三角函数第一课时_高一数学教案

1、数学教案三角函数第一课时_高一数学教案 _模板第四章三角函数第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用 “旋转 ”定义角的概念， 并进而理解 “正角 ”“负角 ”“象限角 ”“终边相同的角”的含义。过程：一、提出课题：“三角函数 ”回忆初中学过的“锐角三角函数 ”它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广1回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘 ”2讲

2、解： “旋转 ”形成角（ p4）突出 “旋转 ” 注意： “顶点 ”“始边 ”“终边 ”“始边 ”往往合于轴正半轴3 “正角 ”与“负角 ”这是由旋转的方向所决定的。记法：角或可以简记成4由于用 “旋转 ”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1角有正负之分如： a=210 b=-150g=-660 2角可以任意大实例：体操动作：旋转2 周（ 360 2=720 ） 3 周（ 360 3=1080 ）3还有零角一条射线，没有旋转三、关于 “象限角 ”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限， 我们就说这个角是第几象

3、限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如： 30 390 -330 是第象限角300-60 是第象限角585 1180 是第象限角-2000 第象限角等是四、关于终边相同的角1观察： 390 ， -330 角，它们的终边都与30角的终边相同2终边相同的角都可以表示成一个0到 360 的角与个周角的和390 =30 +360 -330 =30 -360 30 =30 +03601470 =30 +4360 -1770 =30 -5 360 3所有与a 终边相同的角连同a 在内可以构成一个集合即：任何一个与角4例一（ p5 略）a 终边相同的角，都可以表示成角a 与整数个周角的

4、和五、小结：1角的概念的推广用 “旋转 ”定义角角的范围的扩大2“象限角 ”与“终边相同的角”六、作业：p7练习 1、 2、 3、 4习题 1.41同角三角函数的基本关系式教学目标：1掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式教学重点：理解并掌握同角三角函数关系式教学难点：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；教学用具：直尺、投影仪教学步骤：1设置情境与初中学习锐角三角函数一样， 本节课我们来研究同角三角函数之间关系， 弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化2探索研究（

5、 1）复习任意角三角函数定义上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图 1 所示，任意角 的六个三角函数是如何定义的呢？在 的终边上任取一点，它与原点的距离是，则角的六个三角函数的值是：；（ 2）推导同角三角函数关系式观察 及 ，当 时，有何关系？当 且 时 、 及 有没有商数关系？通过计算发现 与 互为倒数： 由于 ，这些三角函数中还存在平方关系，请计算的值由三角函数定义我们可以看到： ，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：平方关系：商数关系：倒数关系：即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 的正切，同一个角的正切、余切之积等于 1（即同一个角的正切、余切互为倒数） 上面

6、这三个关系式，我们称之为恒等式，即当 取使关系式两边都有意义的任意值时， 关系式两边的值相等， 在第二个式中， 在第三个式中， 的终边不在坐标轴上， 这时式中两边都有意义， 以后解题时， 如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的 其次，在利用同角三角函数的基本关系式时， 要注意其前提“同角 ”的条件（3）同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式十分重要， 应用广泛， 其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值【例 1】已知，且是第二象限角，求， ， 的值解：，且，是第二或第三象限角如果 是第二象限角，那么如果 是第三象限角，那么，说明：本题没有具体指出 是第

7、几象限的角， 则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论【例 2】已知，求的值解： ，且， 是第二或第三象限角如果 是第二象限角，那么如果 是第三象限角，那么说明：本题没有具体指出是第几象限角，则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论【例 3】已知为非零实数，用表示， 解：因为，所以又因为，所以于是由 为非零实数， 可知角 的终边不在坐标轴上， 考虑 的符号分第一、 第四象限及第二、三象限，从而：在三角求值过程中应尽量避免开方运算， 在不可避免时， 先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明同角三角函数关系式还经常用

8、于化简三角函数式，请看例4【例 4】化简下列各式：（ 1） ；（ 2） 解：（ 1）（ 2）3演练反馈（投影）（ 1）已知： ，求 的其他各三角函数值（ 2）已知 ，求 ， （ 3）化简：解答：（ 1）解：，所以是第二、第三象限的角如果 是第二象限的角，则：又如果 是第三象限的角，那么（ 2）解： 是第二或第四象限的角由【例 3】的求法可知当 是第二象限 当 是第四象限 （ 3）解：原式4本 小 （ 1）同角三角函数的三 关系式的前提是“同角 ”，因此， （ 2） 如 ， ， 它 都是条件等式，即它 成立的前提是表达式有意 （ 3）利用平方关系 ，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即

