FIR数字滤波器的设计与matlab实现

1、FIR,数字滤波器,线性相位,FIR,数字滤波器的特点,线性相位,FIR,数字滤波器的设计方法,利用,MATLAB,设计,FIR,数字滤波器,第一部分,FIR,数字滤波器,关于数字滤波器,数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的,用有限精度算法实现的离散时间线性非时变,系统，其输入是一组（由模拟信号取样和量,化的）数字量，其输出是经过变换（或说处,理）的另一组数字量,滤波器设计任务的中心就是求得系统函数,数字滤波器的系统函数最主要的特征有三个,幅度平方响应、相位响应和群延迟,IIR,滤波器可以用较少的阶数获得较好的幅度响应,但由于其结构存在反馈，可能造成系统的不稳定,其优异幅度响应一般是以,相位的

2、非线性,为代价的,非线性相位会引起频率色散,FIR,系统的最主要特性之一就是可以构成具有,线性,相位,特性的滤波器。所谓线性相位特性是指滤波,器对不同频率的正弦波所产生的相移和正弦波的,频率成直线关系。因此，在滤波器通带内的信号,通过滤波器后，除了由相频特性的斜率决定的延,迟外，可以不失真地保留通带以内的全部信号,FIR,数字滤波器严格的线性相位特性对于语音信号,处理和数据传输是很重要的,FIR DF,的单位脉冲响应,h(n,仅含有有限,个,N,个,非零值，是因果的有限长序列，该,序列,h(n,的,Z,变换为,1,0,N,n,n,z,n,h,z,H,H(z,是,Z,1,的,N-1,阶多项式，在

3、,Z,平面上有,N-1,个零点，在,z=0,处有,N-1,个重极点,FIR,数字滤波器的定义,第二部分：线性相位,FIR,数字滤波器的,特点,如果,h(n,满足下面的偶对称和奇对称条件,FIR,滤波器将具有严格的线性相位特性,1,1,n,N,h,n,h,n,N,h,n,h,对于,h(n,为偶对称和奇对称又分别分为列,长,N,为偶数和奇数两种情况。因此共有以,下四种类型的线性相位,FIR DF,1,线性相位特性,偶对称情况,h(n)=h(N-1-n,由于,则,1,n,N,h,n,h,n,N,n,n,N,n,z,n,N,h,z,n,h,z,H,1,0,1,0,1,n,N,n,N,n,N,N,n,z

4、,n,h,z,z,n,h,1,0,1,1,1,0,即,1,1,z,H,z,z,H,N,则有,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,1,0,2,1,1,1,0,1,1,N,n,N,n,N,n,N,n,N,n,N,n,N,z,z,n,h,z,z,z,z,n,h,z,H,z,z,H,z,H,频响,2,1,cos,1,0,2,1,N,n,n,h,e,z,H,e,H,N,n,N,j,e,z,j,j,其求和项全为实数,j,j,e,H,e,H,即,的形式,幅度函数,和,表示成相位函数,将,H,e,H,j,则,2,1,2,1,cos,1,0,N,N,n,n,h,H,N,n,其中,幅度函数,是标量函数，可正可

5、负,相位函数,是的线性函数，且通过原点，即,具有严,格的线性相位特性,如图所示,2,线性相位,FIR,滤波器的幅频特性,对于,中的各项相对于,对称的项相等,1,0,2,1,cos,N,n,N,n,n,h,H,2,1,N,将相等项合并，因,N,为奇数，余中间项,2,1,N,h,2,3,0,1,0,2,1,cos,2,2,1,2,1,cos,N,n,N,n,N,n,n,h,N,h,N,n,n,h,H,故,令,则有,n,N,m,2,1,2,1,1,cos,2,1,2,2,1,N,m,m,m,N,h,N,h,H,将上式记为,2,1,0,N,h,a,2,3,0,cos,N,n,n,n,a,H,6-1-1

