2021版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第47课-椭圆的几何性质 Word版含解析

1、2021版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第47课-椭圆的几何性质 Word版含解析第47课 椭圆的几何性质 1. 熟练掌握椭圆的几何性质，会利用几何性质解决简单的问题.2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系，并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题. 1. 阅读：选修11第3234页(理科阅读选修21相应内容).2. 解悟：椭圆中的基本量a ，b ，c 满足关系a 2b 2c 2，在图形中分别对应着什么？有怎样的几何关系？离心率是反映了椭圆形状的一个重要量，它与ba 之间满足一个什么关系？求离心率关键要寻找何种等式？a c ，a c 是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能

2、证明吗？3. 践习：在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务).基础诊断 1. 若焦点在x 轴上的椭圆x 22y 2m 1的离心率为12，则m 32.解析：因为焦点在x 轴上的椭圆x 22y 2m 1的离心率为12，所以2m 214，得m 32.2. 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 x 236y 291 .解析：由题意知e 32，2a 12，所以a 6，c 33，所以b 3，所以椭圆方程为x 236y 291.3. 若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到

3、其准线的距离是3. 解析：由题意知2b 2，2a 4b ，所以b 1，a 2，所以c a 2b 23，则椭圆的中心到其准线的距离是a 2c 43433.4. 过椭圆x 2a 2y 2b 21(ab0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为其右焦点，若F 1PF 260，则椭圆的离心率为3. 解析：由题意知点P 的坐标为?c ，b 2a 或?c ，b 2a ，因为F 1PF 260，所以2cb 2a3，即2ac 3b 23(a 2c 2)，所以3e 22e 30，所以e 33或e 3(舍).范例导航 考向? 通过几何性质探求椭圆基本量例1 设A ，B 是椭圆C ：x 23y 2m

4、1长轴的两个端点.若椭圆C 上存在点M 满足AMB 120，求实数m 的取值范围.解析：若椭圆的焦点在x 轴上，则有a 23，b 2m(0m 3)，当点M 为椭圆短轴的端点时，此时AMB 最大，根据椭圆的对称性，只需满足tan AMO ab tan 603(其中O 为坐标原点)，即3m3，得0m 1；若椭圆的焦点在y 轴上，则有a 2m(m 3)，b 23，同理可得m 9.故m 的取值范围是(0，19，). 如图，设椭圆x 2a 2y 2b 21(ab0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点D 在椭圆上，DF 1F 1F 2，F 1F 2DF 122，DF 1F 2的面积为22，则该椭圆的标

5、准方程为 x 22y 21 . 解析：设F 1(c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2a 2b 2.由F 1F 2DF 122，得DF 1F 1F 22222c ，所以S DF 1F 212DF 1F 1F 222c 222，故c 1，所以DF 122.由DF 1F 1F 2，得DF 22DF 21F 1F 2292，因此DF 2322，所以2a DF 1DF 222，故a 2，b 2a 2c 21，因此所求椭圆的标准方程为x 22y 21.考向? 求椭圆离心率例2 如图，x 2a 2y 2b 21(ab0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线交椭圆于P ，Q两点，且PQ P

6、F 1.(1) 若PF 122，PF 222，求椭圆的标准方程； (2) 若PF 1PQ ，求椭圆的离心率e. 解析：(1) 由题意得2a PF 1PF 2(22)(22)4，所以a 2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PQ PF 1，所以2c PF 21PF 22（22）2（22）223，所以c 3，所以b a 2c 21，故所求椭圆的标准方程为x 24y 21.(2) 方法一：连结F 1Q ，设椭圆上点P(x 0，y 0)，PF 1PF 2，所以有?x 20a 2y 20b 21，x 20y 20c 2， 解方程组，得x 0a c a 22b 2，y 0b 2c ，由PF 1PQPF 2， 得

7、x 00，从而 PF 21? ?a a 22b 2c c 2b 4c 2(a a 22b 2)2. 由椭圆定义，得PF 1PF 22a ，QF 1QF 22a ，由PF 1PQ PF 2QF 2， 得QF 14a 2PF 1.又PF 1PQ ，PF 1PQ ，所以QF 12PF 1， 所以(22)PF 14a ，所以(22)(a a 22b 2)4a ， 所以(22)(12e 21)4， 解得e 6 3.方法二： 由椭圆定义，得PF 1PF 22a ，QF 1QF 22a ， 由PF 1PQ PF 2QF 2，得QF 14a 2PF 1. 又PF 1PQ ，PF 1PQ ，所以QF 12PF