9、要就角所在象限 行分 作 ：1已知， ， 等于（）a bcd2若， 的 是（）a 2b 2c2d3化 4化 ，其中 第二象限角5已知，求的 6已知是三角形的内角，求 参考答案： 1 d； 2 b； 31； 4 ；注： 4略解：原式5 3；6 在第二象限 6略解：由 ，平方得， 是三角形内角只有 ，由及 ， 立，得：， ，教学目标（ 1）掌握一元二次不等式的解法；（ 2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；（ 3）了解简单的分式不等式的解法；（ 4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；（ 5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单

10、的含字母的一元二次不等式；（ 6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；（ 7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观教学重点：一元二次不等式的解法；教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系教与学过程设计第一课时设置情境问题：解方程作函数的图像解不等式【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？【回答】函数图像与 x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式 的解集为函数图像落在 x

11、轴上方部分对应的横坐标。能。通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集， 类似地， 我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？探索与研究我们现在就结合不等式的求解来试一试。 （师生共同活动用“特殊点法 ”而非课本上的“列表描点 ”的方法作出的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。 ）【答】

12、方程的解集为不等式的解集为【置疑】哪位同学还能写出的解法？（请一程度差的同学回答）【答】不等式的解集为我们通过二次函数的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题的解集， 还求出了的解集， 可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。下面我们再对一般的一元二次不等式与 来进行讨论。 为简便起见， 暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题：如果相应的一元二次方程分别有两实根、 惟一实根，无实根的话， 其对应的二次函数的图像与 x 轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）【答】二次函数的图像开口向上且分别与x 轴交于两点，一点及无交点。现在请同学们观察表中的二次函数

13、图，并写出相应一元二次不等式的解集。（通过多媒体或其他载体给出以下表格）【答】的解集依次是的解集依次是它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数的图像。课本第 19 页上的例1例 2例 3它们均是求解二次项系数的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。 现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。（教师巡视，重点关注程度稍差的同学。）演练反馈1解下列不等式：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）2若代数式的值恒取非负实数，则实数x 的取值范围是。3解不等式（ 1） （ 2）参考答案：1（ 1） ；

14、（ 2） ；（ 3） ；（ 4） r23（ 1）（ 2）当 或 时， ，当 时，当 或 时， 。总结提炼这节课我们学习了二次项系数 的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与 x 轴的交点，再对照课本第 39 页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。（五）、课时作业（ p20练习等 3、 4 两题）（六）、板书设计第二课时设置情境（通过讲评上一节课课后作业中出现的问题， 复习利用 “三个二次 ”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。 ）上节课我们只讨论了二次项系数 的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，那么二次项系数 的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答

15、这个疑问呢？探索研究（学生 有的 仍然利用二次函数的 像，有的 将二次 的系数 正数后再求解， 教 分 持上述 解的学生代表 一步 明各自的 解）生甲：只要将 本第39 上表中的二次函数 像次依关于x 翻 成开口向下的抛物 ，再根据可得的 像便可求得二次 系数的一元二次不等式的解集生乙：我 得先在不等式两 同乘以1 将二次 系数 正数后直接运用上 所学的方法求解就可以了 ：首先， 两种 解都是合乎 和可行的不 按前一 解来操作的 ，同学 需再 住一 似于第39 上的表格中的各 不但加重了 担，而且两表中的 容易搞混 致 而按后一种 解来操作 不存在 个 ， 同学 第19 例 4（待学生 完 ，

16、教 再 要 解一遍） 知 运用与解 研究由此例可知， 于二次 系数的一元二次不等式是将其通 同解 形化 的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一 所学 的方法。我 就能求解任意一个一元二次不等式了， 同学 求解以下两不等式（ 两位程度中等的学生演板）（ 1）（ 2）（分 本p21 习题 1 5 中 1 大 （ 2）、（ 4）两小 教 两位同学的解答，注意 正表述方面存在的 ） 二可化 一元一次不等式 来求解的不等式目前我 熟悉了利用“三个二次 ” 的关系求解一元二次不等式的方法 然 任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来 是 我 感到有点麻 故在求解形如（或）的一元二次不等式 根据（有理

17、数）乘（除）运算的“符号法 ”化 同学 更加熟悉的一元一次不等式 来求解 在清同学 本p20 上关于不等式求解的内容并思考：原不等式的解集 什么是两个一次不等式 解集的并集？（待学生 完 ， 一程度 好， 表达能力 的学生回答 ）【答】因 足不等式 或 的 x 都能使原不等式成立，且反 来也是 的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式 解集的并集 个回答 明了原不等式的解集a 与两个一次不等式 解集的并集b 是互 子集的关系，故它 必相等， 在 同学 求解以下各不等式（ 三位程度各异的学生演板教 巡 ，重点关注程度 差的学生）（ 1） p20 中第 1 大 （ 2） p20 中第 1 大 （

