微分方程模型

1、第三章 微分方程模型当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型.建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了.3.1经济增长模型 本节的模型将首先建立产值与资金、劳动力之间的关系，然后研究资金与劳动力的最佳分配，设投资效益最大，最后讨论如何调节资金与劳动力的增长率，使劳动生产率得到有效增长。3.1.1.道格拉斯（Douglas）生产函数用,分别表示某一地区或部门

2、在时刻的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作 （1）其中F为待定函数。对于固定的时刻t，上述关系可写作 （2）为寻求F的函数形式，引入记号 （3）是每个劳动力的产量，是每个劳动力的投资，如下的假设是合理的：随着的增加而增长，但增长速度递减。进而简化地把这个假设表示为 （4）显然函数g（y）满足上面的假设，常数c0可看成技术的作用。由（3）（4）即可得到(2）式中F的具体形式为 （5） 由（5）式容易知道Q有如下性质 （6） 记,表示单位资金创造的产值；, 表示单位劳动力创造的产值，则从（5）式可得 （7）（7）式可解释为：是资金在产值中占有的份额，1-是劳动力在产值中占有的份额。于是的

3、大小直接反应了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系。(5）式是经济学中著名的Cobb-Douglas生产函数，它经受了资本主义社会一些实际数据的检验，更一般形式的生产函数表为= （8）3.1.2 资金与劳动力的最佳分配这里将根据生产函数（5）式讨论，怎样分配资金和劳动力，使生产创造的效益最大。假定资金来自贷款，利率为，每个劳动力需付工资w，于是当资金、劳动力产生产值时，得到的效益为 (9)问题化为求资金与劳动力的分配比例（即每个劳动力占有的资金），使效益最大。这个模型用微分法即可解得公式（10）再利用（7）式，有 （11）这就是资金与劳动力的最佳分配。从（11）式可以看出，当变大、变小时，分

4、配比例变大，这是符合常识的。 3.劳动生产率增长的条件常用的衡量经济增长的指标，一是总产值，二是每个劳动力的产值，这个模型讨论，满足什么条件才能使，保持增长。首先需要对资金和劳动力的增加作出合理的简化假设：1） 投资增长率与产值成正比，比例系数0，即用一定比例扩大再生产；2） 劳动力的相对增长率为常数，可以是负数，表示劳动力减少。这两个条件的数学表达式分别为 公式（12） 公式（13）方程（13）的解是* 公式（14）将（4），（.5）带入（12）式得 公式（15） (16)比较（15），（16）得到关于y（t）的方程 公式（17）这是著名的Bernoulli方程，它的解是 Y(t)= (18

5、)一下根据（3.2.18）式研究Q（t），z（t）保持增长的条件。1） Q（t）增长，即，由Q=cLy及（13），（17）式可算得公式（19）将其中的y以（18）式代入，可知条等价于公式（20）因为上式右端大于1，所以当0（即劳动力不减少）时（20）式恒成立；而当0时由（18）式可得等价于 显然，此式成立的条件为、1，即 公式（23）这个条件的含义是，劳动力增长率小于初始投资增长率。评注 Douglas生产函数是计量经济学中重要的数学模型，本节给出它的一种简洁的建模过程，在此基础上讨论的资金与劳动力的最佳分配，是一个静态模型。而利用微分方程研究的劳动生产率增长的条件，是一个动态模型，虽然它的导

6、过程稍繁，但其结果却相当简明，并且可以给出合理的解释。3.2捕鱼业的持续收获可持续发展是一项基本国策，对于像渔业，林业这样的再生资源，一定要注意适度开发，不能为一时的高产去“涸泽而渔”，应该在持续稳产的前提下追求产量或效益的最优化。考察一个鱼肠，其中的鱼量在天然环境下按一定规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续下去。本节要建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大，最后研究所谓捕捞过度的问题。产量模型 记时刻t渔场中鱼量为x(t)，关于x(t)自然增长和人工捕捞作如下假设：1.

