高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案56802

1、-WORD格式-专业资料-可编辑-抛 物 线y2 =2px(P0)y2 = -2 px(P0)x(y J02 =2pyP0)IIxlx2(py F=-2py)0)i定义平面内与一个疋点F和一条疋直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫 做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线。 M |MF |=点M到直线l的距离范围x 3 0, y 乏 Rx乞0, y乏RR, y A 0R, y 兰 0对称性关于x轴对称关于y轴对称隹占八、八、（l，o）（-？0）（0,舟）（0, -号）焦点在对称轴上顶点0(0,0)离心率e=1准线 方程x专-4准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准 线的距离2

2、2焦点到准 线的距离P焦半径a（n, %）AF =% +&2AF =治+卫2AF=y1 垮AF=_yi+号焦点弦 长|ab|(X +X2) + p(Xi +x2)+ p(% 5 + p-(% *2)+ p焦点弦|ab|的几条性质A(xi,ydBgyz)1yAX1, % )o以AB为直径的圆必与准线I相切若AB的倾斜角为口，则|AB|= 2Psin a若AB的倾斜角为a ,则|AB =2二cos a2p2xm =y2 = p41 1+=AF BFAF + BFAB2AF BF 一 AF BF 一 p切线 方程yoy=p(x+xo)yoy=-p(x+x0)xox = p(y+yo)x0X = -p

3、(y + y)二直线与抛物线的位置关系直线-,抛物线：,y+ 4b = ，消 y 得：+2(施 *)X+ 护二 0(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当 kM 0 时， 0,直线I与抛物线相交，两个不同交点； =0,直线I与抛物线相切，一个切点； v0，直线I与抛物线相离，无公共点。(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)二.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I : y = kx b 抛物线丁 E八，(p 0)联立方程法：y = kx + b2 222二 kx +2(kb-p)x + b =0詡=2px设交点坐标为 人

4、(为，), B(x2,y2)，则有：0 ,以及x-! x2, x2，还可进一步求出yi y = kxi b kx2 b = kg X2) 2b22y1y2 =(kx b)(kx2 b) = k XX2 kb(x x2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1. 相交弦AB的弦长2 tf2i2 aAB =y1 _y2 =1： i (% y2)2 必 1k2b.中点 M (Xo, yo) , X。二 X2X2，y。二点差法:设交点坐标为A(x1，yj， B(X2,y2)，代入抛物线方程，得2 2y1 =2卩为y2 =2px2将两式相减，可得(% -y2)(y1 y?) =2卩(捲

5、-x?)H2 _ 2pX1 -X2y1y2a.在涉及斜率问题时,kAB2py1 y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为 M(Xo，y。)，如 一y2 _ 2p = 2p _ p 花X2y1 y2 2yo y。即kAByoAB =P1+k x1x2 =P1+k (x1 +x2) -4x1x2B 两点，点 M (Xo, yo)2)直线的斜率存同理，对于抛物线X2 =2py(p=0)，若直线丨与抛物线相交于A、是弦AB的中点，则有kAB二凶d二也=22p 2p p(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点, 在，且不等于零)-WORD格式-专业资料-可编辑-抛物线练习及答案

6、1已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q (2, - 1)的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P的坐标为。2、 已知点P是抛物线y2 =2x上的一个动点，则点 P到点(0, 2)的距离与P到该抛物线准线的 距离之和的最小值为 。23、直线y=x-3与抛物线y -4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为 。4、 设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px(p 0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则 A 为。5、 抛物线y2 =4x的焦点为F，准线为丨，经过F且斜率为 3的直线与抛物线在 x轴上方的

