[理学]5常微分方程.ppt

1、第5章 微分方程 一、内容精要 （一）主要定义,微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶，本光盘只限讨论常微分方程.,1.微分方程及微分方程的阶,含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程；未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元的微分方程叫做偏微分方程.,2.微分方程的解,若将函数代入微分方程使其成为恒等式，则称为该方程的一个解；根据是显函数还是隐函数分别称之为显式解与隐式解；不被通解包含的解称为奇异解；若解中含有任意常数，当彼此独立的任意常数的个数正好等于常微分方程的阶数时，称该解为通解（或一般解）；不含有任意常数而能被通解所包含的解叫做

2、特解.,3.定解条件,用来确定通解中任意常数的的条件称为定解条件，最常用的定解条件是初始条件.,（二）主要结论,1.如果函数 y1与y2是二阶齐次 线性方程,的一个特解，而 Y 是它所对应的齐次方程的通解，则,是二阶非线性方程,3.若,2.若 y1 与 y2 是上述方程的两个线性无关解, 则 y =C1y1 +C2y2 就是该方程的通解.,的两个解，则 y = C1y1 +C2y2也是它的解，其中C1,C2是任意常数.,就是该非齐次方程的通解.,4.若在3中的方程的右边是几个函数的和，如,对于高阶线性方程也有与上述定理相对应的定理.,就是原方程的特解.,的特解,则,分别为非齐次方程,5.可分离

3、变量的方程,6.齐次方程,其中,的通解为,9.全微分方程,的通解为,8.伯努利方程,的通解为,7.一阶非齐次线性微分方程,其中,(2) 不显含 y 的二阶方程,对方程两边连续积分 n 次，便可得到其含有n个任意常数的通解.,10.可降阶的高阶方程及其通解,积分后解之得,再积分,(3) 不显含 x 的二阶方程,再积分,解之得,11.二阶常系数线性方程,(1) 二阶常系数齐次线性方程,特征方程 两实特征根 两相等特征根 两共轭虚根,微分方程的通解,(2) n 阶常系数齐次线性方程,根据特征方程的根，可按下表写出通解形式.,特征方程的根 单实根 r k重实根 r 一对虚根 r1,2= i 一对 k

4、重虚根 r1,2= i,方程通解中对应的项,(3) 二阶常系数非齐次线性方程及其特解形式,是它的通解，下面给出上述非齐次线性方程的特解形式.,设 y* 是方程 y + py + qy = f(x)的一个特解，Y 是其对应齐次方程的通解，则,的特解形式,的两个根为,特征方程,方程,特征方程,的两个根为,（三）结论补充,用D 表示,将方程写成算子形式，,可以通过变换,2.欧拉方程,的通解是,3.简单的常系数线性微分方程组的求解步骤,与 y 无关，则有,（1）如果,4.P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 的简单积分因子的求法,（3）把得到的函数代入原方程，求出其余的未知,函数.,（2）

5、解上述高阶方程，得到满足该方程的未知,函数.,只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程.,（1） 消去方程组中一些未知函数及其导数，得到,（2）如果,5.准齐次方程,则 (x,y) 应该满足一阶偏微分方程,有积分因子(x,y),一般地，若,与 x 无关，则,当c = c1 = 0时，就是齐次方程；,当c , c1中至少有一个不为零时，总可以做变换，使之转化为齐次方程;,当ab1 a1b 0时, 令x = + , y = + ;,当ab1 a1b = 0时，可令变换 z=ax+by.,其中系数a0, a1, a2, ,an, 可用待定系数法求出.,6.若方程 y + p(x)y + q(x)y

6、 = 0中的 p(x)和 q(x)在区间 -R, R (R0)上可展成幂级数, 则该方程在此区间上有幂级数解,7.设f(x, y), fy(x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域内连续, 则,存在x0的一个邻域，在该邻域内，定解问题,存在唯一解.此结论亦为柯西-毕卡(Cauchy-Picard)定理.,的一个解，则该微分方程的通解为,是微分方程,8.若,二、归类解析 （一）可分离变量的微分方程,例5-4 求,例5-1 求微分方程,的通解.,例5-2 求满足方程,且过点（1，2）的积分曲线.,例5-3 求微分方程,的通解.,的通解.,例5-5 求,对任何正数x, y 都成立，又f (1)=3

7、, 求 f (x) .,例5-8 设函数 f (x) 在正实轴上连续，且等式,求u (x, y), 使得,例5-7 若f (x ) 二阶连续可微，,例5-6 求,的特解.,满足y (1) =0,例5-9 求微分方程,求满足 y (ln2)=0 的特解.,的一个解，,例5-13 若y = ex 是方程,例5-12 求,例5-11 求方程,的满足条件,例5-10 求方程,（二）一阶非齐次线性微分方程,y (0)=1的特解.,例5-16 若曲线过点N(1,1), 曲线上任意一点P(x,y)处的切线与 Oy 轴交于Q, 经PQ为直径做的圆过A(1,0) ，求此曲线方程.,例5-14 若,例5-15 设

