北师大版数学必修二123二 4

1、 1.3.1 空间几何体的表面积了解柱、锥、台的侧面展开图及它们的内在联系，并能用侧面展开图明目标、知重点 1. 了解柱、锥、台的表面积的计算公式，会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆解决相关问题；2. 柱、圆锥、圆台的表面积 直棱柱的侧面积1 侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱(1)宽等于直棱柱的高(2)，直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c. ch，因此直棱柱的侧面积是Sh直棱柱侧 (3)正棱柱是指底面为正多边形的直棱柱 正棱锥的侧面积2如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，我们称这样的(1) 棱锥为正棱锥正棱锥的侧棱长都相等棱锥的侧面展开图是由各个

2、侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积如果正棱锥(2)1. ch)为h，它的侧面积是S(的底面周长为c，斜高即侧面等腰三角形底边上的高正棱锥侧2 3正棱台的侧面积与正棱锥的侧面积公截面和底面之间的部分叫做正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，S，则其侧面积是c，斜高为h式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c正棱台1(cc)h. 侧2 旋转体的表面积4名称 图形 公式 2 r底面积：S底 圆柱 侧面积：S2rl 侧 表面积：S2r(rl) 2 rS底面积：底圆锥 侧面积：Srl 侧表面积：Sr(rl) 2 r上底面面积：S上底2 r下底面面积：S 下底圆台 侧面积：S(rr)l 侧表面积：

3、S 22(rrlrrl) 情境导学 已知ABBA是圆柱的轴截面，AAa，ABb，P是BB的中点；一小虫沿圆1111柱的侧面从A爬到P，如何求小虫爬过的最短路程？要解决这个问题需要将圆柱的侧面展1开，本节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积 探究点一 直棱柱和正棱锥的表面积 思考1 直棱柱和正棱锥的特征性质是什么？ 答 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱；正棱锥：底面是正多边形，顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上 思考2 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？ 答 正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的

4、表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积 思考3 下图是直六棱柱的展开图，你能根据展开图，归纳出直棱柱的侧面面积公式吗？ 答 S 即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.ch直棱柱侧面积棱锥的下图是正四棱锥的展开图，设底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正n思考4 侧面面积公式吗？ 11 ch，即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半答 Snah正棱锥侧面积22 如何求多面体的表面积？思考5然后相答我们可以把多面体展成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积， 一般地， 加即为多面体的表面积，求此正三棱锥的 设正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2例1倍，正三棱锥的高3SO 全

5、面积，如图，过点OE，与AB交于点作OEAB 解设正三棱锥底面边长为a，斜高为h. hSE，则SEAB，连结SE 312S，22. aSah3底侧42. a3hSEOE222. SOSOOE，3?h222a3，h.3h6. 233h?63393，S2S183. 22Sa6底侧底44SS93183273. S底侧全SAEO的四个侧面， 反思与感悟解决正棱锥的计算问题要借助四个直角三角形，即棱锥它们包含了正棱锥的所有量，即高、斜高、侧棱长、外接圆半径和内切圆半径 ，求它的表面积ABCS，各面均为等边三角形的四面体a已知棱长为 1跟踪训练 解 . 先求于点DBCSDS作BC，交SBC的面积，过点BD

6、SB，aSD因为BC22 a3?a22. a?221S所以BCSD SBC21332. aaa22433a因此，四面体的表面积S422. a4 正棱台的表面积探究点二 什么是正棱台？思考1 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台答 思考2 正棱台的侧面展开图是怎样的图形？ 答 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形棱台的n 思考3下图是正四棱台的展开图，设底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正 侧面积公式吗？ 11答 Sn(aa)h(cc)h. 正棱台侧面积22 思考4 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其它方法吗？ 答 可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出

7、思考5 棱台的表面积或全面积如何求？ 答 棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和 12，求它的侧面积 已知正四棱台上底面边长为6，高和下底面边长都是例O则O、O分别是下、上底面正方形的中心，BC解 如图，E、E分别是、BC的中点，O11111O为正四棱台的高，则12. O1 O、连结OE ，E1111则OE 126，AB2213. EABO11112E过 OE，垂足为H，作EH11E则 ，3O12，OHOEHO11113. 3OEOE6HE11E在Rt 中，HE13123EHE222222 EE17，H11E所以17. 3E114所以S EEBC(BC)侧111210817. 3172(1

8、26)反思与感悟 解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决 跟踪训练2 在例2中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？ . P如图，正四棱台的侧棱延长交于一点 解 B取与正点OCBD、O分别是正方形AEC、BC的中点E、，则EE的延长线必过P11111111111CC方形ABCD的中心由正棱锥的定义，B，OE3AP的延长线过点，且有OE1111122AB6， POOE3111则有， POOE6PO11即.所以POOO12. 112OOPO1133在RtPO222222E17， 12中，PEPO

9、OE111111在RtPOE中，PEPOOE246622222217， 所以EEPEPE617317317. 111所以S4(BCBC)EE 侧11122(126)31710817. 探究点三 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法 思考1 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？ 答 圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线)，设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则有：S2rl，S2r(rl)，其中r为圆柱底面半径，l为圆柱表圆柱侧母线长 思考2 如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？ 答 侧面展开图扇弧长等于圆锥底面周长，半径是圆锥的母线，圆锥的侧面展开图为一个扇形，1 rl，形

