B普物 动力学

1、第二章,质点动力学,研究物体运动状态变化,的规律,一、牛顿第一定律,任何物体都保持静止或匀速直线运动的状,态,直到其他物体所作用的力迫使它改变这种,状态为止。,惯性：,物体保持其运动状态不变的性质。,力：,物体改变运动状态的原因。,A,牛顿运动定律,常量,合外,?,?,v,F,?,?,0,惯性演示实验,当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的,手不会感到有强烈的冲击；而当用一块木,头取代铁块时，木块下的手会感到明显的,撞击。,二、,牛顿第二定律,动量,v,m,P,?,?,?,牛顿方程,dt,p,d,F,?,?,?,m,不变时,a,m,F,?,?,?,?,?,i,i,F,F,?,?,（,4,）,x,x

2、,ma,F,?,y,y,ma,F,?,z,z,ma,F,?,?,?,?,mr,ma,F,?,?,2,?,mr,ma,F,n,n,?,?,（,5,）,m,惯性的量度,（,1,）,质点,（,2,）,瞬时性,矢量性,（,3,）,因果关系,（,6,）,常见力,重力,mg,弹力,F=,kx,摩擦力,f,= ,N,万有引力,F=G,mM,r,2,三、,牛顿第三定律,（,1,）作用力和反作用力同时存在，大小,相等，方向相反。,（,2,）分别作用于两个物体上，不能抵消。,（,3,）属于同一种性质的力。,ba,ab,F,F,?,?,?,?,四、解题步骤,（,1,）确定研究对象。对于物体系，画出隔离图。,（,2,

3、）进行受力分析，画出示力图。,（,3,）建立坐标系。,（,4,）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）。,（,5,）解方程。进行文字运算，然后代入数据。,例,1,、,质量为,m,的小球最初位于,A,点，然后沿半径为,R,的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对,圆弧面的作用。,A,x,y,?,mg,?,N,解：,dt,dv,m,mg,?,?,cos,R,v,m,mg,N,2,sin,?,?,?,?,Rd,dv,v,dsdt,dvds,dt,dv,?,?,?,?,d,Rg,vdv,cos,?,?,?,?,?,?,?,0,0,cos,d,Rg,vdv,v,?,sin,2,1,2,Rg,v,?,

4、?,sin,2,Rg,v,?,R,Rg,m,mg,N,?,?,sin,2,sin,?,?,R,v,m,mg,N,2,sin,?,?,?,?,sin,3,mg,?,A,x,y,?,mg,?,N,例题,由地面沿铅直方向发射质量为,m,的宇宙飞船。求,宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不计,空气阻力及其它作用力，设地球半径为,6378000m,）,解：,设地球半径为,R,，地球表面的重力近似等于引力,mg,R,mM,G,?,2,2,gR,GM,?,宇宙飞船受的引力：,2,2,2,y,mgR,y,mM,G,F,?,?,运动方程：,F,v,y,2,2,y,mgR,dt,dv,m,?,?,dy,d

5、v,v,dydt,dvdy,dt,dv,?,?,2,2,y,dy,gR,vdv,?,?,两边积分：,?,?,?,?,y,R,v,v,y,dy,g,R,vdv,2,2,0,),1,1,(,),(,2,1,2,2,0,2,R,y,gR,v,v,?,?,?,),1,1,(,2,2,2,0,2,y,R,gR,v,v,?,?,?,飞船脱离地球引力时：,0,?,?,?,v,y,令,v = 0,1,0,2,.,11,2,?,?,?,?,s,km,gR,v,一、定义,mg,F,T,惯性系,牛顿定律成立的参考系。,一切相对于惯性,系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。,非惯性系,相对于惯性系作加速运动的参考系。,

6、在非惯性系内牛顿定律不成立。,a,?,?,y,x,B,、惯性系与非惯性系,二、惯性力,惯性力：,为了使牛顿第二定律在非惯性系内,成立而引入的一个虚构的力。,a,?,?,与非惯性系加速度的方向相反。,大小等于运动质点的质量,m,与非,惯性系加速度,a,的乘积。,惯性力大小：,惯性力方向：,mg,T,a,m,Q,?,?,a,m,Q,?,?,?,?,?,在非惯性系中，牛顿运动定律表示为：,a,m,Q,F,?,?,?,?,?,惯性力没有施力者，不存在“力是物,体之间的相互作用”这一特性。它和真实,力有区别。,惯性力的实质是物体的惯性在,非惯性系中的表现。,例：,电梯中,N,mg,a,N,mg,Q,N,