6、4,其中,6-1-15,6-1-16,2,1,2,1,2,1,2,N,n,n,N,h,n,a,因此该滤波器适合于设计任何关于,为偶对称特性频率的滤波器,2,0,由于,对,皆为偶对称，所以,幅度函数,对,也是偶对称,2,0,2,0,n,cos,H,下表给出了上述,4,种类型的线性相位滤,波器的相位响应、时域幅度响应和频域幅,度响应的示意图,第三部分：线性相位,FIR DF,的设计方法,窗函数设计法,频率取样设计法,FIR DF,的计算机辅助设计（优化设计,FIR,滤波器的设计问题在于寻求一系,统函数,使其频率,响应,逼近滤波器要求的,理想频率响应,1,0,N,n,n,z,n,h,z,H,j,e,

7、z,j,z,H,e,H,j,d,e,H,如果要求,FIR,滤波器具有线性相位特性,则,h(n,必须满足上节所述的对称条件,1,窗函数设计的基本方法,1,设计思想：从时域出发，设计,h(n,使之逼近,理想单位脉冲响应序列,h,d,n,设理想滤波器的单位脉冲响应为,h,d,n,则有,d,e,e,H,n,h,e,n,h,e,H,jn,j,d,d,jn,n,d,j,d,2,1,6-2-1,6-2-2,理想,DF,的频响是逐段恒定的，且在频带边界处有不连,续点。因而所求得的,一般是无限长的，且是非,因果的,n,h,d,要想得到一个因果的有限长的滤波器,h(n,最直接的方法是截断,或者说用一个,窗口函数,

8、对,进行加窗处理，即,n,h,d,n,h,d,n,w,n,w,n,h,n,h,d,6-2-3,所以,选择窗口函数的形状和长度,是窗口函数,法的关键,下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程,设理想低通滤波器的频率响应,为,c,c,a,j,j,d,e,e,H,0,j,d,e,H,c,为滤波器的截止频率,a,为延时常数,相应的单位脉冲响应为,d,e,e,n,h,c,c,n,j,a,j,d,2,1,a,n,a,n,a,n,a,n,c,c,sin,是一个以,a,为对称中心的偶对称的无限长,的非因果序列,6-2-4,6-2-5,要得到有限长的,h(n,最简单的方法是用一长为,N,的矩形窗,w(n)=R,N

9、,n,截断,h,d,n,按照线性相位滤波器的要求,h(n,必须是偶对,称的，如上图所示。对称中心必须等于滤波器的,延时常数，即,故有,2,1,N,a,2,1,N,a,n,R,n,h,n,h,N,d,6-2-6,图,6-2-1,理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取,2,吉布斯,Gibbs,效应,因频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换,故可求得矩形窗截取后滤波器的频率响应为,jn,d,N,n,j,e,n,h,e,H,1,0,上式为有限项,N,越大，所设计,DF,与理想,DF,差别越,小，误差就越小。但对于矩形窗截取还存在所谓吉,布斯,Gibbs,效应，使得滤波器的特性很差，不,能满足实际的需要,

10、下面从频域卷积的角度来分析由矩形窗所求得的,滤波器的频率响应,由式,d,e,W,e,H,e,H,j,j,d,j,2,1,6-2-7,按复卷积定理有,n,n,h,n,h,d,W,e,R,j,j,N,j,N,n,jn,N,j,R,e,e,e,n,R,e,W,1,1,1,0,2,sin,2,sin,2,1,N,e,N,j,j,R,e,W,设矩形窗的频率响应为,6-2-8,2,sin,2,sin,N,W,R,上式中,为矩形窗的幅度响应，如下图所示,图,6-2-2,矩形窗的幅度响应,主瓣,旁瓣,旁瓣,H,e,d,j,j,d,j,d,e,H,e,H,c,c,d,H,0,1,将理想低通滤波器的频率响应,表示