7、部 分相交于点A , AK丄l，垂足为K，则 AKF的面积是。6、已知抛物线C : y2 =8x的焦点为F ,准线与x轴的交点为K ,点A在C上且AK =/2|AF ,则：AFK的面积为。2 2x y7、 已知双曲线1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程45为。8、 在平面直角坐标系 xoy中，有一定点 A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线2y=2px(p 0)焦点，则该抛物线的方程是 。9、 在平面直角坐标系 xoy中，已知抛物线关于 x轴对称，顶点在原点 O，且过点P(2, 4)，则该抛 物线的方程是210、 抛物线y=-x上的点到直线4x3丫-8=0距离的最小

8、值是 。11、 已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(X1,y1),B(X2,y2)两点，贝U y/+y22的最小值是。12、 若曲线y2 = |x|+1与直线y = kx + b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是。213、已知抛物线y-x2+3上存在关于直线 x+y=0对称的相异两点 A、B,则|AB|等于()JfA.3B.4C.3、2D.4、214、 已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，点R(xi, yj, P(X2, y?),卩3(為y3)在抛物线上，且2xx1 x3,则有()-WORD格式-专业资料-可编辑-A. FR + FF2 = FR2B. F

9、P1+ FP2D.FP22 = FP1 FP315、已知点A(,y1), B(x2,y2) (xix2 - 0)是抛物线y2 =2px(p . 0)上的两个动点，O是坐标原点，向量Oa,Ob满足 OA Ob =OA_OB .设圆 C 的方程为 x2 y2 -化 x2)(y1 y2)0。(1)证明线段AB是圆C的直径；2x/5当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求P的值。5解：证明1:2OA 2OA OB OB = OA -2OAOB=OAOB, (OA OB)(O -OB)2，!OA OB OB，整理得：OA OB =0，为 x2% y2 = 0 ,设M(x,y)是以线段AB为直

10、径的圆上的任意一点，则MA =0 ,22即(x-xj(x -X2) (y -yj(y -丫2)=0，整理得:x y-(xX2)x-(% y2)y = 0,故线段AB是圆C的直径。证明2:2OA OB OB = OA -2OA OB.(OA OB)2=(OA_OB)2,Xi X2yi y2=0 .(1)2OB，整理得：OA OB=0 ,设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即 红主.匚也=-1(-x1,-x2),X x2-x1去分母得:(x -xj(x -X2) (y -yj(y *2) =0 , 点(为，),(捲，y2),(X2, %)区，y?)满足上方程 展开并将 代入得:2 2X y -化

11、 X2)x-(yy2)y =0 , 故线段AB是圆C的直径。证明3:|Oa oOa-Ob 门(OA+OB)2=(O1OB)2,OA2 2OAOB OB =OA -2OA OB OB , 整理得：OA OB =0,为 x2 % y2 =0 (1)以线段AB为直径的圆的方程为(x-)2 (y-也 血)2 已(人-X2)2 厲-丫2)2,224-WORD格式-专业资料-可编辑-展开并将 代入得：x2 y2 -(x x2)x-(力 y2)y = 0 , 故线段AB是圆C的直径解法i:设圆C的圆心为C(x,y),则2yiy22* 2 yi=2pxi,y22= 2px2(p 0), . x/22 2Vi

12、y9-，又因 Xi x2 yi y 0，4p% X2 = -yi72,- yi y22 2yi y22 ，4p2(xix2-0,yiy2= 0,yiy2= -4p ,x-ix2x =22 2Vi V- i 224p(V- y2 -)一计(V -p)，所以圆心的轨迹方程为 y2px -2p2，设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则i 22I(y +2p )-2y| d |x-2y|p5=?522I V -2py 2p I |(y - p)_2_P2 I5p 当y=p时,d有最小值 p ,由题设得v52、55解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则XiX2x -i -.ViV2* 2 yi2= 2

13、pxi,y22 =2px2(p 0)，-24p2又因 xix2 yi y0，xix-yi y2，-yi2i Xi 冷=0, % y2 =0， n 二-4p，2 4pV22)-(Vi2 V22 2viV2)-譽二丄(y2 2p2)，4 p4p p所以圆心的轨迹方程为px - 2 p2，x-WORD格式-专业资料-可编辑-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为255将(2)代入(3)得 y2 _2py 2p2 -2p=0,.： =4p2 _4(2p2 _2p) =0，p 0 p = 2.2 2,则 m = 2，因为 x-2y+2=0 与 y 二 px - 2p 无公2 5所以当x-2y-