7、在无捕捞条件下，x(t)的自然增长服从Logistic规律，即 (1)R是故有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长率。2.单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例常数E表示单位时间捕捞率，又称捕捞强度，可以用比如捕鱼网眼的大小或出海渔船数量来控制其大小。于是单位时间的捕捞量为 (2)根据以上假设并记得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程 (3)我们并不需要解方程(3)以得到x(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接求方程(3)的平衡点并分析其稳定性。令得到两个

8、平衡点 (4)不难算出 所以若 (5)有,故点稳定，点不稳定(判断平衡点稳定性的准则见6.6节);若,则结果相反。是捕获率，是最大增长率，上述分析表明只要捕捞适度()，就可以使渔场鱼量稳定在,从而获得持续产量;而当捕捞过度时(),渔场鱼量将趋向=0,当然谈不上获得持续产量了。进一步讨论渔场鱼量稳定在的前提下，如何控制捕捞强度使持续产量最大的问题。用图解法可以非常简单地得到结果。根据(1),(2)式作抛物线和直线,如图1.注意到在原点的切线为,所以在条件(5)下必与有交点,的横坐标就是稳定平衡点. 图3-1 最大持续产量的图解法根据假设2，p点的纵坐标h为稳定条件下单位时间的持续产量，有图3-1

9、立刻知道，当与在抛物线顶点p*相交时可获得最大持续产量，此时的稳定平衡点为 (6)而单位时间的最大持续产量为 (7)而由(4)式不难算出保持渔场鱼量稳定在x0的捕捞率为 (8)综上所述，产量模型的结论是将捕捞率控制在故有增长率的一半，更容易些，可以说使渔场鱼量保持在最大量的一半时，能够获得最大的持续产量。效益模型 从经济角度看不应追求产量最大，而应考虑效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量，并且简单地假设：鱼的销售单价为常数，单位捕捞率(如每条出海渔船)的费用为常数c,那么单位时间的收入是和支出分别为 (9)单位时间的利润为 (10)在稳定条件 下，以(4)代入(10)式得 (11)用

10、微分法容易求出使利润R(E)达到最大的捕捞强度为 (12)将代入(4 )式可得最大利润下的鱼场稳定鱼量以及单位时间的持续产量为 (13) (14)将(12)(14)式与产量模型中的(6)(8)式比较可以看出，在最大效益原则下捕捞率和持续产量均有所减少，而渔场应保持稳定鱼量有所增加，并且减少或增加的部分随着捕捞成本c的增长而变大，随着销售价格p的增长而变小。请读者分析这些结果是符合实际情况的.捕捞过度 上面效益模型是以计划捕捞(或称为封闭式捕捞)为基础的，即渔场有单独的经营者有计划地捕捞，可以追求最大的利润。如果渔场向众多的盲目的经营者开放，比如在公海上无规则的捕捞，那么即使只有微薄的利润，经营

11、者也会蜂拥而去，这种情况称为盲目捕捞(或开放式捕捞)。这种捕捞方式将导致捕捞过度，下面讨论这个模型。(11)式给出了利润与捕捞强度的关系,令的解为,可得 （15）当0,盲目的经营者们会加大捕捞强度；若利润0)是 (16)及销售大于(相当于总量而言)成本。并且由(15)式可知，成本越低，售价越高，则越大。将(15)代入(4)式得到盲目捕捞下的渔场稳定捕鱼量为 （17）完全由成本价格比决定，随着价格的上升和成本的下降，将迅速减少，出现捕捞过度。比较(12)和(15)式可知,即盲目捕捞强度比最大效益下捕捞强度大一倍。从(15)式和图3-2还可以得到，当时 ,如图3-2中,称经济学捕捞过度：当时,如图

12、3-2中，称生态学捕捞过度。评注 为了研究渔业的产量、效益即捕捞过度问题，首先在对鱼的自然增长和捕捞过度情况的合理假设下，建立渔场鱼量的基本方程(3),并利用平衡点稳定性分析确定了保持渔场鱼量稳定的条件。产量、效益和捕捞过度3个模型在稳定的前提下步步深入，数学推导过程十分简单，却得到了在定性关系上与实际情况完全符合的结果。如果改变对鱼的自然增长和人工捕捞的假设，模型及结果将随之变化。建模案例：最优捕鱼策略 问题简介生态学表明，对可再生资源的开发策略应事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。考虑具有4个年龄组：1 龄鱼，.4龄鱼的某种鱼。该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。而按规定，捕捞作业