8、 f ( x) 在0，+ ）上连续，且,证明方程,例5-17 求方程,例5-18 解方程,例5-19 解方程,例5-20 求方程,的通解.,例5-21 求方程,满足初始条件,的特解.,（三）特殊的高阶微分方程,例5-22 求微分方程,例5-23 若一曲线上各点的曲率与该点纵坐标的平方成反比,比例系数为 a , 且曲线经过点(0,a), 并在(0,a)处的切线平行于Ox 轴,求曲线方程.,例5-24 设物体 A 从点(0,1)出发以常速度 v 沿 y 轴正向运动,物体B以常速度2v 从 点 (-1,0)与A同时出发,方向始终指向A .试建立物体B运动轨迹所满足的微分方程.,例5-28 设y1 =

9、 (x)是方程,例5-25 求方程,例5-26 求方程,例5-27 求方程,的一个解,若,求出此方程的另一个与 y1线性,（四）高阶线性微分方程,无关的解,并写出所给方程的通解.,y=f (x) ,x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小.,例5-29 设 y (x) 是 x的连续可微函数,且满足,例5-30 若可微函数f (x) 满足方程,例5-31 设函数f (x) 满足,求由曲线,（五） 综合问题,例5-32 若f (x) 可微, f (0)=0,对任何x, y, 有,例5-33 若,是某二阶非齐次线性方程的三个解，求这个微分方程.,形成的旋转体的体积为,例5-34,

10、例5-35 设函数f (x) 在1，+上连续，直线 x= 1,x=t (t1) 与 x 轴所年围成的平面图形绕x 轴旋转一周,三、同步测试 测试5-1,相切的积分曲线是,(一)、填空题（3分*4=12分）,1.以y = cex + x为通解的微分方程是,2.微分方程,的积分曲线中与直线 y = 2x -1,3.微分方程 y+y - 2y = 0的通解为,4.曲线积分,与路径无,关， f(0)=0, 则一阶连续可导函数 f(x) =,为特解的最低阶常系数的齐次线性微分方程是 .,(二)、选择题（4分*3=12分）,1.方程,属于 .,(A) 全微分方程； (B) 齐次方程；,(C) 线性方程；

11、(D) 伯努利方程.,答案：D,2.以,答案：A,3.若 y= f(x) 是,(A) x0的某邻域内单调增加；,(B) x0的某邻域内单调减少；,(C) x0处取极小值；,(D) x0处取极大值.,答案：C,1.求方程适合,(三)、计算题（7分*5=35分）,2.求方程,3.求方程,4.求微分方程,积分曲线中在原点处,与直线 y=x 相切的积分曲线.,5.若 y= y (x) 满足,1.一个连续凸曲线过A(0,1), B (1,0)两点，对其上的,(四)、综合题（9分*4=36分）,2. 若曲线 L 位于 xoy 平面第一象限内，L上任意一点M 处的切线与 y 轴总相交，记交点为A, 已知,求

12、L的方程.,3.一飞机以常速度 v 在16 km高空做水平飞行,在飞,任意一点P (x,y) ,恒有弧AP 与弦AP 之间的面积等于P点横坐标的三次方，求曲线方程.,经地面导弹基地上空时，基地发射导弹，导弹始终瞄准飞机，其速度为2v ，求导弹的飞行轨迹.,4.若二阶常系数非齐次线性微分方程,的方程总可以经过线性变换化为齐次方程.,证明当,(五)、证明题（5分）,试确定,的一个特解为,并求该方程的通解.,切于该点的积分曲线,(一)、填空题（3分*4=12分）,1.方程,2. y = x的经过点M (0,1), 且与直线,测试5-2,3.通解为 y = C1ex +C2e-2x 的最低阶的齐次线性

13、方程,4.已知,是,答案：B,(二)、选择题（4分*3=12分）,1.满足,2.设线性无关的函数y1, y2 , y3都是方程,的解，,为任意常数，则其通解为 .,答案：C,3.以,为特解的三阶常系数,的齐次线性微分方程是 .,(A),(B),(C),(D),答案：D,1.若f (x) 可导，对任何的 x, y, 总有,(三)、计算题 （7分*5=35分）,求 f (x).,2.求方程,的特解.,3.求微分方程,4.求方程,5.求方程,1.在上半平面内求一条向上凹的曲线，其上任意一点 P(x,y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数，且曲线在(1，1)处的切线与 x 轴平行(法线与 x

