北京大学《力学》课件4第三章机械能定理.ppt

1、第三章 机械能定理,1,3.1 动能定理,3.1.1 功与功率,力的空间累积量：功,元功,变力沿曲线作功,2,质点从 a 到 b 的运动过程中，力 F 所作的功,在SI中，功的单位是 Nm (牛米)，又称 J (焦耳)，即有J =Nm。,3,重力功,O,重力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关， 与经过的路径无关。,4,弹力功,x,x+dx,k,弹力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关， 与其间经过的路径无关。,5,质点在运动过程中受多个力作用时 分力作功之和等于合力作功,6,一对作用力与反作用力：,O,S系,P1,P2,在所有相对平动的参考系中， 两个质点之间的一对作用力与反

2、作用力作功之和都相同,（受牛顿第三定律径向力约束）在任意参考系中， 两个质点之间的一对作用力与反作用力作功之和都相同,7,万有引力功,r,m,M系,与路径无关,8,二体径向位力功,弹力和万有引力都是径向力,库仑力功,9,功率,功率 P ：力在单位时间内所作的功：,设 F 作用的对象在 dt 时间的位移量为 dl,在SI中，功率单位特称W（瓦特），即有W = J/s,10,3.1.2 质点动能定理,任一惯性系S中，合力 F 对质点所作元功,牛顿第二定律的切向分量式,代入得,11,在S系中定义质点的动能：,质点动能定理 合力对质点作的功等于质点动能的增加量,微分式,积分式,非惯性系中引入惯性力作功

3、量，它与真实力作功量之和 也等于质点在非惯性系中动能的增量。,12,3.1.3 质点系动能定理,质点系在某惯性系的动能,质点系动能定理：,非惯性系中引入各质点所受惯性力作功之和W惯，也可有相应的 “质点系动能定理”,内力是否作功?,13,例1,h,l,m,A,F,v0,h,l,A,v0,O,试求 F 的功率,A点以v0匀速水平运动,14,解法二,求导,求导,h,l,A,v0,O,15,例2,长 L、质量 M 的平板放在光滑水平面上，质量 m 的小木块 以水平初速 v0 滑入平板上表面，两者间摩擦系数为， 试求小木块恰好未能滑离平板上表面的条件。,m,v0,M, L,小木块运动到平板右端时与平板

4、速度相同,过程中 m 与 M 间一对摩擦力作功,地面惯性系中动能定理,解法一,16,在随木板运动的非惯性系中,木块以初速 v0 滑入，最后静止在木板右端。,在这个过程中，摩擦力和惯性力做功。,平动加速度,木块所受惯性力,动能定理,解法二,17,解法三,当作两体问题处理,木块以初速 v0 滑入，最后静止在木板右端。,18,第三章作业 A组 4、7、8、9、10 12、17、18、20、22、24 B组 26、29、33、34,19,3.2 保守力与势能,3.2.1 保守力,力的冲量,“路线”唯一,力作的功,“路线”不唯一,从作功的角度，力可分为,摩擦力、空气阻力就是典型的非保守力,自然界所有的基

5、本力都是保守力,20,3.2.2 势能,两点之间的可能路径,A,B,P,L1,L2,在任意位置上取一个“标准”点 P,从A到B保守力作的功,定义质点在S系的每一个位置的势能：,计算保守力所作的功,21,守恒的理念：动能的增加等于势能的减少,势能零点的选择具有任意性，实际中常选 F = 0 点为势能零点。,任意点的势能等于将质点从该点移动到参考点保守力作的功,势能的减少 = 保守力作功 = 动能的增加,22,重力势能,重心,等势面：势能相等的点形成的曲面,重力的等势面是一水平面,23,弹性势能,势能是保守力作功引起的， 势能究竟“藏”在系统何处？,力从哪里来？,场-引力场、电场、磁场、电磁场等等

6、,势能藏在场中,场又从哪里来?,O,x,24,二体势能,O,S系,P1,P2,两个质点的相互作用是一对保守性作用力和反作用力,系统势能的定义：两个力的作功之和等于系统势能的减少量,系统势能只依赖于两个质点的相对位置， 且在所有参考系中都是相同的。,对于两体系统，系统势能又称为二体势能,25,二体万有引力势能,26,二体库仑势能,27,3.2.3 势能函数,势能函数一般是空间的三元函数,如何由势能函数求保守力?,28,一维情况,势能函数,保守力 F 是 x 方向的,势能与保守力有关系,29,三维情况,保守力 F 一般也是三元函数,势能与保守力有关系,势能的全微分公式,30,引入哈密顿算符,31,

