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1、第四章 导数与微分,导数与微分是微分学的两个基本概念。,给定函数y = f (x)，导数表达的是y随x变化的变化率；而微分则是用来近似函数改变量y的一个线性函数：dy = A dx。,导数与微分的关系是：微分的系数A就是导数。由于这一点，人们把微分法和求导法统称为微分法。,4.1 导数的概念,4.2 导数的基本公式与求导法则,本章的重点是：理解导数和微分的概念，熟记求导法则和微分法则，熟练的运用这些法则进行导数与微分的计算。,4.3 复合函数、反函数的求导法则,4.4 隐函数求导法，高阶导数,4.5 函数的微分,4.6 泰勒公式, 4. 1,4.1 导数的概念,4.1.1 引例,引例1. 求由

2、y = f (x)表示的曲线，在点 (x0, y0) 处的切线斜率。见图4.1-1。, 4. 1,解：用极限的方法,. 先求近似：,考虑过M0的割线的斜率。,如图4.1-2，在曲线上M0附近，取一点M1(x0+ x, y0+y)，则过M0, M1两点的割线斜率为,显然，k割可作为M0处切线的斜率k切的近似。, 4. 1,再取限：,显然， x越小，割线 M0 M1 越近似于切线，k割 越近似于k切。,令 x0，则割线切线，k割k切。这里“”读作“趋于”。,于是有,由此可见：为求曲线y = f (x)在一点处的切线斜率，需要计算：,函数改变量y与自变量的改变量x的比，,当自变量的改变量趋于0时的极

3、限。, 4. 1,引例2. 设一质点沿直线运动，运动方程为S = f (t)，求质点在t0时刻的瞬时速度，见图4.1-3。,解：. 先求近似：,考虑在t0, t0+t这段时间上的平均速度,当t较小， 可作为t0处瞬时速度的近似。,再取极限：,按照物理学中瞬时速度的定义，, 4. 1,于是，为求瞬时速度，也需要计算：,函数改变量y与自变量的改变量x的比，,上述两个问题的意义不同，但其求解的数学结构却一样，都是求一个形如,当自变量的改变量趋于0时的极限。,的极限。,还有许多问题的求解，都可以归结为这样一个极限的计算。我们把这种类型的极限，叫做导数。, 4. 1,4.1.2 在一点处的导数,定义 4

4、.1.1：,若极限,存在，称 f 在x0 处可导，并称此极限值为 f 在x0 处的导数值，记为 f (x0)，即,(1),易见(1)式也可写为,(1 ), 4. 1,例4.1.1计算 f (x) = x2在x = 2处的导数值。,解：由导数定义, 4. 1,4.1.3 导函数,定义 4.1.2：,若极限,存在，此极限值将随x而变，是x的函数，记为f (x)，称为f (x)的导函数，即,通常，导函数就简称为导数。, 4. 1,例4.1.2计算 f (x) = x2的导数。,解：由定义,记住：f (x)表示导函数，f (x0)表示导函数在一点x0处的值。, 4. 1,4.1.4 导函数、导数值的其

5、它记号,导函数除了记为f (x)外，还常记为,导函数在一点处的导数值，除了记为f (x0)外，还常记为,称 “ ” 为“导算子”，又叫“导数算符”，也就是导数运算符号。导算子写在一个函数的左边，表示对这个函数进行求导运算。, 4. 1,4.1.5 导数的意义,从引例可知：在几何上，导数表示y = f (x)的切线斜率；在物理上，导数表示质点作直线运动时的瞬时速度。,在x处，x变化一单位，y将变化几单位。,一般地，x是x的改变量，f (x + x) - f (x)是因变量 y 的改变量，于是比值,表示在区间x, x+x上，x每变化一单位，y将平均变化几单位，是y对x的平均变化率。因而，导数作为平

6、均变化率的极限，表示：,它是在x处，y随x变化的变化率。, 4. 2,4.2 导数的基本公式与求导法则,4.2.1 基本初等函数的导数,求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数的导数，是很麻烦的事情。,本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则。然后，借助这些公式与法则来求导数，就方便多了。,例4.2.1f (x) = c，即常值函数，求f (x),解：由定义,所以，常数的导数为0，即,c = 0, 4. 2,例4.2.2f (x) = sinx，求f (x),解：由定义,所以，,(sinx) = cosx,注意，上面的计算中，第二步用了三角函数的和差化积公式；,第四