7、mg = ma,N,mg,Q = 0,地面上,电梯中,第二次作业,:,牛顿力学,一,.,选择题,做,二,.,填空题,做,三,.,计算题,不做,C,动量守恒定律,一、,质点动量定理,主要讨论力对时间的积累，及对物体运动的,影响。,F,dt,1,2,2,1,2,1,2,1,v,m,v,m,v,md,dt,dt,v,d,m,dt,F,v,v,t,t,t,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,（,1,）冲量,恒力的冲量：,变力的冲量：,冲量是矢量，是过程量。,1,2,2,1,2,1,2,1,v,m,v,m,v,md,dt,dt,v,d,m,dt,F,v,v,t,t,t,t,?,?,?,?

8、,?,?,?,?,?,?,?,?,是描述力对时间的积累的物理量，称,为冲量。,?,dt,F,?,t,F,I,?,?,?,?,?,?,dt,F,I,?,?,（,2,）动量,（,3,）动量定理表明：,合外力的冲量等于质点动量的增量,尽管在运动中，力和速度都可以随时间变化，,但一段时间内的冲量可由物体在此时间段初、末动,量决定。,是描述物体机械运动状态的物理量，称为动,量。动量是矢量。,v,m,?,v,m,P,?,?,?,1,2,P,P,I,?,?,?,?,?,0,0,v,m,v,m,p,p,dt,F,I,t,t,o,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

9、,?,?,?,?,t,t,z,z,z,z,t,t,y,y,y,y,x,x,t,t,x,x,mv,mv,dt,F,I,mv,mv,dt,F,I,mv,mv,dt,F,I,0,0,0,0,0,0,（,4,）计算用分量式,二、质点系的动量定理,设有,n,个质点的系统，,每个质点受力分为系统的内,力,f,和外力,F,两部分。根据质,点的动量定理，第,i,个质点有,1,f,?,2,f,?,m,2,m,1,1,F,?,2,F,?,对,n,个方程求和,n,i,p,p,dt,f,dt,F,i,i,i,i,.,2,1,1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,i

10、,i,i,i,p,p,dt,f,dt,F,?,?,?,?,合外力的冲量等于系统总动量的增量。,1,f,?,2,f,?,m,2,m,1,1,F,?,2,F,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,i,i,i,i,p,p,dt,f,dt,F,?,?,?,?,dt,F,dt,F,dt,F,i,i,?,?,?,?,?,?,?,合外,?,?,?,),(,?,?,?,?,?,?,0,),(,dt,f,dt,f,i,i,?,?,2,2,P,p,i,?,?,?,?,1,1,P,p,i,?,?,?,?,1,2,P,P,dt,F,?,?,?,?,?,?,合外,三、动量守恒定律,（,1,）系统所受合外力为零

11、时，系统的总动,量保持不变。在总动量保持不变的情况下，系统,内各部分的动量仍可在内力的作用下不断变化。,常量,?,?,?,i,i,v,m,P,?,?,?,?,0,i,F,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,常量,常量,常量,iz,i,z,iy,i,y,ix,i,x,v,m,P,v,m,P,v,m,P,（,2,）动量守恒定理可应用于单一方向。,例,宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为,?,。,如果质量为,m,o,的飞船以初速,v,o,穿过尘埃，由于尘埃,粘在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速,度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横,截面面积为,S,的圆柱体）,解：,某时刻飞船速度

12、：,v,，质量：,m,动量守恒：,mv,v,m,?,0,0,质量增量：,Svdt,dm,?,?,v,v,m,m,0,0,?,Svdt,dv,v,v,m,dm,?,?,?,?,2,0,0,m,v,?,?,?,?,t,v,v,dt,v,m,S,v,dv,o,0,0,0,3,?,t,v,m,S,v,v,0,0,2,0,2,),1,1,(,2,1,?,?,?,0,0,0,0,2,v,m,t,Sv,m,v,?,?,?,dt,v,m,S,v,dv,0,0,3,?,?,?,n,个质点：,m,1,，,m,2,，,?,，,m,n,质心位置：,M,r,m,m,m,m,r,m,r,m,r,m,r,i,i,n,n,n