11、为,则,6-2-9,d,e,W,e,H,e,H,j,R,j,d,j,2,1,d,W,H,e,R,d,j,2,1,将,6-2-8,式和,6-2-9,式代入,6-2-7,式，得,H,j,e,H,d,W,H,H,R,d,2,1,若用,代表所设计的低通滤波器,的幅度响应，则有,上式说明设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅,度响应与理想低通滤波器的幅度响应的卷积,其过程如下图所示,6-2-10,图,6-2-3,矩形窗的卷积过程,加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了两点,影响,1,使理想频率特性不连续点,c,处，形成了,一,个过渡带,过渡带的宽度等于矩形窗的频率,响应,W,R,的主瓣宽度,4,N,2,在

12、截止频率,c,的两边,c,2,N,处,即过,渡带的两边,H(,出现最大的肩峰值，肩峰,的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣,的相对幅度，而振荡的快慢，则取决于,W,R,波动的快慢,若增加截取长度,N,则在主瓣附近的窗的频率响应为,W,N,N,N,x,x,R,si,n,si,n,si,n,si,n,2,2,2,2,该函数的性质：随着,x,加大（即,N,加大），函数曲线波动的,频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同,样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变,这个相对比例是由,sinx/x,决定的,也就是说是由矩形窗,函数的形状决定的,因而，当长度,N,增加时，只会减小过渡带宽,4,N,而,不会改变肩

13、峰的相对值,在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为,8.95,N,增加时,4,N,减小，起伏振荡变密，但最大肩峰则总是,8.95,这就是吉布斯,Gibbs,效应,w,n,h,n,d,由于窗谱肩峰的存在，影响到H()通带的平坦和阻,带的衰减，使阻带最小衰减只有,21dB,左右，因此在实际,中，矩形窗很少采用,为了消除吉布斯效应，取得较好频率特性，一般采用,其他类型的窗函数,对,进行加窗处理,2,常用的窗函数,1,三角形窗,Bartlett Window,1,2,1,1,2,2,2,1,0,1,2,N,n,N,N,n,N,n,N,n,n,w,6-2-11a,4,sin,4,sin,2,N,N,N,e,W

14、,j,6-2-11b,其频率响应为,主瓣宽度为,N,8,2,汉宁,Hanning,窗，又称升余弦窗,1,2,cos,1,2,1,n,R,N,n,n,w,N,6-2-12a,1,2,1,2,25,0,5,0,1,2,1,2,25,0,5,0,2,1,N,W,N,W,W,W,e,W,e,N,W,N,W,W,e,W,R,R,R,a,j,N,j,R,R,R,j,6-2-12b,其频率响应,和幅度响应,分别为,是三项矩形窗的幅度响应,的移位加权和,使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣宽度比矩,形窗的主瓣加宽了一倍，为,N,8,j,e,W,W,W,R,W,3,汉明,Hamming,窗，又称改进,的升余

15、弦窗,1,2,cos,46,0,54,0,n,R,N,n,n,w,N,6-2-13a,6-2-13b,其幅度响应为,同汉宁窗的主瓣宽度,相同，但旁瓣幅度,更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的,1,N,8,1,2,1,2,23,0,54,0,N,W,N,W,W,W,R,R,R,4,布莱克曼,Blankman,窗，又称二阶升余弦窗,1,4,cos,08,0,1,2,cos,5,0,42,0,n,R,N,n,N,n,n,w,N,6-2-14a,6-2-14b,其幅度响应为,1,4,1,4,04,0,1,2,1,2,25,0,42,0,N,W,N,W,N,W,N,W,W,W,R,R,R,R,R,其窗函数中包含

16、有余弦的二次谐波分量,通过加入余弦的二次谐波分量，可进一步降低旁瓣,但其主瓣宽度变为,N,12,下图是,N=31,时矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗,及布莱克曼这,5,种窗口函数的包络曲线,图,6-2-4 5,种窗函数的包络曲线,下图是,N=51,时矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼,4,种窗口函数的幅度响应,图,6-2-5 4,种窗函数的幅度响应,0,lg,20,51,dB,W,W,A,N,下图是用矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼设计,的低通滤波器的幅度响应,图,6-2-6,用窗口法设计的低通滤波器的单位脉冲,响应与幅度响应,N=5,窗函数法设计滤波器时阶数选择,名称,近似过渡带,宽,精确过渡带