18、3） p20 中第 2 大 （老 扼要 三位同学的解答尤其要注意 正表述方面存在的 然后 解p21例 5）例 5解不等式因 （有理数） 与商运算的“符号法 ”是一致的，故求解此 不等式 ，也可像求解 （或）之 的不等式一 ，将其化 一元一次不等式 来求解。具体解答 程如下。解：（略） 在 同学 完成 本p21 中第3、 4 两大 。（等学生完成后教 出答案，如有学生 不上答案，由其本人追 原因，自行 正。 三 用 “符号法 ”解不等式的复式 。）（通过多媒体或其他载体给出下列各题）1不等式与 的解集相同此说法对吗？为什么补充 2解下列不等式：（ 1）课本 p22 第 8 大题（ 2）小题（ 2

19、）补充（ 3）课本 p43 第 4 大题（ 1）小题（ 4）课本 p43 第 5 大题（ 1）小题（ 5）补充（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程）参考答案：1不对。同时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。2（ 1）（ 2）原不等式可化为： ，即解集为 。（ 3）原不等式可化为解集为（ 4）原不等式可化为 或解集为（ 5）原不等式可化为： 或 解集为总结提炼这节课我们重点讲解了利用 （有理数） 乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为 0 的不等式。 值得注意的是， 这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。（五）布置作业（

20、 p22 2（ 2）、（ 4）；4； 5； 6。）（六）板书设计教学目标1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.（ 1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；（ 2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；（ 3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题 .2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的

21、观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.关于等差数列的教学建 （ 1）知 构（ 2）重点、 点分析教学重点是等差数列的定 和 通 公式的 与 用，等差数列是特殊的数列，定 恰恰是其特殊性、也是本 属性的准确反映和高度概括，准确把握定 是正确 等差数列，解决相关 的前提条件.通 公式是 与 数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通 公式的 构与一次函数的解析式密切相关，通 函数 象研究数列性 成 可能 .通 不完全 法得出等差数列的通 公式，所以是教学中的一个 点；另外，出

22、 在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母 多，学生 用 会有一定的困 ，通 公式的灵活运用是教学的有一 点.（3）教法建 本 内容分 两 ，一 等差数列的定 与表示法，一 等差数列通 公式的 用等差数列定 的引出可先 出几 等差数列， 学生 察、比 ， 概括共同 律， 再由学生 出等差数列的定 ， 程度差的学生可以提示定 的 构：“的数列叫做等差数列 ”，由学生把限定条件一一列 出来， 等比数列的定 作准 如果学生 出的定 不准确， 可 学生研究 ，用符合学生的定 但不是等差数列的数列作 反例，再由学生修改其定 ，逐步完善定 等差数列的定 出来后，由学生

23、一些等差数列的例子，以此 学生思考确定一个等差数列的条件由学生根据一般数列的表示法 表示等差数列，前提条件是已知数列的首 与公差明确指出其 像是一条直 上的一些点，根据 像 察 随 数的 化 律；再看通 公式， 可看作 数的一次型（）函数， 与其 像的形状相 有 等差数列的末 与通 是有区 的，数列的通 公式是数列第项 与 数之 的函数关系式， 有 等差数列的 数未必是，即其末 未必是 数列的第 ，在教学中一定要 一点等差数列前 和的公式推 离不开等差数列的性 ，所以在本 充一些重要的性 ；另外可 学生研究等差数列的子数列，有 律的子数列会引起学生的 趣等差数列是 生活中广泛存在的数列的数学模

24、型，如教材中的例 、 等， 可 学生去搜集， 然后彼此交流， 提出相关 ， 自己 解决， 学生提供相互学 的机会， 相互研 的 堂 境等差数列通 公式的教学 示例教学目 1.通 教与学的互 ，使学生加深 等差数列通 公式的 ，能参与 一些 的 ，并解决 些 ；2.利用通 公式求等差数列的 、 数、公差、首 ，使学生 一步体会方程思想；3.通 参与 解 ，激 学生学 的 趣.教学重点， 点教学重点是通 公式的 ；教学 点是 公式的灵活运用教学用具 物投影 ，多媒体 件， .教学方法研探式 .教学 程一.复 提 前一 我 学 了等差数列的概念、表示法， 同学 回 等差数列的定 ，其表示法都有哪些？等差数列的概念是从相 两 的关系加以定 的， 个关系用 推公式来表示比 ，但我 要 通 公式作 一步的理解与 用.二.主体 通 公式反映了 与 数之 的函数关系，当等差数列的首 与公差确定后，数列的每一 便确定了，可以求指定的 （即已知求 ）.找学生 一例如：“已知等差数列中，首 ，公差，求. ” 是通 公式的 用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通 公式的 目，包括正用、反用与 用， 、复 ，定量、定性的均可，教 巡 将好 搜集起来，分 投影在屏幕上.1.方程思想的运用（ 1）已知等差数列中，首 ，公差， 397 是 数列的第 _项 .