14、2=0与y 2 x V2Ci：i抛物线C2： (y -m) = 2 px( p 0)，且Ci、C2的公共弦ab过椭圆Ci 3的右焦点(1) 当AB丄x轴时，求 m、p的值，并判断抛物线 C?的焦点是否在直线 AB上；(2) 是否存在 m、p的值，使抛物线C?的焦点恰在直线 AB上？若存在，求出符合条件的 m、p的二px-2p2仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为 5X2y 2=0 川(2)| 2 2y = px 2p 111(3)|x1d二X22-(Y1 y2)|.5解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则x22y22圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则2 2 * 22y1

15、y?yi =2pxi,y2 =2px2(p 0)，-，又因为 x? % y? = 0，-为 x?二y?， 4p2 2Vi y?*2-yiy?1 厂，,Xix?= 0, yiy? = 0，%y?二-4p，i 22I(Viy? ) -(Vi y?)|4p4pI Vi? y?2 2yiy? -4p(yi y?) 8p2 |4/5 p2 2(yiy?二 2p)_4p4亦p当yiy - 2 p时,d有最小值p，由题设得p 2 5=.55i6、已知椭圆值；若不存在，请说明理由解：(1)当AB丄x轴时，点A、B关于x轴对称，所以 m= 0,直线AB的方程为x=1，从而点A 的坐标为(1, 3 )或(1, 3

16、 ) 因为点A在抛物线上，所以-=2p，即p =-.此时C2的焦2 248点坐标为(9 , 0),该焦点不在直线 AB上.16(2)解法一 当C2的焦点在AB时，由(I)知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y =k(x_1).jy 二 k(x _1)由 x2 y2 消去 y 得(3 4k2 )x2 -8k2 x 4k2 -12 = 0 . 143则X1,X2是方程的两根,x1 + x2 =8k23 4k2设A、B的坐标分别为( X1,y1),(X2,y2)因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过 C2的焦点的弦,111所以 AB =(2 %) (2 x2) =4 (为 x2)，且2 2 2A

17、B =(为 + P) + (x2 + P) = % + x2 + p .2 2从而捲 x2 p = 4(x1 x2).2所以x1x 24 -6 p3，即8k23 4k24 -6p3解得k2 =6,即k =6 .因为、 2C2的焦点F (-，m)在直线y =k(x-1)上，所以3.6 6 或m3 3=时，直线AB的方程为y - -.6(x-1);3 6- 时，直线 AB的方程为y=.6(x-1).3解法二 当C2的焦点在AB时，由(I)知直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程 为 y =k(x -1).由(y-m)2气x消去y得叶)2 =8x.y =k(x -1)3因为C2的焦点F(2,m)在

18、直线y =k(x1)上，3所以 m =k(2 -1)，即 m - -1 k .代入有(kx _空)2 =- x.3 333即 k2x2 4 (k22)x=0 .39设A、B的坐标分别为(X1,yJ , (X2,y2),2则Xi,X2是方程的两根，Xi + X2=3k2y =k(x 1)由 x2y2消去 y 得(3 4k2)x2 _8k2x 4k2 _12=0.14 3由于Xi,X2也是方程的两根，所以Xi + X2= 8k 2 .3 +4k2从而因为2 2 处辟=匹飞解得k2 =6,即k=_.,6.3k23 4k22C2的焦点F (-, m)在直线y =k(x -1)上，所以3.6 十6或m3