17、,宽,最小阻带衰,减,矩形,4/M,1.8/M,21dB,巴特利特,8/M,6.1/M,25dB,汉宁,8/M,6.2/M,44dB,哈明,8/M,6.6/M,51dB,布莱克曼,12/M,11/M,74dB,取,kaiser,窗时用,MATLAB,中的,kaiserord,函数来得到长度,M,3,几种常用的理想滤波器,1,理想高通滤波器,a,n,a,n,a,n,a,n,a,n,a,n,n,h,e,e,H,c,c,HP,c,c,a,j,j,HP,1,sin,sin,0,0,频率响应,单位脉冲响应,6-2-19,6-2-20,a,n,a,n,a,n,a,n,a,n,a,n,n,h,e,e,H,c

18、,c,c,c,BP,c,c,c,c,a,j,j,BP,1,2,1,2,1,1,1,2,sin,sin,0,0,频率响应,单位脉冲响应,6-2-21,6-2-22,2,理想带通滤波器,a,n,a,n,a,n,a,n,a,n,a,n,a,n,a,n,n,h,e,e,H,c,c,c,c,BP,c,c,c,c,a,j,j,BP,1,2,1,2,1,2,1,1,1,sin,sin,sin,0,0,频率响应,单位脉冲响应,6-2-23,6-2-24,3,理想带阻滤波器,4,理想线性相位线性差分滤波器,j,j,def,e,j,e,H,j,def,e,H,0,2,0,2,频率响应,6-2-25,6-2-26,

19、6-2-27,幅度响应,相位响应,由于线性差分滤波器的幅度随频率作线性,变化，关于,0,处为奇对称，为了实现线性相,位的特性，其单位脉冲响应为奇对称且节数,N,为奇数,n,n,n,n,h,n,def,0,1,单位脉冲响应,6-2-28,5,理想线性相位希尔伯特,Hilbert,变换器,0,0,j,j,e,H,j,为奇数,为偶数,n,n,n,n,n,h,n,2,0,1,1,希尔伯特变换器的频率响应,单位脉冲响应,N,1,2,对于式的有限长,N,的实现，为了获得线性相位的特性,其单位脉冲响应必须具有,的延时，为了保证,为整数,N,必须奇数,为奇数,为偶数,2,0,1,1,n,n,n,n,n,h,n

20、,0,2,0,2,因此上式变为,此时实际的相位响应为,6-2-30,6-2-29,4,窗函数法小结与例子,h,n,d,利用窗函数设计,FIR,滤波器的过程可总结如下,1,给定要求的频率响应函数,2,利用,6-2-2,式，由给定的滤波器的幅频响应参数求出,理想的单位脉冲响应,s,s,A,lg,20,n,w,A,N,2,1,N,n,w,n,h,n,h,d,jn,N,n,j,e,n,h,e,H,1,0,3,按允许的过渡带宽度及阻带衰减,选择合适的窗函数,并估计节数,N,其中,A,由窗函数的类型决定,4,确定延时值,即滤波器的对称中心,6,必要时验算,FIR,滤波器的频率响应,6-2-32,5,求,例

21、,6-2-1,设计一线性相位,FIR,数字低通滤波器,截止频率,过渡带宽度,阻带衰减,dB,2,0,c,4,0,40,s,A,解,1,sin,2,1,n,n,d,e,e,n,h,c,jn,j,d,c,c,n,w,40,s,A,2,选择窗函数,估计节数,N,仅从要求阻带衰减,dB,来说，可选择汉宁窗、海明窗、布拉克曼,窗等，若再考虑从滤波器节数最小的原则出发，可选,择汉宁窗或海明窗,20,4,0,8,A,N,38,0,21,8,由此求得,也可取,N=21,这时,实际的过渡带宽将为,10,2,1,N,n,w,h,n,w,n,h,n,h,h,d,1,2,cos,1,2,1,N,n,sin,n,n,c