7、步用了重要极限 。,类似地可得,(cosx) =- sinx, 4. 2,例4.2.3f (x) = lnx，求f (x)。,解：由定义,所以有,为了提高效率，其它基本初等函数的导数将用其它方法给出。,所有初等函数的导数公式与求导法则，见4.3.3、4.3.4、4.3.5。, 4. 2,4.2.2 函数的和、差、积、商的导数,设函数f , g在x处可导，则f与g的和、差、积、商在x处也可导，且有公式：,(1).,(2).,(3).,(4).,(5)., 4. 2,下面证一下(2)式和(4)式，以便使你确信这些公式的正确性。,(注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧),证明(2)式：, 4. 2

8、,有了对(2)式和(4)式的证明，(1)、(3)、(5)式的证明也就容易了。请读者自己给出。,证明(4)式：, 4. 2,类似地，,例4.2.4求tanx的导数公式。,解：,( 利用公式(5) ), 4. 3,4.3 复合函数、反函数的求导法则,4.3.1 复合函数的求导公式,定理 4.3.1：,复合函数、反函数、隐函数的求导，是导数计算的重点,也是难点。可以说,导数计算技巧,主要体现在对这三种函数的求导中。,本节介绍复合函数、反函数的求导法则。隐函数的求导法则将在下节介绍。,设y = f (x)由y= f (u) 和u= (x)复合而成，u= (x)在x处可导，y = f (u) 在对应的u

9、处可导，则复合函数y = f (x)在x处可导，且, f (x) = f (u) (x) (1), 4. 3,证：由导数定义, f (x) ,= f (u) (x),证毕,注意：第三步用了, 4. 3,若将导数看作变化率，定理4.3.1的结论是显然的：,当y随u的变化而变化，u随x的变化而变化，则y随x的变化而变化，y对x的变化率，就是y对u的变化率与u对x的变化率的积。见图4.3-1。,例如：,当x变化1单位，u变化3单位，,当u变化1单位，y变化4单位，,则当x变化1单位，y将变化12单位，, 4. 3,注1. 式, f (x) = f (u) (x),还可表示为：, 4. 3,注2. f

10、 (x)表示f对(x)的导数，(f (x) 则表示f (x)对于x的导数。,当函数F(x)由f (u)和u = (x)复合而成：,F(x) = f (x),我们也形象地说，在f (x)中，f 是外层，是内层。这样函数的链式法则就可说成是：,外层对内层求导(内层看作一个变量)，内层再对x求导：, 4. 3,注3. 复合函数的求导法则，又叫链式法则，它可以推广到多层函数复合的情况。,使用链式法则的第一步，是搞清复合关系。,例4.3.1求y = lncosx的导数。,解：y = lncosx是由y = lnu 与u = cosx 复合而成的。,lncosx ,解：,例4.3.2,对复合函数求导法则熟

11、练以后，可以不必写出复合关系。, 4. 3,解：,解：,例4.3.3,(幂函数复合sin函数，sin函数又复合幂函数),例4.3.2,(指数函数复合sin函数，sin函数又复合幂函数), 4. 3,4.3.2 反函数的求导法则,设 f : XY的反函数为,f -1：Y X， f 1( y) = x,则有,将式两边对x导，注意到左边的复合关系，有,(2),所以,(3),即：,函数y = f (x)的导数，等于反函数x = f -1(y)的导数的倒数。, 4. 3,注：f-1(y)是x对y的导数，y是自变量；f (x)是y对x的导数，x是自变量。上式说明：,y对x的导数，是x对y的导数的倒数。,若

12、用变化率来表述，则是一个简单的事实：,甲对乙的变化率，与乙对甲的变化率，互为倒数。,例如，甲对乙的变化率为4，即乙变化1单位，甲变化4单位；,反函数求导法是通过反函数的导数求导的方法，下面用例子说明这一方法。, 4. 3,例4.3.5求 y = arcsinx 的导数,解：y = arcsinx的反函数为,由反函数求导法(式(3)，得,即,类似地可得, 4. 3,例4.3.7求y = ax (a 0，1)的导数。,解：y = ax 的反函数为x = logay (0 y +)，,由反函数的求导法(式(3)，得：,即,特别地，当a = e 时，有,(e x) = e x,至此，我们已经推出了全部

13、基本初等函数的导数公式，函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导公式，以及反函数求导公式。,为方便读者查找使用，将其总结如下：, 4. 3,4.3.3 导数基本公式与法则,(1). 基本初等函数的导数公式：,.,.,.,.,.,.,.,.,.,., 4. 3,(2). 函数的和、差、积、商的求导法则：,(3). 复合函数的求导公式,(4). 反函数的求导公式,.,.,.,.,y = f (x)的反函数为x = f -1(y)，f (x) 0，则, 4. 4,4.4 隐函数求导法，高阶导数,4.4.1 隐函数的导数,前面已指出，给定方程,F (x, y) = 0,在一定的条件下，方程可确定