7、势能曲线,一维势能函数对应的 Ep - x 曲线称为势能曲线； 二维的称为势能曲面。,例 二体引力势能对应的势能曲线,Ep,r,32,思考题 半径为R的光滑圆环绕竖直轴以0匀速转动，圆环上套一小球，试确定其稳定平衡点位置。,33,例4 均匀柱形弹性体：劲度系数 k、 自由长度 L，质量 m， 求竖直悬挂时的伸长量和弹性势能。,均匀柱形弹性体的性质：,原长 L 中任意一段 l 的劲度系数,受力 F 时，,O,x,34,对应原长 x 处 dx 段的劲度系数,受力,该小段的伸长量,总伸长量,内含弹性势能,35,3.3 机械能定理,3.3.1 机械能定理,从力学的角度看，质点间的相互作用力或是保守性的

8、， 或是非保守性的。,36,惯性系中质点系动能定理：,将保守性内力作功之和用它们的势能代替， 动能定理可改写为,质点系中各对保守性内力对应的势能之和 Ep,各对保守性内力作功之和W内保便等于Ep的减少量,非保守性内力作功之和W内非保，外力作功之和W外,37,定义质点系动能与内势能之和为质点系机械能,质点系机械能定理 所有非保守内力作功与所有外力作功之和 等于质点系机械能增加量,38,质点系所受外力也可进一步分为保守性的和非保守性的。 保守性的外力也有对应的外势能,非惯性系中各质点所受保守性惯性力对应的势能之和 Ep惯,其中,39,3.3.2 机械能守恒定律,动能由各质点速度确定， 势能由系统自

9、身几何位置和形状确定， 速度和几何位形都是运动状态的表征， 因此机械能是由系统运动状态确定的力学量。,动能,势能,保守力作功,机械能,其它形式的能量,非保守力作功,除机械能外，还有许多其它形式的能量,40,机械能守恒定律,能量守恒定律,这条定律支配着至今 我们所知道的一切自然现象， 没有发现这条定律有什么例外。,41,例 6 某惯性系中质量各为m，M的质点A，B。 开始时相距l0，A静止，B沿连线向外以v0运动。 在力 F 作用下，B作匀速运动。 (1) 试求A、B间距可达到的最大值lmax (2) 此过程中变力F所作的功。,m,M,A,B,l0,先定性分析A、B的运动,42,选择合适的参考系

10、,随B运动的惯性系,利用机械能守恒定律,利用机械能定理,另外一种情况,m,M,A,B,l0,43,例7 半径为R的匀质圆环形光滑细管放在光滑的水平面上，管内有两个相同质量的小球，它们的初速度相同，如图所示。求 （1）两球相碰时离管道中心的距离。 （2）从小球穿出缺口到相碰，管道水平经过的路程。,O,R,O,R,动量守恒,机械能守恒,44,例 9 长L的匀质软绳绝大部分沿长度部分放在光滑水平 桌面上，仅有很少一部分悬挂在桌面外。而后绳将从 静止开始下滑。问绳能否达到图（b）状态？ 若否，绳滑下多长时会甩离桌边？,L,L,分析物理过程,（a）,（b）,（c）,45,利用机械能守恒定律,绳的水平方向

11、动量,时，存在极大值,L,L,l,46,3.4 碰撞,将碰撞的物体模型化为质点,宏观世界经常会发生物体间的碰撞,碰撞的特点：碰撞时间一般很短， 物体的动量有明显变化， 碰撞力很大， 常规力(如重力)与其相比提供的冲量可略,碰撞的基本问题：已知碰撞前系统的运动状态， 要求确定碰撞后系统的运动状态。,碰撞现象普遍存在！,47,起跳和落地时的肌肉和筋腱,足球、排球、体操等运动中，膝部要承受多达7-14倍的峰值体重,48,3.1 一维碰撞,m1,m2,m1,m2,碰撞前,碰撞后,碰撞前后动量守恒：,为解v1，v2，还需建立补充方程,49,弹性碰撞,碰撞前后系统动能不变（机械能守恒）,两个解：一解对应碰

12、前状态，另一解对应碰后状态。,50,性质：碰撞前后相对速度大小不变,特例1：,（反弹）,特例2：,碰后交换速度,51,完全非弹性碰撞,碰后质点1和2一起运动,碰后动能损失,52,非弹性碰撞,介于弹性与完全非弹性之间的碰撞,引入恢复系数,53,54,三体碰撞,m1,m2,完全非弹性碰撞有唯一解,碰撞前后动量守恒：,55,解仍然具有的不定性,模型的问题,弹性碰撞,将物体刚性化与质点化,56,3.4.2 二维斜碰撞,动量守恒方程,m1,m2,完全非弹性碰撞有唯一解,弹性碰撞,若再补充一个角度关系则有唯一解,解的不定性源于物体的刚性化与质点化,四个未知标量,57,例11 采用二体约化质量方法， 计算二体正碰撞过程中系统 动能损失。,碰撞过程中动能损失量由内力作功引起， 因此在所有参考系中相同。,1,2,v0,1,2,v,引入恢复系数,58,利用动能定理,二体约化质量,转换到其它参考系，质点1，2初速分别记为v10，v20，则有,59,习题3-3 质量同为m的两