10、面积为rl22Srl，Sr(rl)，其中r为圆锥底面圆半径，l为母线长 圆锥表圆锥侧思考3 如何根据圆台的展开图，求圆台的表面积？ 答 圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，如右图， xr，解得： Rlxrxl.SSS 小扇形大扇形扇环Rr11(xl)2Rx2r 22(Rr)xRl(rR)l， 22)R rlRlS(rR)l，(r所以，S圆台表圆台侧思考4 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？ 答 如图所示： 22rlrl) Srrr(rl) (S)(2Srrl 锥柱台例3 一个直角梯形上底、下底和高之比为245，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转

11、一周形成一个圆台(如图所示)，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比 解 ，它们分别是圆台的上、下底面半径由题意，可设直角梯形上底、下底和高为2x,4x5，x和高 在图中，过点B作BCOA于C，则在RtABC中，ACOAOCOAOB4x2x2x，BCOO5x， 所以ABACBC?2x?5x?3x. 2222因此，SSS(2x)22(2x4x)3(4x)x289. 侧下上即这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为289. 跟踪训练3 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留) 解如图所示 180，设圆台的上底面周

12、长为c，因为扇环的圆心角是 10，SA2故c 20，所以SA 40，同理可得SB ，SA20AB所以SB SSSS下上侧表面积r(22 rrABr)2112(1020)2010201 100(cm222) 故圆台的表面积为1 100 cm2. 2. 单位长度：1一个几何体的三视图如图所示(cm)，则此几何体的表面积是_cm 2 答案 80161?22. 80164222424S解析 该几何体是四棱锥与正方体的组合，5表面积?2 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为_ 33 答案2132S表面积由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，解析 23112

13、. 3211222 2.该圆柱的表面积为_23一个高为的圆柱，底面周长为 6答案 先求出圆柱的底面半径，再应用圆柱的表面积计算公式求解解析 ，1r2得rr设圆柱的底面半径为，高为h.由22r2rh246. 2S圆柱表4表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_ 答案 2 1r3，l2r，r1，即圆锥的22l则.r，圆锥底面半径为设圆锥的母线为 解析l2底面直径为2. _一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为5 38 答案 解析 将三视图还原为直观图后求解 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，38. 223S2(412)所以 呈重点、现规律多面体的表面

14、积为围成多面体的各个面的面积之和棱柱的表面积等于它的侧面积加底1棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；面积； 积有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面2 中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解R(rrlRl；l)；Sr(rl)S(2rr22 3S)圆台表圆锥表圆柱表 一、基础过关 2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为_宽为1用长为4、8 答案4 ，r，则2解析 易知r4284所以轴截面面积2. _则这个圆柱的全面积与侧面积的比为一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，221 答案

15、221，其比为：2，全面积为r422222设底面半径为 r，侧面积4rr. 解析2 若一个圆台的主视图如图所示，则其侧面积等于_3 35答案 2，522?圆台的母线长为?21解析 .535(12)S圆台侧 三视图如图所示的几何体的全面积是_ 2 答案 7 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱直角梯形的上底为1解析，下底为2SS2，表面积1，棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，高为表面1S(12)12(1122)172. 侧面底25如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是_ 答案 60 解析 设母线为l，底面半径为r，则l2

16、r. r1，母线与高的夹角为30. l2圆锥的顶角为60. 6一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为2. _cm 12 800 答案12 800( cmS2S22 2S)解析 该组合体的表面积为俯视图左视图主视图的C、B、ABC，ABAC10，BC12，棱柱顶点A到A7斜棱柱的底面是等腰三角形1 ，求它的侧面积距离相等，侧棱长是13 . BCAD解 如图，取BC的中点D，则A设 A，底面ABC，则O在AD上，BCAO11 的中点，侧面BCCB是矩形，取ABE，BC BB111. AB，ABAEAA11113. AAAE5，1396. 121312102SEA1

17、2，侧1 二、能力提升，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全8已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B _面积为A，则AB等于8 答案 11 解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，83r则2l，则l r，343881 ，所以B22r)(r3234118r， 222rrA338. 11B得A _9一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 360 答案 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体 解析，上面长方体的表面积为21022232下面长方体的表面积为810228几何体的表面积为长方体表面积重叠一部分，152，又622822628360. 622321522 一

18、个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_10 17 8答案 48 解析 上底面是4的正方形；由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为；另两424、宽为的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为长为14，个侧面是矩形，宽为44长为117.所以S4222217424(24)表217. 8482，求它已知直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积分别为Q、Q1121 的侧面积 . 4alSl，如图， 设直平行六面体的底面边长为a，侧棱长为解侧 的截面都为矩形，C与BB、DDA过A、C1111 ?ACl，Q?1? ?QBDl，?2QQ21即ACBD，. llBDAC? ，a222ACBD，?22QQ?21a即222. ?l2l2Q2222l， 4Qa2122QQ2al. 21Q4al222SQ. 侧21 2，求底面的边长 ，表面积为512 cm10 cm12正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为 解 如图， 设上底面边长为x cm， 则下底面边长为(x10) cm， x10x在RtEFE中，EF 125 cm. 13 cm. EF12 cm，斜高EE1114 5)，(xx10)13S52(x侧2