14、函数y = y(x)，称为由方程确定的隐函数。,虽然我们知道,方程在一定条件下,可确定y是x的函数，但在技术上，一般不能解成显式形式。隐函数的求导法则，就是研究在不解成显式的情况下，直接由方程F (x, y) = 0，求出函数y = y (x)的导数。,方法就是：,心中记住y 是x的导数，然后,方程两边对x求导,解出y(x), 4. 4,例4.4.1求方程y- sinx = 0所确定的隐函数y = y(x)的导数。,解：本题用两种方法求解，以便使你确信上述方法的正确性。,解法1. . 方程两边对x求导 (记住y是x的函数),. 解出y,解法2. . 先写成显函数,. 求导, 4. 4,例4.4

15、.2求方程e y + x y = e 所确定的隐函数y = y(x)的导数。,解：. 方程两边对x求导 (记住y是x的函数),. 解出y,解：设方程xy - e x + e y = 0的隐函数为y = y(x)，,方程两边对x求导，得,例4.4.3设xy - e x + e y = 0，确定隐函数y = y(x)，求 。,. 解出y，为, 4. 4,4.4.2 高阶导数,函数y = f (x)的导数f (x)，称为f (x)的一阶导数，是 对f (x)作用一次的结果。,一阶导数f (x)的导数，称为f (x)的二阶导数，记为f ”(x)；,二阶导数是 对f (x)作用二次的结果：,即，对f (

16、x)导了再导的结果。,类似地,二阶导数f ”(x)的导数,称为f (x)的三阶导数,记为 。, 4. 4,即，对f (x)导了再导、再导的结果。,三阶导数是 对f (x)作用三次的结果：,我想，现在你可以自己可以说出四阶、直到n阶导数是怎么回事了。但有两点要注意：,三阶以上的导数，就不再用“撇”表示了，而是用一个加括号的数字表示。例如，f 的五阶导数，用“f (5)(x)”表示，为5加上括号是为了区别于五次方。,只有当n阶导数仍可导时，才能谈及n +1阶导数。一个函数，一般说来并不是总可以导下去的，导到一定阶数，更高阶的导数有可能就不存在了。, 4. 4,例4.4.4求f (x) = x3 的

17、四阶导数。,解： f (x) = 3x2,f ”(x) = 3 2x,f (4)(x) = 0 (因为3!为常数),注意,f (x) = x3有任意阶的导数,只不过三阶以上的导数都是0。,例4.4.5求f (x) = xn的n阶导、n +1阶导。,解： f (x) = n xn-1,f ”(x) = n (n-1) xn-2,f (n)(x) = n (n-1) 21 = n！,f (n+1)(x) = 0,注意,f (x) = xn有任意阶的导数,只不过n阶以上的导数都是0。, 4. 4,解：由例4.4.4、例4.4.5可知f (n+1)(x) = 0。,例4.4.7f (x) = sinx

18、，求f (n)(x)。,解： f (x) = n xn-1,例4.4.6 ，求f (n+1)(x)。, 4. 4,解： f (x) = ex，f ”(x) = ex，,例4.4.8f (x) = ex，求f (n)(x)。,f (n)(x) = ex，,( 这就是人们常说的，指数函数ex“导不动”), 4. 5,4.5 函数的微分,4.5.1 函数改变量,函数的微分，是函数改变量的线性函数部分。将一个函数微分就是求函数改变量的线性近似。,微分与函数改变量密切相关，因此，我们先熟悉一下函数改变量的概念。,当x由x0 变到x0+ x，y就由f (x0)变到f (x0+ x)，函数改变量为, y =

19、 f (x0+ x) - f (x0),函数的改变量 y是 x的函数。,例4.5.1考虑y = x2在x = 2处的改变量。,可见函数改变量 y是 x的函数。, 4. 5,本例中，函数改变量 y具有一个重要特征，就是：,函数改变量 y可以分解为两部分，,一部分是4x,4x是x的线性函数,称为函数改变量的线性部分。,即(x)2是比| x |高阶的无穷小量，这一部分可记为o(| x |)，即,一部分是(x)2，由于,“函数改变量 y可以分解为两部分，一部分是关于x线性函数，一部分是比| x |高阶的无穷小量”。,这是函数的一个重要性质，但并不是所有的函数都具有这一性质。因此，我们把具有这一性质的函

