数列通项公式的六种求法

1、数列通项公式的六种求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的六种常用方法。直接法如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，求 得印，d （或q），从而直接写出通项公式。a4=l2，则数列的通项例1.等差数列 an是递减数列，且 a2 a3 a4=48， a? a3公式是（）（A） an 2n 12（B） an 2n 4解析：设等差数列的公差位 d,由已知a34解得，又an是递减数列，d 2(C) an 2n 12(D) an 2n 103

2、 d) a3 3 d) 483a312 d 2, a18,an8 (n 1)( 2) 2n 10，故选(D)。例2.已知等比数列an的首项a11，公比0 q1，设数列bn的通项为bn an 1 an 2，求数列bn的通项公式。解析：由题意，bn 1an 2an 3，又an是等比数列，公比为bn 1bnan 2an 3an 1an 2q，故数列bn是等比数列,bia2 a3 ag a2 q(q 1)，bn q(q 1)qn1 qn(q 1)二、归纳法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。例3. （ 2002年北京

3、春季高考）已知点的序列An（xn,0）,n N*，其中x1 0 ,x2 a（a 0），A3是线段A1A2的中点，A“是线段A2A3的中点，代是线段A. 2代i的中占I 八、： 写出Xn与Xni,Xn2之间的关系式（n 3 ）。 设an Xn 1 Xn，计算a?,玄3，由此推测 an的通项公式，并加以证明。解析：（1 ） An是线段An 2 An 3的中点，Xn 1 Xn 22(n3)a1X2X1a0 aX2X1a2X3X22X2 =X3X2a3X4X32X3 =猜想an(-)n1a(nN*),2F面用数学归纳法证明10当n=1时，a1 a显然成立;-(X22、 1X1) a,21(X321X2

4、)a,401 k 12 假设n=k时命题成立，即ak( -) a(k N*)2则 n=k+1 时，ak 1 Xk 2 Xk 1Xk 1 Xk2Xk= 2(Xk1Xk)1ak2=(7)( ；)k 1a2 2(fl当n=k+1时命题也成立, 命题对任意n N都成立。三、累加（乘）法写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。例4.若在数列an中，a1 3， an 1 an n，求通项an。解析：由an 1an n 得 an 1 an n，所以anan 1 n 1,an 1an 2n2 ,a2a11 ,将以上各式相加得：ana1(n1)(n2)1,又 a13所以

5、a n(n 1) an =23例5.在数列an中，a11,an12nan(nN*),求通项an。解析:由已知an 12nan2n 1an 12n 2a22，又 a11anan 1an 2a1所以anan 1an-a2a1-2n1 2n 2 .- 2n(n 1)1-2 2an 1 an 2a1四、构造法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为 等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例6. 在数列an中,a11，a22,an2an3an，求an。3解析：在an23an11an两边减去an 1，得3an 2an13(an1 an)an1是以a2 a1 1为

6、首项，以为公比的等比数列,3an 1 an1 n 13)，由累加法得an = (an an 1 ) (an 1an 2 )(a2 a1 ) a1=(1)n 2 ( 1)n 3 - ( 1) 1 1 =33311 (釘13=护(1)n1 1例7.（2003年全国高考题）设a0为常数，且an1 *3 2an 1 (n N ),证明：对任意n 1, an1) 2n(1)n 2n ao证明：设，ant 3n2(an 1t3n 1)用 an3n1 2ani代入可得tan3n5是公比为 2，首项为ai-的等比数列,53nan3(1 2ao -)(52)n1 (N ),即：an3n(* 2n (5n n1)

7、 2a。五、公式法公式法即利用公式an Sn Sn 1 （n 2）求数列通项公式的一种方法。例8. 在数列 an 中，a1 +2a2 +3a3 + +nan = n(n 1)(n 2)，求 an。解析：令 Sn = a+2a?+3a3 + +na.= n(n 1)(n2),则 Sn 1 = a1 +2 a2+3a3 + + (n 1)an 1= (n 1)n(n 1),则 Sn Sn 1= nan= ng 1)(n 2) (n 1)n(n 1),an = (n 1)(n 2) (n 1)( n 1) = 3n 31例9.设数列an的前n项和Sn=4 an，求an2解析：由Sn = 4 an1尹，得 Sn1 = 4 an1an 1 = Sn 1Sn = anan 1 +an1 = 2an +2n两边同乘以11 )n 2n 1 )2 2n 1n 1n2 ，得 2 an 1 = 2 an +2,2nan是首项为1公差为2的等差数列,2nan =2+(n1) 2 = 2 n，六、代换法例10.已知数列