重庆大学自动控制原理2第9章习题参考答案_作业

1、9-2已知非线性系统的微分方程为(1)x3x2 x0(2)(3)xxx0(4)xxxx0x(1x2 ) xx0试确定系统的奇点及其类型，并概略绘制系统的相轨迹图。解(1) 奇点 (0, 0) 。特征方程为2两个特征根为3201,21,2平衡点 (0, 0) 为稳定节点。在奇点附近的概略相轨迹图：xx(2) 奇点 (0, 0) 。在平衡点 (0, 0) 的邻域内线性化，得到的线性化模型为xx0其特征方程为2两个特征根为101,2j平衡点 (0, 0) 为中心点。在奇点附近的概略相轨迹图：xx(3) 奇点 (0, 0) 。原方程可改写为xxx0x0xxx0x0其特征方程、特征根和类型为210210

2、1,21,20.5j 0.866稳定焦点1.618, 0.618鞍点在奇点附近的概略相轨迹图：(4) 奇点 (0, 0) 。在平衡点 (0, 0) 的邻域内线性化，得到的线性化模型1为xxx0其特征方程为2两个特征根为101,20.5j 0.866平衡点 (0, 0) 为不稳定焦点。在奇点附近的概略相轨迹图：xx9-6非线性系统的结构图如图9-51所示，其中 a 0.2 ，b 0.2，k4 ，t 1s 。试分别画出输入信号取下列函数时在 e - e 平面上系统的相平面图（设系统原处于静止状态） 。(1)r (t )21(t )(2) r (t )2 1(t) 0.4t(3)r (t )21(t

3、 ) 0.8t(4) r (t)2 1(t ) 1.2trebukc0 as(ts1)图9-51 题9-6图解：由系统结构图可得cc4u 。由于 erc ，那么 ee4urr 。2其中0.2e0.2u e 0.2 e 0.2 0.2 e 0.2系统原处于静止状态，即 c(0)c(0)0。1、r(t)=2 1(t)初始状态 e(0) r (0)c(0)2，e(0)r (0)c(0)0 。系统运动方程ee0.80e 0.21区ee4e00.2e0.22区ee0.80e0.23区奇点： 1 区和 3 区没有奇点。 2 区的奇点位置 (0，0)，可判定其为稳定焦点。由于根据2 区的运动方程求出的奇点在

4、2 区内，该奇点为实奇点，故系统的相轨迹必稳定在该实奇点上。渐近线：1 区 e0.8 ；2 区没有渐近线； 3 区 e0.8 。相轨迹的斜率： 1 区10.8 ， 2 区14e ， 3 区10.8 。eee1 区与 3 区的相轨迹具有中心对称性。相轨迹大致形状如图所示。32、r(t)=- 21(t)+0.4t初始状态 e(0) r (0)c(0)2 ， e(0)r (0)c(0)0.4 。系统运动方程ee0.40e0.21区ee 4e0.40.2e0.22区ee1.20e0.23区奇点： 1 区和 3 区没有奇点。2 区的奇点位置 (0.1，0)，可判定其为稳定焦点。由于根据 2 区的运动方程

5、求出的奇点在 2 区内，该奇点为实奇点，故系统的相轨迹必稳定在该实奇点上。渐近线：1 区 e0.4 ；2 区没有渐近线； 3 区 e1.2 。相轨迹的斜率： 1 区10.4 ， 区14e 0.4 ， 区1 1.2 。23eee相轨迹大致形状如图所示。43、r(t)=- 21(t)+0.8t初始状态 e(0) r (0)c(0)2 ， e(0)r (0)c(0)0.8 。系统运动方程ee0e0.21区ee4e0.80.2e0.22区ee 1.60e0.23区奇点和奇线： 1 区 e 0 为奇线。 2 区的奇点位置 (0.2，0)，可判定为稳定焦点。 3 区没有奇点。由于根据 2 区的运动方程求出

6、的奇点在 2区内，该奇点为实奇点，而根据1 区的运动方程求出的奇线上的点全为 1 区内的实奇点，故系统的相轨迹必稳定在e0 且 e0.2 的奇线上。渐近线：1 区和 2 区没有渐近线； 3 区 e 1.6 。相轨迹的斜率： 1 区1，2 区14e0.8 ，3 区11.6 。ee5相轨迹大致形状如图所示。4、r(t)=- 21(t)+1.2t初始状态 e(0) r (0)c(0)2 ，e(0) r (0)c(0)1.2。系统运动方程ee0.40e0.21区ee4e1.20.2e0.22区ee20e0.23区奇点： 1 区和 3 区没有奇点。 2 区的奇点位置 (0.3，0)，可判定为稳定焦点。由

