2Vy二 g (y)dy注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴.由边际函数求总函数qC(q)二 f(x)dx Co (C。=C(0)为固定成本)R( q)二q总利润函数为 L(q) =R(q)C(q) = g(x) f (x)dx C。多元复合函数的导数公式设函数u = (x, y)、v珂(x, y)在