13、,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2,2,1,1,位置矢量：,1,r,?,2,r,?,n,r,?,1,r,?,2,r,?,z,y,x,C,c,r,?,四、质心,质心的坐标：,连续体的质心位置：,对于密度均匀、形状对称的物体，,其质心都在它的几何中心。,?,c,x,?,?,?,i,i,i,c,m,x,m,x,?,?,?,i,i,i,c,m,y,m,y,?,?,?,i,i,i,c,m,z,m,z,?,?,?,dm,xdm,x,c,?,?,?,dm,ydm,y,c,?,?,?,dm,zdm,z,c,五、质心运动定理,?,?,i,i,c,r,m,r,M,?,

14、?,?,?,dt,r,d,m,dt,r,d,M,i,i,c,?,?,?,?,i,i,c,v,m,v,M,?,?,结论：,系统中各质点的动量之矢量和等于,质心的速度乘以质点系的总质量。,?,?,c,i,a,M,F,?,?,质心运动定理：,质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点,具有质点系的总质量,M,，它受到的外力为质点系所,受所有外力的矢量和。,?,?,dt,v,d,M,dt,v,d,m,v,m,dt,d,dt,P,d,F,c,i,i,i,i,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,例,有质量为,2m,的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点,为,x,c,。如果它在飞行到最高点处爆炸成

15、质量相等的两碎片,其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落,地。问第二块碎片落在何处。,解：,在爆炸的前后，质心,始终只受重力的作用，,因此，质心的轨迹为,一抛物线，它的落地,点为,x,c,。,2,1,2,2,1,1,m,m,x,m,x,m,x,c,?,?,?,0,1,2,1,?,?,?,x,m,m,m,?,m,mx,x,c,2,2,?,?,c,x,x,2,2,?,x,c,x,2,o,x,v,m,r,p,r,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin,rmv,L,?,平面,v,r,L,v,L,r,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,D,角动量守恒定律,一

16、、质点的角动量,角动量是描述物体作旋转运动的物理量,质点对定点的角动量,角动量的大小,角动量的方向,v,m,?,r,?,?,L,?,?,mvd,rmv,L,?,?,?,sin,?,2,mr,rmv,L,?,?,匀速直线运动的角动量,匀速圆周运动的角动量,v,m,?,r,?,?,L,?,d,r,?,m,v,?,F,r,dt,p,d,r,dt,r,d,p,dt,p,d,r,dt,L,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,F,r,M,?,?,?,?,?,力矩的定义,二、力矩,力矩的大小,力矩的方向,平面,F,r,M,F,M,r,M,?,?,?,?,?,?,?,?,?

17、,?,?,?,sin,rF,M,?,r,?,?,M,?,F,?,?,dt,L,d,M,?,?,?,1,2,2,1,2,1,L,L,L,d,dt,M,L,L,t,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,微分形式,三、质点的角动量定理,质点对某一参考点的角动量随时间的变化率,等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩,.,积分形式,称为冲量矩,是力矩对时间的积累,.,?,dt,M,?,p,r,L,?,?,?,?,?,称为角动量,是描述转动物体状态的物理量,.,质点所受的冲量矩等于其角动量的变化量,.,力矩和角动量必须相对同一参考点,.,n,i,p,r,L,i,i,i,2,1,?,?,?,?,?,?,?

18、,四、质点系的角动量定理,设有,n,个质点,?,?,?,?,?,),(,i,i,i,p,r,L,L,?,?,?,?,系,合外,外,外,内,外,系,M,M,F,r,F,r,F,r,F,r,dt,p,d,r,dt,p,d,r,p,dt,r,d,p,r,dt,d,p,r,dt,d,dt,L,d,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,),(,)

19、,(,),(,),(,),(,dt,L,d,M,系,合外,?,?,?,1,2,2,1,2,1,L,L,L,d,dt,M,L,L,t,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,系,合外,微分形式,积分形式,系统角动量的改变,只与外力矩有关,与内力矩无关,.,常矢量,合外,?,?,L,M,?,?,0,系统所受对某点的合外力矩为零时,质点系对该点,的角动量保持不变,.,角动量守恒,k,M,j,M,i,M,M,z,y,x,?,?,?,?,?,?,?,五、对轴的力矩和对轴的角动量,k,yF,xF,j,xF,zF,i,zF,yF,k,F,j,F,i,F,k,z,j,y,i,x,F,r,M,x,y,z,x,y