19、36=-3-时，直线 AB的方程为y=Yj6(x-1);时，直线AB的方程为y一 6(x-1).3解法三 设A、B的坐标分别为(X1,y1) , (X2,y2),因为AB既过G的右焦点F (1,0)，又是过C2的焦点F , m),3所以 |AB =(X1 -p) (X2 #) = X1 X2p = (2 -g X1 ) (2 -1 X2 ).216即 X1 X2(4 -p)39由(I)知x1 - x2，于是直线AB的斜率k = 2 丫1 = m 0 =3m , X2 - X1g 3 且直线AB的方程是y = -3m(x -1), 所以 y1 y = -3m(x1 x2 -2)=2m.322又因

20、为3X1 4y1 12，所以 3 +x2)+4 +y2) _ =0 .3xf +4yf =12x2 _X1将、代入得m23即m或m 33当m = 时，直线AB的方程为y = - 6(xT)； 3当m =-一6时，直线AB的方程为y -】6(x-1).317、如图，倾斜角为 a的直线经过抛物线 y2 =8x的焦点F，且与抛物线交于 A、B两点。(1) 求抛物线的焦点 F的坐标及准线I的方程；(2) 若a为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此 定值。(1)解：设抛物线的标准方程为y =2px，则2p=8，从而p=4.因此焦点F(P,0)的坐

21、标为(2,20).又准线方程的一般式为T。从而所求准线1的方程为“。(2)解法一:如图(21)图作AC丄I, BD丄I，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为XxXz,则|FA|= |AC| = xx=| FA | cosa P =| FA | cosa 4 解得2 2 2TALK，4类似地有 | FB|=4-|FB |cosa，解得 | FB |=. 41 +cosa记直线m与AB的交点为E,则| FE 鬥 FA | -| AE 鬥 FA|FA |FB - 11= 2(|FA|-|FB |)二44 cos a2 1 -cosa 1 co

22、s asin2 a 解法二：设将此式代入. 244 2 sin a2 。故 |FP | | FP | cos2a = (1 cos2a)= cosa sin2asin asin2 aA(xa,Ya) , B(Xb,Yb)，直线AB的斜率为k =tana，则直线方程为y=k(x-2)。y2 =8x,得 k2x2 =4(k2 2)x 4k2 =0 ,故 Xa Xb 二 2)记直线m与AB的交点为E(xe, Ye)，则XaXb2(k22)442， yE =k(xE - 2)，故直线 m的方程为y-kkk令y=o,得P的横坐标xP - ok22 22k 44故 |FP|g 亠4(k4k2sin2 a2

23、2k 4k2.24 4 2 sin a从而 |FP| _|FP|cos2a(1 -cos2a)8为定值。2 2sin asin a2设圆C是OAB的18、已知正三角形 OAB的三个顶点都在抛物线 y =2x上，其中O为坐标原点,内接圆(点C为圆心)(1) 求圆C的方程；(2) 设圆M的方程为(x-4-7COSR2 X1y1 = X2y2 .又因为 y1 二 2为, (y-7COSR2 =1,过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE, PF ,切点为E, F，求CE,CF的最大值和最小值.(1)解法一：设 A, B两点坐标分别为/ 2 、/ 2 Y2、， , y1 , y2 丿、2 丿，由题设

24、知、2(% 皿2 22I222 2 y1 _ y2解得 y2 =y2=12，所以 A(6,2、3) , B(6 , - 2. 3)或 A(6 , - 2=) , B(6,2 “3).设圆心C的坐标为(r,0)，则r 6=4，所以圆C的方程为(x-4)2 y2 =16 .解法二：设A B两点坐标分别为(,yj , (X2, y2)，由题设知2 2 2y2 二 2x2，可得 X1 2 = X2 2x2 .即(% -x2)(x X2 2) =0 由 x 0 ,x20，可知x1=x2，故A, B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.设C点的坐标为(r ,0)，则A点坐标为(3庇r,I22丿r ,于是有