7、于根据 2 区的运动方程求出的奇点不在2 区内，该奇点为虚奇点，而系统的相轨迹不会稳定在该虚奇点上。渐近线： 1 区 e 0.4；2 区没有渐近线； 3 区 e2 。相轨迹的斜率： 1 区10.4 ， 区14e 1.2 ， 区12。e2e3e61 区与 3 区的相轨迹具有中心对称性。相轨迹大致形状如图所示。9-8试用相平面法分析图9-53 所示系统在0 、0 及0 三种情况下相轨迹的特点。 （设 r (t )0 ，试在 cc 相平面上绘制绘制系统在0 ，0 及0 三种情况下的相轨迹。）remu1c0s2m1s图9-53 题9-8图解：采用积分法求出相轨迹方程。令r (t)0 ，由系统结构图可知

8、cmcc0 ，可见 cc 0 是开关线。mcc07积分可得c22mca1 ,cc0抛物线c 22mca2 ,cc0物线相轨迹是开口向右的相轨迹是开口向左的抛0 ，开关线是 c 轴，相轨迹如图 (a)所示，是封闭曲线族。0 ，相轨迹如图 (b)所示，系统不稳定。0 ，相轨迹如图 (c)所示，系统稳定。ccccococo( a)(b)(c)9-10将图 9-54 所示非线性系统简化成典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。8r 0g(s)r 0g( s)nnh (s)h ( s)(a)(b)r0g(s)h (s)n(c)图9-54 题9-10图解： (a) 线性部分的传递函数g0g (s)(s)

9、1 g ( s) h (s)(b) 线性部分的传递函数 g0 (s) g(s)1 h ( s)g (s)h (s)(c) 线性部分的传递函数g0 (s)1g (s)简化后的非线性系统典型结构图：g(s)nn g(s)1 h ( s) 1 g(s)h ( s)(a)(b)ng (s) h (s)1g( s)(c)9-12各系统的 g( j ) 和 1/ n ( a) 曲线如图 9-56 所示， p 为 g( s) 的右极点个数，为 g(s) 的积分环节个数。试判断各系统的稳定性，并判断g( j) 和1/ n( a) 曲线的交点是否为自振点。91imimimn ( a)b crererea000a

10、g( j )a1g( j)p01p 0n ( a)p01n ( a)2g ( j)1(a)(b)(c)imimim1g ( j )ren ( a)a01g ( j )reb0n( a)area01p0p 2p1g ( j)n( a)100(d)(e)(f)图 9-56 题 9-12图解： (a) p=0，a 点和 c 点是1曲线穿出包围区进入到稳定区n ( a)的交点，是自振点。 b 点是1曲线由稳定区穿入不稳定区（包围n ( a)区）的交点，不是自振点。(b) p=0， a 点是1曲线由不稳定区（包围区）穿出到稳定区n ( a)的交点，是自振点。(c) p=0，a 点是1曲线由不稳定区（包围

11、区）穿出到稳定区n ( a)的交点，是自振点。(d) p=0，b 点是1曲线穿出包围区进入到稳定区的交点，是n ( a)10自振点。 a 点是1曲线由稳定区穿入不稳定区（包围区）的交点，n ( a)不是自振点。(e) p=2，1曲线被 g( j ) 曲线反时针包围p1次的区域为稳定n ( a)2区。1n ( a)曲线由稳定区穿出进入不稳定区，交点 a 的等幅振荡无法持续，a 不是自振点。(f) p=1，1曲线被 g ( j ) 曲线反时针包围 p1 次的区域为稳n ( a)22定区。1n ( a)曲线由不稳定区穿入稳定区，交点 a 是自振点。9-13 非线性系统如图9-57 所示，试确定系统的

12、自振振幅和频率。r 0e1u10c0s(s1)(s2)1图 9-57 题 9-13图解：理想继电特性的描述函数4m4n ( a)aaim101-5/3线性部分的频率特性n ( a)g ( j )rej ( j1)( j2)01 曲线与 g ( j) 曲线如图所示。n ( a)g ( j)11在1曲线与 g ( j) 曲线的交点处n ( a)1g( j )1n ( a)n ( a)g ( j )即j ( j 1)( j2)40a由上式两端的实部和虚部分别相等可解得频率2 ，振幅a=20/2=2.12 。自激振荡的振幅为 2.12，频率为2 ，即在非线性环节的输入端存在近似为2.12sin2t 的持续振荡。9-14 非线性系统如图9-58 所示，试确定系统的自振振幅和频率。r 0e22u10c110 10 1s(s1)222110 11图 9-58 题 9-14图解：典型化后的非线性系统结构图210c0.50 0.5s( s 1) 22死区继电特性的描述函数为4m2n ( a)aa )1( aaa当 aa 时，1；当 a时，1。n ( a)n ( a)12当 a2 时，