20、,z,z,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,),(,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,yz,yz,z,y,y,z,x,F,r,k,F,j,F,k,z,j,y,i,zF,yF,M,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,zx,zx,z,x,z,x,y,F,r,k,F,i,F,k,z,i,x,j,xF,zF,M,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,xy,xy,y,x,x,y,z,F,r,j,F,i,F,j,y,i,x,k,y

21、F,xF,M,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,yz,yz,y,z,x,F,r,i,zF,yF,M,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,zx,zx,z,x,y,F,r,j,xF,zF,M,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,xy,xy,x,y,z,F,r,k,yF,xF,M,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,?,cos,M,M,z,?,?,?,?,cos,M,M,x,?,?,?,?,cos,M,M,y,?,?,?,?,?,?,M,?,x,y,z,z,M,?,xy,r,?,xy,F,?,z,M,?,xy,r,?,xy,F,?,x

22、y,xy,z,F,r,M,?,?,?,?,?,对,z,轴的力矩等于,r,在,x-y,平面,投影与,F,在,x-y,平面投影的叉积,.,对轴的力矩,对轴的角动量,xy,xy,z,p,r,L,?,?,?,?,?,z,L,?,xy,r,?,xy,p,?,对,z,轴的角动量等于,r,在,x-y,平面,投影与,p,在,x-y,平面投影的叉积,.,z,xy,xy,xy,xy,xy,xy,z,M,F,r,dt,p,d,r,p,dt,r,d,dt,L,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,对,z,轴的角动量的变化是由对,z,轴的力矩,M,z,产生的,.,因此考虑,z,轴的角动量变化只

23、要考虑,x-y,平面内位,矢分量,r,xy,和力,F,在,x-y,平面投影,F,xy,的作用,.,一、功和功率,力在质点位移方向上的分量与位移大小的乘积。,讨论力对位移的积累,及这种积累对物体运动的影响,.,E,功和能,F,?,F,?,r,d,?,?,r,d,F,dr,F,dW,?,?,?,?,?,?,cos,力的功,质点沿曲线,L,从,a,运动,到,b,，力,F,做的功：,),(,),(,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,z,y,x,L,z,y,x,L,L,dz,F,dy,F,dx,F,k,dz,j,dy,i,dx,k,F,j,F,i,F,r,d,F

24、,dW,W,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,dr,F,r,d,F,dW,W,?,cos,?,?,r,d,?,F,?,a,b,?,（,1,）功是描述力对位移积累作用的物理量。,（,2,）功是能量转换的量度，外力对物体做正功，物,体获得能量；外力对物体做负功，物体对外输出能量。,（,3,）功的单位：,J,合力的功：,?,?,r,d,F,F,F,r,d,F,W,L,n,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,n,L,L,r,d,F,r,d,F,r,d,F,?,?,?,?,?,?,?,2,1,合

25、力的功等于各分力的功的代数和。,n,W,W,W,W,?,?,?,?,?,2,1,4,、功率,若,?,t,时间内力做功,?,W,平均功率：,t,W,P,?,?,?,瞬时功率：,dt,dW,t,W,P,t,?,?,?,?,?,?,lim,0,v,F,dt,r,d,F,dt,dW,P,?,?,?,?,?,?,?,?,?,（,1,）功率是单位时间内力做功。,（,2,）,瞬时功率等于力在速度方向的分量与速度大,小的乘积。,（,3,）,功率的单位：,W=J/S,二、动能定理,设质点,m,在力的作用下从,a,点移动到,b,点,1,、,质点的动能定理,r,d,?,?,F,?,a,b,2,1,2,2,2,1,2

26、,1,2,1,mv,mv,v,d,v,m,r,d,dt,v,d,m,r,d,F,A,v,v,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,2,1,2,2,2,1,2,1,2,1,mv,mv,v,d,v,m,r,d,dt,v,d,m,r,d,F,W,v,v,b,a,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,mv,E,k,?,（,1,）,是物体的动能，是描述,物体运动状态的一个状态量。单位：,J,。,r,d,?,?,F,?,a,b,（,2,）动能定理表明：合外力对物体所做,的功等于物体动能的增量。,（,3,）功是一个过