25、、23=2 r ,2解得r =4，所以圆C的方程为(x-4)2 y2 =16.(2)解：设 ECF =2a，则 CECF =|CE|CF |_cos2： =16cos2： =32cos2： -16.x 4在Rt PCE中，cos,由圆的几何性质得|PC| |PC|PC | |MC| 1=7 1=8, | PC p| MC |-1 =7-1 =6,1 2所以2 cos 3,由此可得-8 ceLcf 2时，点P (x,0)X02.(1) 证明：点P (X0,0)的所有 相关弦”的中点的横坐标相同；(2) 试问：点P (X0,0)的相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在， 若不存在，请说明理由.解：

26、(1)设AB为点P (X0,0)的任意一条(X1 =X2)，贝V y 1=4x1, y 2=4x2,两式相减得的垂直平分线与 X轴相交于存在无穷多条 相关弦”给定求其最大值(用X0表示)：相关弦”，且点A、B的坐标分别是(xi,yi)、(x2,y2) yi+y 2) ( yi -y2)=4 (X1-X2).因为 x- x2,所以 yi+y2= 0.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是(Xm, ym),贝V k= % - 2 = 4_花一X2y1 +Y2ym从而AB的垂直平分线I的方程为y ym又点P (X0,0)在直线丨上，所以 -ym字(X -Xm).2Ym (X。- Xm).2xo-2.而

27、ym =0,于是Xm-2.故点P ( X0,0)的所有 相关弦”的中点的横坐标都是2由知，弦ab所在直线的方程是 y-ym =k(x-Xm)，代入y =4x中,整理得 k2x2 2k(ym -kXm) -2x 仏-kg2 =0.则X2是方程(的两个实根，且 X,卷=皿一件)k设点P的相关弦” AB的弦长为I，则2 2 2 2 2l =(X1 -X2)(%-丫2)二(1 k)(X1-X2)2 2 2 2=(1 k )(X1 X2)-4X1X2 =4(1 k )(Xm -X1X2)( 2 2/Wm 一Xm)42ym-4(1 2 ) XmymA2ym2242=(4 ym)(4Xm Tm)二-ym 4

28、ym(Xm -1) 16 Xm= 4(Xm 1)2 -y； -2(Xm -1)2 =4(X -1)2 -y； -2(X0 -3)2.因为 0 ym 3,则 2(x-3)(0, 4x0-8),所以当 t=2(x-3),即 y；=2(X0-3)时,1有最大值 2(X0-1).若 2X03,则 2(X0-3)乞0,g(t)在区间(0, 4 X0-8)上是减函数，所以0|23时，点P (X0,0)的 相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2 ( X0-1);当2 X0乞3时，点P ( X0,0)的 相关弦”的弦长中不存在最大值.20、已知曲线C是到点P (-丄，3 )和到直线y - -5距离相等的点的

29、轨迹。是过点Q (-1, 0)2 8 8-WORD格式-专业资料-可编辑-的直线,|QB|2M是C上(不在 上)的动点；A、B在 上，MA _ ,MB_x轴(如图)。(1)求曲线C的方程；(2)求出直线 的方程，使得为常数。lQAl(1)解：设N(x, y)为C上的点，贝U | NP |=55N到直线yT的距离为y+8 .由题设得x1y_38化简，得曲线C的方程为y =(x2 x).2(2)解法一:x2xx,，直线丨：y = kx k，贝U B(x, kx k),从而 |QB . V k2 |x 1| .在 Rt QMA 中，因为 |QM |2 = (x+1)2 1 + ,|MA|2 =1 k

30、2所以QAjQMfTMA.肘(kx 2)2 .|x 1|L|kx 2| |QB 2(1 k2) .1 k2|QA|二2丿1 +k2|QA|k|LI-解法二：设Mx,x2x2，直线丨：y = kx k，则 B( x,kx k)，从而|QB |= 1 - k2 |x 1| .1过Q ( -1,0)垂直于丨的直线l1 : y (x 1). k2.1k2因为 |QAH MH |，所以 |QA|x jLg 2|QB|2 2(1 k2) 1 k2|k|QA|2|QB|QA|= 5.5，从而所求直线21、如图，已知点 F(1,0)，直线l:-1 , P为平面上的动点, 过P作直线I的垂线，垂足为点 Q，且Q

