2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题4-5 三角恒等变换

1、专题4.5 三角恒等变换【考情分析】1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。2会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。3能运用上述公式进行简单的恒等变换。【重点知识梳理】知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C()cos()cos cos sin sin C()cos()cos cossin sinS()sin()sin coscos sinS()sin()sincoscos sinT()tan()；变形：tan tan tan()(1tan tan )T()tan()；变形

2、：tan tan tan()(1tan tan )知识点二 二倍角公式S2sin 22sin_cos_；变形：1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2C2cos 2cos2sin22cos2112sin2；变形：cos2，sin2T2tan 2【典型题分析】高频考点一 公式的直接应用【例1】【2020全国卷】已知，且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又，故选A。【方法技巧】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用，的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的

3、目的【变式探究】(2019全国卷)已知(0，)，2sin 2cos 21，则sin ()A.B.C. D.【答案】B【解析】由二倍角公式可知4sin cos 2cos2.(0，)，cos 0，2sin cos ，tan ，sin ，故选B。高频考点二公式的逆用与变形用例（2020山东威海第一中学模拟）在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，则cos C .【答案】【解析】由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又AB(0，)，所以AB，则C，cos C.【变式探究】（2020河北衡水中学模拟）已化简sin2sin2sin2的结果是 【答案】【

4、解析】原式sin21coscossin21cos 2cos sin21.高频考点三 三角函数式的化简求值【例】（2020江西赣州第一中学模拟 已知为第二象限角，且tan tan 2tan tan 2，则sin .。【答案】【解析】由已知可得tan2，为第二象限角，sin，cos，则sinsinsincossin sincos .【方法技巧】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号2三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当

5、于解决化简题目(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立3三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等【变式探究】 (2020辽宁大连模拟) 2sin 50sin 10(1tan 10) .。【答案】【解析】原式sin 80c

6、os 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.高频考点四 三角函数的给值求值(角)【例】（2020北京101中学模拟）设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为()A.B.C. D.或【答案】C【解析】，为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin 0.又(，2)，(，2)，.【方法技巧】1给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)(3)将已知条件代入所求式子，化简求值2给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围(2)根据已知条件，选取合适的三角

7、函数求值已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角【变式探究】【2019江苏卷】已知，则的值是 。【答案】【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，高频考点五 三角恒等变换的综合问题【例】(2019浙江卷)设函数f(x)sin x，xR.(1)已知0，2)，函数f(x)是偶函数，求的值；(2)求函数yf(x)2f(x)2的值域【解析】(1)因为f(x)sin(x)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x)sin(

8、x)，即sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ，故2sin xcos 0，所以cos 0.又0，2)，因此或.(2)yf(x)2f(x)2sin2(x)sin2(x)1(cos 2xsin 2x)1cos(2x)因此，所求函数的值域是1，1。【方法技巧】(1)求三角函数解析式yAsin(x)(A0，0)时要注意的取值范围(2)根据二倍角公式进行计算时，如果涉及开方，则要注意开方后三角函数值的符号【举一反三】(2018江苏卷)已知，为锐角，tan，cos().(1)求cos2的值；(2)求tan()的值【解析】(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .

9、因为sin2cos21，所以cos2，所以cos 22cos21.(2)因为，为锐角，所以(0，)又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2.因此tan()tan2()【方法技巧】求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成yAsin(x)t或yAcos(x)t的形式；(2)利用公式T(0)求周期；(3)根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数yAsin(x)t或yAcos(x)t的单调区间【变式探究】(2018山东卷)设f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g的值【解析】(1)f(x)2sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1，由2