13、只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例成为捕捞强度系数。使用只能捕捞34龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42：1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。该鱼群本身有如下数据：1 各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其平均重量分别为50.7，11.55，17.86，22.99(单位：g)2 1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为 1.109 (个)，3龄鱼为其一半；3 卵孵化的成活率为 1.22/（1.22+n） （n为产卵总量）有如下问题需要解决：1） 分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群

14、不变），并在次前提下得到最优捕捞量2） 合同鱼要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包的各年龄组鱼群数量为122，29.7，10.1，3.29（ 条 ），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取作怎样的捕捞策略，才能使总量获得最高。基本假设 （略）鱼群数向量 单位时间的自然死亡率 年存活率，.单位时间4龄鱼捕捞强度系数孵化卵成活率，4龄鱼的平均产卵量，为 1.109 (个)，3龄鱼为其一半。模型建立 这里讨论问题2），即可持续捕获策略模型。以一年为一个离散化的单位时间。记年初鱼群为，下半年的鱼群数为显然， 是 到年底存活下来的鱼群数，据此可建立如下差分方程： 因为3

15、龄鱼与4龄鱼捕捞强度系数比为0.42:1,故有，写成矩阵的形式：其中 仔细考虑矩阵，当4龄鱼捕捞强度系数 时，不论上一年鱼群数目如何，下一年的鱼群将出现负数。这个结论显然是荒谬的。事实上，只要3龄鱼和4龄鱼不被同时捕光，下一年4龄鱼存在存活，即鱼群数不会出现负数。造成这种现象的原因的单位时间离散化程度不够精细。假设单位时间为一个月，定义月死亡率为，月存活率为，月捕捞系数为，则年存活率 应为，从而得 ，考虑一年中各月鱼群数目的分布，不难得到如下分析：一个月实际存活率：二个月实际存活率: 三个月实际存活率: 八个月实际存活率: 九个月实际存活率: 一年后实际存活率: 同理可得第i月捕捞率： 因此可

16、得 一年后3龄鱼实际存活数： 一年后4龄鱼实际存活数： 该3龄鱼总捕捞数：该4龄鱼总捕捞数：该3龄鱼产卵总量该4龄鱼产卵总量因此矩阵应当为：关于鱼群的差分方程为： 为实现持续捕获（1）式，必须存在稳定解： 由差分方程稳定性理论知其充分性为：对P的所有特征根 ，有 用Mathematica软件包按上述步骤得最优解如下： 最佳月捕捞强度系数：4龄鱼 ；3龄鱼 ；可持续最佳捕获下，渔场各年龄组鱼群数： 这说明该类鱼群不论开始鱼群数目如何，经过一定时间持续捕获，总能使鱼群数目稳定下来，且在这种稳定生长的情形下，我们可用Mathematica软件给出捕获量f与月捕获强度系数（4龄鱼）k的图形（图3-3）

17、图3-33.3 导弹系统的改进海军方面要求改进现有的舰对舰导弹系统.目前的电子系统能迅速测出敌舰的种类、位置以及敌舰行驶速度和方向,且导弹自动制导系统能保证在发射后任一时刻都能对准目标.根据情报,这种敌舰能在我军舰发射导弹后T分钟作出反应并摧毁导弹.现在要求改进电子导弹系统使能自动计算出敌舰是否在有效打击范围之内.设我舰发射导弹时位置在坐标原点,敌舰在x轴正向d km处,其行驶速度为a km/h,方向与x轴夹角为,导弹水平飞行线速度为b km/h.问题的关键是求出导弹击中敌舰的时间.设t时刻时导弹位置为(x(t),y(t).那么 (1)易知t时刻敌舰位置为(d+atcos,atsin),为了保

