圆锥曲线性质

1、圆锥曲线的性质、基础知识（一）椭圆：1定义和标准方程：（1） 平面上到两个定点 FuF2的距离和为定值（定值大于F1F2 ）的点的轨迹称为椭圆，其中F1, F2称为椭圆的焦点，F1F2称为椭圆的焦距（2）标准方程： 焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ， F1 -c,0 , F2 c,0 ，设距离和2 2PFiPF2 = 2a，则椭圆的标准方程为：-y2 =1，其中a b 0,b2二a2 - c2a b 焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F1 0c ,F2 0,c ，设距离和2 2PFi +|PF2；=2a，则椭圆的标准方程为：专+令二丨，其中（a Ab0,b2=a2 c2

2、 ）a b焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2 22、椭圆的性质：以焦点在 x轴的椭圆为例： 笃爲=1 a b 0 a b（1） a :与长轴的顶点有关： A - a,0 ,A a,0 ， A A =2a称为长轴长b :与短轴的顶点有关:BdO,-b）,B2（0,b ），IB1B2 =2b称为短轴长c :与焦点有关：斤（c,O ） F? （c,O ）, F1F2 =2c称为焦距（2）对称性：椭圆关于 x轴，y轴对称，且关于原点中心对称（3） 椭圆上点的坐标范围：设P xO,yO ，则-a乞xO空a,-b乞yO乞b（4）通径：焦点弦长的最小值 焦点弦：椭圆中过焦点的弦2b2 过焦点且

3、与长轴垂直的弦，pq|= a说明：假设PQ过Fr；_c,O ，且与长轴垂直，则P：Lc, yO ,Q1. c, - yO ，所以厶 + 卑=1 二 y； =3，可得 y。-。则 PQ =a baa2b2(5) 离心率：e = c，因为c a，所以e -0,1a(6) 焦半径公式：称 P到焦点的距离为椭圆的焦半径设椭圆上一点 P(x0,y0 )，则 PR =a+ex), PF2焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为(7)焦点三角形面积：SpFF2二b2tan；(其中n1证明：Spf- PF1 - PF2 sinRPF22+ PF且 F1F22-2 PF1HPF2cosRPF?=a -

4、e)(Q (可记为“左加右减”)a c，最小值为a - c=PF1F2)= (|PFi| +IPF2I ) -2 PFPF2 (1 +COSF1PF2 )2b2.4c2 =4a2 -2 PFj|PF2 1 cosFfF2PF|PF2 = _2c1 +cosF1PF21 +cosF1PF21PFf =2PF1 PF21sin FPF2 :2 1 cosPF1F22b2sin F|PF2比2 .込各比出n吐1 cosRPF221因为 S PF/2 = 2 2cF1PF2We%，所以2=c yo，由此得到的推论:.f1pf2的大小与y0之间可相互求出 F1PF2的最大值:F1 PF2 最大二 S P

5、F1 F2 最大二yo最大=P为短轴顶点(二) 双曲线:1、定义：平面上到两个定点FF2距离差的绝对值为一个常数(小于F1F2)的点的轨迹称为双曲线，其中 h,F2称为椭圆的焦点,F1F2称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点F1,F2距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程:PFi PF2线标准2x方程为： 2a21其中b2(a 0 ,b a 0 b =2 c 卜2 a焦点在y轴：设双曲线上一点F10, - C , F20,C ，设距离差的绝对值| PFi - PF2=2a , 则双线标准2y2a2x=1其中2b(a 0 , b 0 b =2 c 卜2 a焦点在哪个轴上，则对应字母作为

6、被减数2、双曲线的性质：以焦点在 x轴的双曲线为例:2x2a2 y b2-1 a 0,b0(1)a :与实轴的顶点有关： A -a,0a,0 ，AA2 = 2a称为实轴长b :与虚轴的顶点有关：Bi 0,-b ,B2 0,b， B1B2 =2b称为虚轴长c :与焦点有关：R(c,0 )F2(c,0 ), F1F2 =2c称为焦距(2) 对称性：双曲线关于 x轴，y轴对称，且关于原点中心对称(3) 双曲线上点坐标的范围：设Pxg,y0，则有xg_-a或x0_ a ,y0 R亠亠c(4) 离心率：e ，因为c a，所以e二1, ：a(5) 渐近线：当X厂二：或X； 狀时，双曲线在向两方无限延伸时，