31、pQF = F_FQ .(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 过点F的直线交轨迹C于A, B两点，交直线I于点M ,已知MA.AF, MB穿,求 2的值；解法一：(1)设点 P(x, y)，则 Q(_1, y)，由 QpQF F FQ 得:(x 1,0)山2,-y)=(x-1, y)_(-2, y)，化简得 C:y2=4x .(2)设直线AB的方程为：x = my 1(m = 0).设 Ag yj , B(X2, y2)，又 M联立方程组y2 =4x,x = my 1 ,消去x得:y2 - 4my - 4 = 0 ,： - (4m)2 12 0 ,故Y1 y4m ,y2 一4由 MA = A

32、F , MB = 2bF得:%y, y2 22丫2,整理得:mm2my12my22-2L如m 一 4+打一2 -2 N+丄=-2 -m 0)的焦点为F,准线为I，经过F的直线与抛物线交于 A B 两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKLl，垂足为K,若|Bq二2| BF，且| AF|=4,则AAKF的面积是（）A. 4B. 3 3 C . 4 3 D . 8A B,交其准线I于点C,例4、过抛物线y2 = 2px( p0)的焦点F的直线交抛物线于点若|Bq = 2|BF，且|AF = 3则此抛物线的方程为()A. yB. y2= 9x.y2=|x.y2= 3x三、抛物线的综合问题例5、(20

33、11 江西高考)已知过抛物线y2= 2px( p0)的焦点，斜率为2.2的直线交抛物线于心,y1), B(X2, y2)(X10)上，M点到抛物线C的焦点F的距离1为2,直线I : y二2X + b与抛物线C交于A, B两点.(1)求抛物线C的方程； 若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程.例题答案解析一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x= 1.由抛物线的定义知：点P到直线x = 1的距离等于点P到焦点F的距离.于是，问题转化为：在曲线上求一点 P,使点P到点A 1,1)的距离与点P到F(1,0) 的距离之和最小.显然，连结 AF交曲线于P点，

34、则所求的最小值为| AF，即为5. 如图，自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q二| P1F|.则有|PB+ |PF | P1B| + |P1Q = |BQ = 4.即 |PB + |PF| 的最小值为 4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为 p,即p= 4,根据已 知只要|FM4即可.根据抛物线定| FM = y0+ 2由y0 + 24,解得y02,故y0的取值范围是(2 ,).二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A(X1,1)，其中y10.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有| BF|亠I BB| 1n=| BB| ；又 | CE| = 2| FB|，因此有

35、| CB = 2| BB| , cos/ CBB =帀準=2，CBB.即直线AB与x轴的夹角为专.又|AF二|AK|二xh号=4,因此yi = 4s in专二2寸3,因1 1此AAKF的面积等于2| AK| yi =十4X 2曲=4苗.例4分别过点A、B作AA、BB垂直于I，且垂足分别为 A、B,由已知条件| BCC =2|BF 得| Bq = 2|BB| ,/ BCB= 30，又 | AA| = | AF| = 3,二 | Aq = 2| AA| = 6,二 | CF| = | Aq | AF| = 6 3= 3,二 F 为线段 AC的中点.故点 F13到准线的距离为p = 2|AA|= 2

36、,故抛物线的方程为y2= 3x.三、抛物线的综合问题例5、(1)直线AB的方程是y = 2 2(x p)，与y2= 2px联立，从而有4x2 5px+ p2 = 0,所以：X1 + X2= ，由抛物线定义得：| AB = X1 + X2 + p= 9,所以p= 4,从而抛物线方程是y2= 8x.由 p=4,4x2 5px+ p2 = 0可简化为 x2 5x+ 4= 0,从而 X1= 1, X2= 4, y1= 2 2,y2 = 4-召 从而 A(1 , 2 2) , B(4,42);设 OC =(X3, y3)= (1 , 2边)+ 入(4,4 迈)=(4 入 + 1,4边入-2边).又 y3