18、持对准目标,导弹轨迹切线方向应为 (2)由(1)式和(2式得下列微分方程 (3) (4)初始条件x(0)=0,y(0)=0.对于给定的a,b,d,进行计算.当x(t)满足 X(t)d+atcos, (5)则认为已击中目标.如果tT,则敌舰在打击范围内,可以发射.例 在导弹系统中设a=90 km/h,b=450km/h,T=0.1h.现要求d, 的有效范围.解 有两个极端情形容易算出.若=0,即敌舰正好背向行驶,即x轴正向.那么导弹直线飞行,击中时间 t=d/(b-a)T, 得d=T(b-a)=36 km。若=，即迎面驶来，类似有d=T(a+b)=54 km.一般地，应有36d54.下面我们考虑

19、三种算法解上例。(1)在线算法 对于测定的d和,可用(3)式和(4)式计算出t.比如d=50, =,写M函数missile.m为了防止分母为0,加了一个小正数1e-8.并且使用附加参数a,b,d,theta传递. function dy=missilefun(t,y,a,b,d,theta)dydx=(a*t*sin(theta)-y(2)+1e-8)/(abs(d+a*t*cos(theta)-y(1)+1e-8);dy(1)=b/(1+dydx2)0.5;dy(2)=b/(1+dydx(-2)0.5;dy=dy(:);launch1.mclear;close;a=90;b=450;d=50

20、;theta=pi/2;t,y=ode45(missile,0 0.1,0 0,a,b,d,theta);plot(y(:,1),y(:,2);if max(y(:,1)-d-a*t*cos(theta)0 range(i,:)=d ,theta; i=i+1; break; end endendfigure;plot(range(:,1),range(:,2);xlabel(d);ylabel(theta);hold ond=50;theta=pi/2;plot(d,theta,*) 运行得临界曲线.见图3-5answer =如果 * 在临界曲线下，等待！否则，发射！ 图3-5 离线算法图3

21、-5中,曲线上方为打击范围.由于=1.57,d=50在曲线下方,这样即可知不在打击范围内.(3)计算机模拟 一个较基本但形象的方法.对于任意选定的参数a,b,d, ,T,下面的M函数提供一个导弹追击敌舰演示工具.其中使用了MATLAB动画制作指令getframe和动画播放指令movie.function m=launch3(a,b,d,theta,T)t,y=ode45(missile,0,T,0 0,a,b,d,theta);x=d+a*t*cos(theta),a*t*sin(theta);n=length(t);j=n;for i=1:n; plot(x(i,1),x(i,2),o,y(

22、i,1),y(i,2),r.); axis(0 max(x(:,1) 0 max(x(:,2);hold on; m(i)=getframe; if(y(i,1)x(i,1) j=i; break endendhold off;movie(m);legend(敌舰，导弹,2);if j launch3(90,450,30,0.3*pi,0.1)得图3-6可见导弹约在t=0.08时击中敌舰,位置约在(34,5.5). 图3-6 模拟算法应该说,三种算法各有千秋.在线算法灵活,容易调整参数和模型,但速度慢.离线算法事先计算好,实时使用查询方式,不需计算,速度极快.模拟算法比较直观、生动 3.4传染

23、病模型随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制.但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来.20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害.长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的

24、传播机理建立几种.模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数，考察t到t+t病人人数的增加，就有 x(t+t)-x(t)=x(t)t再设t=0时有个病人，即得微分方程 （1）方程(1)的解为 （2）结果表明，随着的增加，病人人数无限增长，这显然是不符合实际的.建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人.模型2（SI模型） 假设条件为1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移.人群分为易感染

25、者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第1个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人.时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和i(t).2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率.当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人.根据假设,每个病人每天可使s(t)个健康者变为病人，因为病人数为Ni(t)，所以每天共有Ns(t)i(t)个健康者被感染，于是Nsi就是病人数Ni的增加率，即有 N=Nsi （3）又因为 S(t)+i(t)=1 （4）再记初始时刻（t=0）病人的比例为，则 =i（1-i），i（0）= （5）方程（5）是

26、1.5节中出现过的Logistic模型.它的解为 i(t)= (6)i(t)和的图形如图3-7和图3-8所示. 图3-7 SI模型的it曲线 图3-8 SI模型的 i曲线由（5），（6）式及图3-7可知，第一，当i=1/2时达到最大值，这个时刻为 = （7）这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻. 与成反比，因为日接触率表示该地区的卫生水平，越小卫生水平越高.所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来.第二，当t时i1，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况.其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的