7、会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0,再解2 2xy出y关于x的直线即可。例如在二 2 =1 a 0,b0中，求渐近线即解：aby_K二0 ,变形为y二-x，所以yaK二x即为双曲线的渐近线a 渐近线的几何特点：直线 x = a,x - -a, y = b, y - -b所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ _ x 轴，PQ 二2ba,b,c 的 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现 关系。（6）通径：外弦：双曲线两

8、支上各取一点连成的线段内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段（7）焦半径公式：设双曲线上一点P xo.yo，左右焦点分别为Fi,F2，则PR =|a +ex), PF2| = a exo (可记为“左加右减”)由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为c - a一 2 日（8）焦点二角形面积：设双曲线上一点P x0, y0，则S Pff - b cot （其中丁 - PRF2）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：(1)焦点在x轴正半轴:= 2px p 0，焦点坐标 -,012

9、丿(2)焦点在x轴负半轴:=-2px p 0，焦点坐标p,oI 2(3)焦点在y轴正半轴:x2= 2py p 0，焦点坐标 0,卫I 2丿焦点在y轴负半轴:x2-2 py p 0，焦点坐标 0,-卫I 2丿小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以 4，例如：x2 =4y，则焦点在y轴上，且坐标为 0,12*丄1p3、 焦半径公式：设抛物线 y =2px（pA0 ）的焦点为F , A（x,y ），贝y AF = x +224、焦点弦长：设过抛物线y=2pxp0焦点的直线与抛物线交于A,% ）B（X2,y2 ），贝U AB =为+ p （

10、 AB = AF十BF，再由焦半径公式即可得到）2 2例1:已知双曲线丄4b2二、典型例题：2二1的右焦点与抛物线 y= 12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（A. .5B. 4、2C.D. 5思路：先从常系数方程入手，抛物线= 12x的焦点为 3,0，即双曲线中的 c = 3，所以b2 =c2 -a2 =5，从而双曲线方程为:x2匚1，其渐近线方程：y込x，由52对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择I ： 5x - 2y = 0，右焦点 F2 3,0，所以dF2答案：A 小炼有话说：（1） 一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁 联接这些方程

11、，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐 标，进而解出其他圆锥曲线的要素答案：A例2 :2 2已知双曲线 笃-每=1a 0,b0的实轴长为4、2，虚轴的一个端点与抛物线a b2x = 2 py p 0的焦点重合，直线 y = kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p=（）A. 4B. 3C. 2D. 1思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以p作为核心变量，抛物线x = 2 p y的焦点为 0,卫，所以可得匕=卫，因为I 2丿222山壬亠2迈，所以双曲线方程为令算=1,可求得渐近线方程为py ：-二一P x，不妨设 y

12、=kx -1 与 y 一P x平行,4返4屈则有k P 。从相切可想到与抛4.2物线联立消元后的方程总=0 :P y x 4/2 x2 = 2 py-12X2 p_x-2p = 0，所以2,28p =0解得 p = 4答案：A如图，Fi,F2是椭2圆 G：二y2=1m - n- O 与双曲线m n2C上C2 : 2a2y寸1 a b率分别记为e,e，点C2的一条渐近线是线段A.B.线共焦点，所c2-a2 b2 ，所求表达式丄22eie.2 m 2 c2旦2c22m a2 ，本题与c焦半径相关，所以考虑AF,| +|AF2 =2m, AF, - AF2=2a。结合AFi的中点与F1F2的中点可得

13、双曲线的渐近线与AF2平行，从而 AR丄AF2，所以有 AF1=F1F2224c，联系上面条件可得：4c2二AFi1 1m2a22 22eie2c答案：AAF21 22JAFAF2)+(AF12m2 +2a2，所以X y22 y2例4 :已知椭圆 G：二 2 =1 a b . 0与双曲线C2：x1有公共的焦点， C2a b4的一条渐近线与以 Ci的长轴为直径的圆相交于代B两点，若 C恰好将线段AB三等分，则（）13221A. aB. a 13 C. bD. b 22 2思路：因为 G,C2有公共焦点，所以通过 C2可得F1 -、5,0 ,F2 .5,0 ，从而c$5，2a圆的直径为2a，所以A