14、 轴交点为Q).,(四)、综合题（12分*3=36分）,试求 u 的表达式 f (x, y) .,2.若,具有连续的二阶偏导数，且,3.若函数f ( x ) 具有二阶连续导数，f(0)=0,是全微分方程，求f ( x ) ，并解此全微分方程.,且方程,(五)、证明题（5分）,试证明方程的任何解y (x ),都有下列等式成立：,这里C是任意常数.,例 5-1 求微分方程,记,两边积分得,解 分离变量得,代入x = 1, y = 2，得 C= -1,于是积分曲线是,两边积分得,解 设u= xy, 则 du = yd x + xd y,于是,且过点（1，2）的积分曲线.,例 5-2 求满足方程,例

15、5-3 求微分方程,积分得,即原方程化为,解 设,的通解.,例 5-4 求,积分得,解 原方程化为,的通解.,例 5-5 求,解 原方程化为,满足y (1) =0的特解.,例 5-6 求,解 设,的通解.,例5-7 若f (x ) 二阶连续可微，,解 这里,求u (x, y), 使得,例5-8 设函数 f (x) 在正实轴上连续，且等式,解 固定 x , 对 y 求导，,对任何正数x, y 都成立，又f (1)=3, 求 f (x) .,两边再对x求导,整理得,令,例5-9 求微分方程,解 将方程改写为,的通解.,例 5-10 求方程,x 却是线性的，把方程化为,解 该方程关于 y 为未知数是

16、非线性的，但是关于,的满足条件y (0)=1的特解.,例5-11 求方程,解 这是n = 6 的伯努利方程，代入公式得,的通解.,例 5-12 求,解 把方程改写成,的特解.,即,这是关于n = - 3的伯努利方程,例5-13 若y =ex是方程,这是一个一元线性非齐次方程 ，于是,于是有,程有,解 首先，求出未知函数p (x),把y = ex 代入原方,求满足 y (ln2)=0 的特解.,的一个解，,例5-14 若,解 设 ux=t ,则,当 u = 0, t = 0;当u = 1, t = x.,例 5-15 设 f ( x) 在0，+ ）上连续，且,解 方程,的解为,证明方程,例 5-

17、16 若曲线过点N(1,1), 曲线上任意一点P(x,y)处 的切线与 Oy 轴交于Q, 经PQ为直径做的圆过A(1,0) ，求此曲线方程.,解 过点P(x,y)的切线方程为,由于MQ = MA, 则,线段PQ的中点M,令 x =0, 则点Q (0, y xy ),整理得,这是 n = -1的伯努力方程，解之得,考虑到 y (1) = 1,则 C = 0，于是所求曲线为,例 5-17 解方程,解,例 5-18 解方程,解 设,积分得,再积分得原方程的通解为,则原方程可化为,例 5-19 解方程,解 由于,设,则,其特征根是1，-1，所以,例 5-20 求方程,解,代入原方程得,解这个微分方程，

18、得其通解为,的通解.,例 5-21 求微分方程,适合条件,的特解.,解 设,则原方程化为,解之,由于,积分两次有,例 5-22 求方程,解 设,原方程可化为,当p = 0时，y = C是方程的解，当p 0时，有,积分得,例 5-23 若一曲线上各点的曲率与该点纵坐标的平方成反比,比例系数为 a , 且曲线经过点(0, a), 并在(0, a)处的切线平行于Ox 轴,求曲线方程.,解 依题意有,设,分离变量，解之得,由,由于 y(0)=a,于是原方程的通解为,例 5-24 设物体 A 从点(0,1)出发以常速度 v 沿 y 轴正向运动,物体B以常速度 2v 从 点 (-1,0) 与A同时出发,方

19、向始终指向A .试建立物体 B运动轨迹所满足的微分方程.,解 在时刻 t, 物体B位于P(x,y), Q(0,vt+1),过 P(x,y)的切线方程是,代入点Q(0,vt+1),有,由弧长公式,所求方程为：,例 5-25 求方程,解 特征方程,原方程的通解,代入初始条件，解得 C = 1, D = -1.,于是原方程的特解为,例 5-26 求方程,解 不难求出特征根为1，6，对应的齐次方程的,可以判断出其特解为,代入初始条件解得,通解为,例 5-27 解方程,解 不难求出方程的特征根为2，2.,方程,的特解,方程,的特解,方程,的特解,原方程的特解,代入初始条件，并解方程组，求得,解,由于,是原方程的解，故,例5-28 设y1 = (x)是方程,的一个解,若,求出此方程的另一个与 y1线性,无关的解,并写出所给方程的通解.,令,原方程的通解为,例 5-29 设 y (x) 是 x的连续可微函数,且满足,解 两边对 x 求导, 得到,整理即,再求导，并整理得到微分方程,解之得,即,例 5-30 若可微函数f (x) 满足方程,解 由所给方程可知 f (1)=1,两边对 x 求导