27、健康者只能变为病人，病人不会再变成健康者.为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设，下面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况.模型3（SIS模型） 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型称模型.模型的假设条件1，2与模型相同，增加的条件为3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，称为日治愈率.病人治愈后成为仍可被感染的健康者.显然1/是这种传染病的平均传染期.不难看出，考虑到假设3，模型的（3）式应修正为 （8）（4）式不变，于是（5）式应改为 （9）我们不去求解方程（9）（虽然它的解可以解析地表出），

28、而是通过图形分析i（t）的变化规律.定义 (10)注意到和1/的含义，可知是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.利用，方程（9）可以改写作 = （11）由方程（11）容易先画出i的图形（图3-9，图3-11），再画出it的图形（图3-10，图3-12）. 图3-9 SIS模型的i曲线（1） 图3-10 SIS模型的it曲线（1） 图3-11 SIS模型的i曲线（1） 图3-12 SIS模型的it曲线（1）不难看出，接触数是一个阀值.当时的增减性取决于的大小（见图3-7），但其极限值随的增加而增加（试从的含义给以解释）；当1时病人比例 i（t）越来越小，最终趋于零，这是由于传染期

29、内经有效接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故.SI模型可视为本模型的特例，请读者考虑它相当于本模型中或取何值的情况.模型4（SIR模型） 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者）,他们已经退出传染系统.这种情况比较复杂，下面将详细分析建模过程.模型假设1.总人数N不变.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，称模型.三类人在总人数N中占的比例分别记作，和.2.病人的日接触率为，日治愈率为（与模型相同），传染期接触数为.模型构成由假设1显然有 (12)根据条件2方程（8）仍成立.对于

30、病愈免疫的移出者而言应有 （13）再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 (0)和（0）（不妨设移出者的初始值=0），则由（8），（12），（13）式，SIR模型的方程可以写作 （14）方程（14）无法求出s（t）和i（t）的解析解，我们先做数值计算.数值计算 在方程（14）中设=1，=0.3，用MATLAB软件编程。输出的简明计算结果列入表1，的图形见图3-13，图3-14是的图形,称为相轨线,初值相当于图3-14中的点,随着t的增加, 沿轨线自右向左运动.由表1、图3-13、图3-14可以看出，由初值增长至约=7时达到最大值，然后减少，；则单调减少，. 表3-1 i（t），s（t）的数值计

31、算结果t 0 1 2 3 4 5 6 7 8i(t)0.0200 0.0390 0.0732 0.1285 0.2033 0.2795 0.3312 0.3444 0.3247 s(t)0.9800 0.9525 0.9019 0.8169 0.6927 0.5438 0.3995 0.2839 0.2027 t9 10 15 20 25 30 35 40 45 i(t)02863 0.2418 0.0787 0.0223 0.0061 0.0017 0.0005 0.0001 0 s(t)0.1493 0.1145 0.1145 0.0543 0.0434 0.0408 0.0401 0.0

32、399 0.0398 图3-13 i（t），s（t）图形 图3-14 is图形（相轨线）为了分析i（t），s（t）的一般规律，需要进行相轨线分析.相轨线分析 我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）， s（t）的性质.si平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s，i）为 D=（s，i）|s0，i0，s+i1 （15）在方程（14）中消去dt并注意到的定义（10），可得 （16）容易求出方程（16）的解为 (17)在定义域D内，（17）式表示的曲线即为相轨线，如图3-15所示.其中表示了随着时间t的增加s（t）和i（t）的变化趋势.下面根据（14），（17）式和图3-15分