14、B截椭圆的弦长为 兰。由双曲线得 AB : y = 2x，进而与椭圆方3程联立，再利用弦长公式即可得到关于a （或b ）的方程，解方程即可解：通过 C2 可得 R -、5,0 ,F2、.5,0 ，. c 5b2x2 +a2v2不妨设AB : y = 2x，则17= 2x222 2二 a b 2 a b=x 22，所以 x = _4a2 十 b2ab一 4a2 b2利用弦长公式可得d = J1 +22 % _x22. 5ab.4a2 b2又因为a2 - b22、5ab- 4a2 b2a2 -b2 =52二a_.3解得：a2b2112乘积为即可得到a,b关系，进而求出渐近线方程解：设曲线G,C2的

15、离心率分别为ei,e?，则 Ga ac _ a2b2a a例5：2 2xy（2014, 山东，10）已知a b 0，椭圆C1的方程为 2 = 1，双曲线C2的方a b答案：C2 2程是一22 1， C1与C2的离心率之积为a b，则C2的渐近线方程为（）A. x 士 ： 2y=0B. 、_2x 二 y=0 C. x 二 2y=0 D. 2x 二 y = 0思路：要想求渐近线方程，关键在a,b的比值，所以将两个离心率均用a,b表示，再利用二 ee2124,4即3 -ba43一 _b_=-T =二=4 a 4 a 42因为双曲线的渐近线方程为:by x，代入可得:a42.x= x 二 2y=0答案

16、：Aa,b关小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中c的求法不同，从而使得两条曲线在a,b相同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出2 2仔每=1m - n和双曲线 m n2 2-2 1 a b 0的公共焦点为a bFi,F2，P是两曲线的一个交点，那么PFi PF2的值是（）A. m aB. m2 -a2C.思路：所求PR , PF?既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义可得：PR - PF? =2a， PR + PF2 =2m，由此联想到两个式子的完全平方公式， 进 而 可 求 出pf1 pf2， 则PFi PF丄（|PFi|+|PF2

17、 2 （|PFi| PF2 ）2 = m2 a24 -答案：B2 2例7:已知抛物线 y2 =2px p 0的焦点F与双曲线 =1的右焦点重合，抛物 45线的准线与 x轴的交点为 K，点A在抛物线上且 AK =J2| AF，贝U A点的横坐标为（）A. 2-2B. 3 C. 2-3D. 4思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标c2 = 4 *5 = 9，所以2F 3,0 ,进而可确定抛物线方程：y =12x ,以及准线方程I ： X - -3 。所以2 2 、x-：；：3i T2x，由焦半径公式可得：AF =x+P=x+32，所以 AK| = J2AF|n | AK2=2

18、 AFK(-3,0 )，设A点横坐标为x，则A(x,j12x )，所以AK例&设F为双曲线169径的圆与双曲线左，右两支在x轴上方的交点分别为 M ,N，则FN| FMFA的值为2A.-55B.-2C.4D.-52 2x 3 T2x = 2 x 3 ，可解得：x = 3答案：B=1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点 A,以FA为直简化计算，首先由FMMF一 eX - aNF = a + ex? = ex? + a思路：因为所求分式涉及到三条线段长度，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻,FN联想到焦半径公式，设Mh,% ),N(x2,y2 ),则有FN FM =e(X1 +X2 ) + 2

19、a，设 A(m,0 )，由双曲线可知F(-5,0)，则 FA 的中点m 一5,0，圆半径r =，所以圆方程为:22y2 =，整理后可得：x2(m -5 )x + y2 5m = 0 ,因为FN - FM的值与( + x2 )相关，所以考虑联立圆和双曲线方程x2 _ m _ 5 x y2 _ 5m = 02 2x y消去y可得：1691X2 - m -5 x -9 5m =0，16所以为+ X2 = 16叮5)，代入|FN FM|可得：25FN - FM5 16 m -58425，因为FA =m+5，所以原式的值为-55答案：D小炼有话说:本题可发现无论 A的位置如何，从选项上来看fN -|fm |FA应该为定值，故可以利用特殊位置，比如A为右焦点时，便可轻松得到答案：由对称性可得FN FM= 2a=8，且 FA =2c=10，所以FN |FM| 2aFA - 2c2 2例9：如图，从双曲线 冷一打 “ a 0,b 0的左焦点F引圆x2a2的切线，切a b点为T，延长FT交双曲线右支于 P点，若M为线段FP的中点，0为坐标原点，则FT| = J|OF=Jc2 _a2 =b，进而 |MT| =| FM FT =| PF b 在寻找M0|，因为M为线段FP的中点，