22、,n,R,N,10,2,10,2,0,sin,1,0,cos,1,n,n,n,21,n,R,jn,N,n,j,e,n,h,e,H,1,0,3,确定延时值,4,采用汉宁窗,求得,5,求频率响应,其幅频响应和相频响应见下图,可见在通带范围内其相位是线性相位的,在阻带，滤波器满足了所要求的衰减特性,从以上的分析和例子可见窗口法设计的最大优点,是十分简单实用，其频域特性容易满足要求,缺点是在大多数情况，设计所得的频响的边界频,率往往不能严格控制，与等波纹最佳设计相比，由,窗函数法设计的滤波器长度往往较大,第四部分：利用,MATLAB,设计,FIR,数字滤波器,以窗函数法为例,1,设计步骤,给定所要求的

23、频率响应函数,对该频率响应函数做傅里叶逆变换，求取理想滤,波器的单位冲激响应,由过渡带宽和阻带最小衰减等指标要求，选取窗,函数类型及窗的长度,求所设计,FIR,滤波器的单位冲激响应,计算频率响应函数,并检验其是否满足性,能要求,j,d,e,H,h,n,d,n,w,n,h,n,h,d,j,e,H,窗函数法设计滤波器时阶数选择,名称,近似过渡带,宽,精确过渡带,宽,最小阻带衰,减,矩形,4/M,1.8/M,21dB,巴特利特,8/M,6.1/M,25dB,汉宁,8/M,6.2/M,44dB,哈明,8/M,6.6/M,51dB,布莱克曼,12/M,11/M,74dB,取,kaiser,窗时用,MAT

24、LAB,中的,kaiserord,函数来得到长度,M,Matlab,信号处理工具箱提供了两个函数,fir1,和,fir2,基于窗函数法设计,FIR,数字滤波器,1,fir1,基于经典的窗函数法设计线性,FIR,滤波器，包括低通、带通、高通、带阻等各,种类型；该函数所用算法的基本思想是，假,定,w(n,为指定的窗函数，理想滤波器的单位,冲激响应为,h(n,则可得到滤波器的系数,b(n)=w(n)h(n,函数,fir1,的调用格式如下,b=fir1(n,Wn,ftype,window,其中，返回值,b,表示,FIR,滤波器长为,n+1,的系,数向量；输入向量,n,为滤波器的阶数,Wn,为滤波器的截

25、止频率，为归一化频率,在,0-1,之间取值,window,为窗函数（默认为,hamming,窗,ftype,为滤波器类型，包括,high,高通,stop,带阻；等,2,利用,fir1,函数设计,FIR,滤波器,MATLAB,提供函数,fir1,实现,FIR,滤波器的窗函数设计,函数格式,b=fir1(n,wn,b=fir1(n,wn,ftype,b=fir1(n,wn,window,b=fir1(n,wn,ftype,window,fir1,函数用经典方法实现加窗线性相位,FIR,数字滤波器的设计,1,b=fir1(n,wn,可以设计,n,阶线性相位的低通,FIR,数字滤波器，滤波器系数于,b,中,B(z) = b(1)+b(2)z,1,b(3)z,2,b(n+1)z,n,注：此时用默认的,哈明窗,来设计,FIR,滤波器,wn,以,pi,为单位,0,wn,1,当,wn=w1 w2,时，则表示设计的滤波器是带通滤波器,b(n,的下标从,1,开始,2,b=fir1(n,wn,ftype,可以设计,n,阶线性相位的高通或带阻,FIR,数字滤波器，滤波器系数于,b,中,B(z) = b(1)+b(2)z,1,b(3)z,2,b(n+1)z,n,当,ftype,为,high,时，设计高通,FIR,滤波器,当,ftype,为,stop,时，设计带阻,FIR,滤波器，此