27、程量，是描述物体运动,状态改变的量度。合外力对物体做正功，物体,动能增加；合外力对物体做负功，物体动能减,少。,2,1,2,2,2,1,2,1,mv,mv,r,d,F,W,?,?,?,?,?,?,?,2,、系统的动能定理,若系统有,n,个质点，每个质点都有,对个方程求代数和,（,1,）系统内各质点上所有力做功的代数和，,等于系统总动能的改变量。,（,2,）,W=W,外,+W,内,，系统内外力做功对系统,总动能的变化都有贡献。,n,i,v,m,v,m,W,i,i,i,i,i,2,1,2,1,2,1,2,1,2,2,?,?,?,?,1,2,2,1,2,2,2,1,2,1,k,k,i,i,i,i,i

28、,E,E,W,v,m,v,m,W,?,?,?,?,?,?,?,三、保守力和势能,（,1,）,重力做功,1,、保守力做功,F=,mg,W= F dl = Fcos,?,dl,=,mgdy,=,(mgy,2,mgy,1,),y,1,y,2,dl,mg,m,y,1,y,2,a,b,y,x,?,（,2,）,弹性力做功,x,2,b,o,x,1,m,x,a,m,F,x,2,2,2,1,2,1,2,1,kx,kx,W,?,?,kx,F,x,?,?,由胡克定律得：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2,1,x,x,x,x,kxdx,i,dx,i,kx,x,d,F,A,?,?,?,?,（,3,）万

29、有引力,r,r,Mm,G,F,?,?,3,0,?,?,?,?,?,?,b,a,r,r,r,d,r,r,Mm,G,W,?,?,3,0,rdr,r,d,r,r,d,r,?,?,?,?,cos,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,b,a,r,r,r,r,Mm,G,r,dr,Mm,G,W,b,a,1,1,0,2,0,M,a,b,a,r,?,b,r,?,r,?,r,d,r,?,?,?,r,d,?,?,c,dr,（,4,）保守力,以上重力、弹力作功的共同特点：力做功,只与物体运动的起始、终止位置有关，而与经过,的路径无关。这种性质的力称为保守力。,?,?,?,0,r,d,F

30、,?,?,不具备这种性质的力称为非保守力。例如，,摩擦力。,保守力做功与路径无关的性质可用数学表达,为,即：保守力沿任一闭合路径做功等于零。,2,、势能,功是能量变化的量度，保守力作功只与物体运动,的起始、终止位置有关，意味着有一种与位置有关的,能量在变化这种能量称为势能,。势能由相互作用的物,体的相对位置所确定的系统能量。用,Ep,表示。保守力,作功在数值上等于系统势能的减少。,与位置有关,与位置有关,能量的变化,保守力做功,能量变化,力做功,p,dE,dW,?,?,保守力作功在数值上等于系统势能的减少,),(,),(,a,p,b,p,r,r,ab,r,E,r,E,r,d,F,W,b,a,?

31、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,p,dE,dW,?,?,重力势能：,mgh,E,p,?,弹性势能：,2,2,1,kx,E,p,?,引力势能：,r,Mm,G,E,p,0,?,?,（,1,）势能属于系统。,（,2,）势能的大小只有相对的意义，与势能,的零点选取有关。,（,3,）,若取,r,b,点为势能零点，则任意一点,r,a,的势能为：,?,?,?,o,r,r,p,r,d,F,r,E,?,?,?,?,?,),(,空间某点的势能,E,p,等于质点从该点移动到势能,零点时保守力作的功。,),(,),(,a,p,b,p,r,r,ab,r,E,r,E,r,d,F,W,b,a,?,?,?,?,

32、?,?,?,?,?,?,?,?,（,4,）,由势能函数求保守力,dz,F,dy,F,dx,F,r,d,F,dW,z,y,x,?,?,?,?,?,?,?,dz,z,E,dy,y,E,dx,x,E,dE,z,y,p,p,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,k,z,E,j,y,E,i,x,E,F,p,p,p,?,?,?,?,p,dE,dW,?,?,1,、质点系的动能定理,四、,系统的功能原理,1,f,?,2,f,?,m,2,m,1,1,F,?,2,F,?,1,2,2,1,2,2,2,1,2,1,k,k,i,i,i,i,i,E,E,W,v,m,v,m,W,?,?,?,?,?,?,?,1,2,k,k,E,E,W,W,?,?,?,内,外,1,2,k