37、= 8X3,即2 2(2 入一1) 2= 8(4 入 + 1).即(2入1)2 = 4入+ 1.解得入=0,或入=2.例6、(1)设动点P的坐标为(x, y)，由题意有x 1 2+ y2 | x| = 1.化简得y2=2x + 2| x|.当 X0 时，y2 = 4x;当 x0)和y= 0(x0)的准线为x =-号，由抛物线定义和已知条件可知ppo|MF 1-( 2) 1 + 2 2,解得p= 2,故所求抛物线C的方程为y= 4x.y z x + b,2 联立0,解得 b 2.设 A(x1, yj , B(x2, y?),则 y1 + y2= 8, x1+ x2y1 + y2yW2= 8b,设

38、圆心 Q(xo, yo)，则应用 Xo=2, yo= 2 = 4.因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r |yo| 4.又 | AB =、,： X1 X2+ 目1 y2=、, 1 + 4目1 y2,5 y1 + y 2 4yy2 5 64+ 32b 8所以| AE| 2r 5 64+ 32b 8,解得 b= 5.548所以 X1 + X22b 2y1+ 2b 2y24b + 1652424则圆心Q的坐标为(三,4).故所求圆的方程为(x 三)2 + (y+ 4)2 16.55练习题1已知抛物线x2= ay的焦点恰好为双曲线y2 x2 = 2的上焦点，则a等于 （）A. 1B. 4C

39、. 8D. 162. 抛物线y = 4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是（）1715715A 一 B 一 CD 16 . 16 16 163. （2011 辽宁高考）已知F是拋物线 仁x的焦点，A, B是该拋物线上的两点，|AF| + | BF二3,则线段AB的中点到y轴的距离为（）A.B. 1C.74. 已知抛物线 2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（）A.相离B相交 C .相切D.不确定5. （2012 宜宾检测）已知F为抛物线y2 = 8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物 线于 A 、 B 两点，贝U | FA | FB| 的值等于（）A . 4 2B

40、. 8C.82D. 166. 在y = 2x2上有一点P,它到A（1,3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（）A. （ 2,1）设抛物线y2二8x的焦点为F,准线为I , P为抛物线上一点，PAL l , A为垂足.如 果直线AF的斜率为逅，那么| PF|二 （A . 4 3 B . 8 C . 8 3（2011 陕西高考）设抛物线的顶点在原点，准线方程为B . (1,2) C.(2,1)D. ( 1,2).16x= 2，则抛物线的方程A . y2= 8xB . y2 = 8xC . y2= 4x D . y2 = 4x9. （2012 永州模拟）以抛物线x2= 16y的焦点为圆

41、心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为.10. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q（ 3, m）到焦点的距离是5,则抛物线的方程为 .11. 已知抛物线y2= 4x与直线2x + y 4= 0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F,那么 i fa | +1 fb | =.12. 过抛物线y2= 4x的焦点作直线交抛物线于 A（x1，y1），B（x2， y 2）两点，若x1+ x2= 6，那么| AB|等于13. 根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）抛物线的焦点是双曲线16 x2 9y2= 144的左顶点；（2）过点 P（2， 4）.14. 已知点A 1,0），B（1， 1），抛物线C： y2 = 4x，O为坐标原点，过点A的动直OM与OP的夹线I交抛物线C于M P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q若向量n角为匸，求卩曲勺面积.练习题:a1解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0, 4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题a意则有4= 2解得a = 8.2解析：抛物线方程可化为2 y1x = 4,其准线方程为y=16.设M(xo, yo)，则由抛物线1的定义，可知16 yo= 1? yo= 1513. 解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：别AF|1+ IBF)厂