33、析s（t）和r（t）的变化情况（t时它们的极限值分别记作）.1.不论初始条件，如何，病人终将消失，即 =0 （18）其证明如下.首先，由（14），0，而s（t）0，故存在；由（13），0，而r（t）1，故存在；再由（12）知存在.其次，若=0，则由（12），对于充分大的t有,这将导致=,与存在相矛盾.从图形上看,不论相轨线从或从点出发,它终将与s轴相交(t充分大). 图3-15 SIR模型的相轨线2.最终未被感的健康者的比例是,在(17)式中令i=0得到, 是方程 (19) 在(0,1/)内的根.在图形上是相轨线与s轴在(0,1/)内交点的横坐标.3.若1/,则i(t)先增加,当s=1/时,i

34、(t)达到最大值 (20)然后i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至,如图3-15中由(,)出发的轨线.4.若,则单调减小至零, 单调减小至,如图3-15中(,)出发的轨线.可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/是一个阀值,当(即)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数,即提高阈值1/,使得(即),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通常可认为接近1).并且,即使,从(19),(20)式可以看出, 减小时, 增加(通过作图分析), 降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在中，人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越大，于是越小

35、，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.从另一方面看, 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一个病人被个健康者交换.所以当,即1时,必有1.既然交换数不超过1,病人比例绝不会增加,传染病不会蔓延.群体免疫和预防 根据对模型的分析,当时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值变大以外,另一个途径是降低,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略病人比例的初始值,有=1-.于是传染病不会蔓延的条件可以表为 (21)这就是说,只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例(即免疫者比例) 满足(21)式,就可以制止出传染病的蔓延.这种办法生效的

36、前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中,实际上这是很难做到的.据估计当时印度等国天花传染病的接触数=5,由(21)式至少要有80的人接受免疫才行.据世界卫生组织报告,即使花费大量资金提高,也因很难做到免疫者的均匀分布,使得天花直到1977年才在全世界根除.而有些传染病的更高,根除就更加困难.数值验证与估计 根据上面的分析,制止传染病蔓延有两种手段,一是提高卫生水平和医疗水平,即降低日接触率,提高日治愈率,二是群体免疫,即提高移出者比例的初值(相当于降低健康者比例的初值).下面做一点数值计算,验证并估计这两种办法的效果.不妨用最终未感染的健康者的比例和病人比例的最大值,作为传染蔓延程度的度量指标

37、.给定不同的, ,用(19)式计算,用(20)式计算(当1/),结果列入表2.表2 和的计算结果 1/ 1.0 0.3 0.3 0.98 0.02 0.6 0.3 0.5 0.98 0.02 0.5 0.5 1.0 0.98 0.02 0.4 0.5 1.25 0.98 0.02 0.0398 0.1965 0.8122 0.9172 0.3449 0.1635 0.0200 0.0200 1.0 0.3 0.3 0.70 0.02 0.6 0.3 0.5 0.70 0.02 0.5 0.5 1.0 0.70 0.02 0.4 0.5 1.25 0.70 0.02 0.0840 0.3056

38、0.6528 0.6755 0.1685 0.0518 0.0200 0.0200 可以看出,对于一定的,降低,提高,会使变大, 变小;对于一定的,降低(即提高),也会使变大(但是1/时反而小了,你能解释吗?), 变小.当然1/时始终等于,即传染病不会蔓延.我们看到在SIR模型中=/是一个重要参数,实际上,很难估计,而当一次传染病结束以后,可以获得和,在(19)式中略去很小的,即有 (22)当同样的传染病到来时,如果估计,没有多大变化,那么就可以用上面得到的分析这次传染病的蔓延过程.模型验证 上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了.死亡相当于移出传染系统,有关部门记录了每天移出

39、者的人数,即有了的实际数据,Kermack等人用这组数据对SIR模型做了验证.首先,由方程(12),(14)可以得到 (23) (24)当r1/时,取(24)式右端Taylor展开的前3项,在初始值=0下的解为 (25)其中 .从(25)式容易算出 (26)被传染比例的估计 在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值与之差，记作x，即 （27）当很小，接近于1时，由（19）式可得 （28）取对数函数Taylor展开的前两项有 （29）记=+，可视为该地区人口比例超过阈值1/的部分.当1/时（29）式给出 （30）这个结果表明，被传染人数比例约为的2倍.对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即不变时，这个比例就不会改变.而当阈值1/提高时，减小，于是这个比例就会降低.评注 本