8、1， 所以2PF 14a 2PF 1，所以PF 12(22)a ， 从而PF 22a PF 12a 2(22)a 2(21)a.由PF 1PF 2，知PF 21PF 22F 1F 22(2c)2，所以e c a PF 21PF 222a（22）2（21）29626 3. 已知直线l 经过椭圆短轴的一个端点和一个焦点. 若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 14. 解析：根据题意，设椭圆的方程为x 2a 2y 2b 21(ab0)，设直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则直线的方程为x c y b 1.若椭圆中心即(0，0)到直线l 的距离为其短轴长的14，则有|1|1c 21b

9、 2b 4，得b 215c 2，则a 2b 2c 216c 2，即a 4c ，所以椭圆的离心率为14.考向? 椭圆离心率的取值范围问题例3 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F 1PF 260.(1) 求椭圆离心率的取值范围；(2) 求证：F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.解析：(1) 设椭圆方程为x 2a 2y 2b 21(ab0)， PF 1m ，PF 2n.在PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2m 2n 22mn cos 60. 因为m n 2a ，所以m 2n 2(m n)22mn 4a 22mn ， 所以4c 24a 23mn ，即3mn 4a 24c

10、2. 又mn ?m n 22a 2(当且仅当m n 时取等号)，所以4a 24c 23a 2，所以c 2a 214，即e 12，所以e 的取值范围是?12，1.(2) 由(1)知3mn 4(a 2c 2)4b 2，则mn 43b 2，所以S PF 1F 212mn sin 6033b 2，所以PF 1F 2的面积只与短轴长有关. 如图，椭圆C ：x 2a 2y 2b 21(ab0)，圆O ：x 2y 2b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y kx b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q ，设AP PQ .(1) 若点P(3，0)，Q(4，1)，求椭圆C 的方程； (2) 若3，求

11、椭圆C 的离心率e 的取值范围. 解析：(1) 由点P 在圆O ：x 2y 2b 2上得b 3， 点Q 在椭圆C 上得（4）2a 2（1）2321，解得a 218，所以椭圆C 的方程是x 218y 291.(2) 联立?y kx b ，x 2y 2b 2，解得x 0或x P 2kb1k 2.联立?y kx b ，x 2a 2y 2b 21，解得x 0或x Q 2kba 2a 2k 2b 2.因为AP PQ ，3，所以AP 34AQ ，所以2kba 2k 2a 2b 2342kb 1k 2，即a 2a 2k 2b 23411k 2， 所以k 23a 24b 2a24e 21. 因为k 20，所以

12、4e 21，即e12.又02自测反馈 1. 设P ，Q 分别为圆x 2(y 6)22和椭圆x 210y 21上的点，则P ，Q 两点间的最大解析：设椭圆上的点Q 坐标为(x ，y)，圆x 2(y 6)22的圆心为M ，则点M 坐标为(0，6)，半径r 2.要求PQ 的最大值，即求MQ r 的最大值，即求MQ 的最大值.因为MQ x 2（y 6）210（1y 2）（y 6）29?y 2325052，所以PQ 52262，即P ，Q 两点间的最大距为6 2.2. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF 2FD ，则椭圆C 的离心率是3. 解

13、析：如图，BF b 2c 2a ，过点D 作DD 1y 轴于点D 1，则由BF 2FD 得OF DD 123，所以DD 132OF 32c ，即D 的横坐标为3c 2.由椭圆的第二定义得FD e ?a 2c 3c 2a 3c 22a .又因为BF 2FD 得a 2a 3c 2a ，化简得a 23c 2，所以椭圆的离心率e c a 33. 3. 已知F 1(1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过点F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB 3，则椭圆C 的方程为 x 24y 231 . 解析：设椭圆的方程为x 2a 2y 2b 21(ab0)，因为c a 2b 21，所以a 2b 21.因为直线AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴，所以A ?1，32，B ?1，32，代入椭圆方程得1a 294b 21.联立解得a 24，b 23，所以椭圆C 的方程为x 24y 231.4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2y 2b 21(ab0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e.解析：设点P(x ，y).因为PQ l ，四边形PQFA 为平行四边形，所以PQ a 2c x