20、数，称为可微函数；把函数改变量分解式中的线性函数部分，称为函数的微分。, 4. 5,4.5.2 微分的定义,定义 4.5.1：,若存在线性函数 Ax，使得函数改变量, y = f (x0+ x) - f (x0),能够表示为,即函数改变量能够表示成线性函数与一个关于| x |的高阶无穷小量之和，称f (x)在x0处可微，并称线性部分Ax为f (x)的微分，记为dy，即,dy = Ax,这个定义说，微分是函数改变量中的线性函数部分，这个线性部分与函数改变量只差一个关于| x |的高阶无穷小量。, 4. 5,因此，微分是函数改变量的线性近似，微分的基本思想，就是把非线性函数y，用线性函数dy来近似

21、。,知道了微分是什么，接下来的问题就是怎样求微分。,在下面的叙述中，我们将把x0换成x，也就是说，我们将讨论函数在任意点x处的可微性。,求微分与求导数，有密切的联系。我们先来讨论这一联系。, 4. 5,4.5.2 可微与可导的关系，微分的计算,定理 4.5.1：,可微必可导，可导必可微，且,dy = f (x)x,证：(1). 设y = f (x)在x处可微，下面证明f (x)在x处可导。,由可微定义，有,y = Ax + o(x),两边同除以x，,令x0，即见,dy = f (x) x, 4. 5,(2). 设f在x处可导，下面证明f (x)在x处可微。,由可导定义,由极限与无穷小量的关系：

22、,其中，为无穷小量，于是，有,y = f (x)x + x,由于，,所以 y = f (x)x + o(x),即见f在x处可微，且线性部分就是微分f (x)x ，即,dy = f (x) x,证毕, 4. 5,这一定理指出：,微分就是导数与x的乘积,这样，会求导就会求微分。,特别，考虑y = x的微分,于是，在微分式中的自变量的改变量x，可以写成d x，于是函数的微分就可写成,dy = f (x)dx,例如：由,有 dx2 = 2x x,由,有 d sinx = cosx x,由 (x)=1，有 d x = 1 x, 4. 5,注意，我们今后写微分就写f (x)dx这个形式，而不再写f (x)

23、x这种形式。,由dy = f (x)dx ，有,即见，导数可以看作函数微分与自变量微分的商，偶尔，人们也说导数是“微商”。,解： (sinx + x2 )= cosx + 2x,例4.5.2f (x) = sinx+x2，求d f (x)。, d (sinx + x2) = ( cosx + 2x) dx, 4. 5,解：,例4.5.3, 4. 5,4.5.3 微分法则,利用导数与微分的关系，立刻由求导法则得到微分法则：,例如由,两边同乘以dx,即, 4. 5,4.5.4 复合函数微分法,对于复合函数,设，u = (x)，则,即，对于复合函数，你完全可以把内层函数 (x)看作一个变量，而由此写

24、出微分式。例如, 4. 5,当然，这种“把内层函数看作一个变量，而写出微分式”的方法，并没有带来多少方便，还不如直接写,但在理论上，这种“把内层函数看作一个变量，而写出微分式”的方法确有方便之处。, 4. 6,4.6 泰勒公式,多项式是一个很棒的函数，要是我们所面对的函数都是多项式，我们的日子就好过了。,虽然我们面对的函数并不都是多项式，但泰勒公式告诉我们，一个复杂的函数，可用一个多项式来近似。, 4. 6,4.6.1 泰勒公式,若f 在x0 的某邻域内n阶可导，则在x0附近，函数f 可表示为一个关于(x - x0)的n次多项式,与一个余项,之和的形式，即,这个公式就是著名的“泰勒公式”。余项

25、还有其它的表示形式，我们使用的这种形式的余项，叫“皮亚诺余项”。, 4. 6,若函数在x0附近具有n阶导数，则函数在x0附近，可用n次多项式近似。特别，若函数在x0附近具有一阶导数，则函数在x0附近可用一次多项式近似。这也就是微分的意义。,泰勒公式所表达的是：, 4. 6,4.6.2 泰勒公式的直观推导,若函数具有一阶导数，则函数可微，且,y = f (x0) x + o | x |,即,f (x) - f (x0) = f (x0) (x - x0) + o(| x - x0 |),改写为,f (x) = f (x0) + f (x0) (x - x0) + o( | x - x0 | ) (1),即，若函数具有一阶导数，则在x0附近，函数f可表示为，一个关于(x - x0)的一次多项式,f (x0) + f (x0) (x - x0),与一个无穷小量,o(| x - x0 |), 4. 6,之和的形式。这个无穷小量，通常称为余项。为便于归纳，将这个多项式写为,(请你核实一下,这就是(1)式,多出来的(x - x0)0