18 19第1章12第2课时余弦定理2

1、第2课时余弦定理（2）学习目标：1.理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状 2熟练边角互 化.（重点）自主预习探新知1. 射影定理在厶ABC中， bcos C+ ccos B = a； ccos A+ acos C= b; acos B + bcos A = c.2. 平行四边形性质定理平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和.1 特别地，若AM是厶ABC中BC边上的中线，则AM = 2 2 AB2+ AC2 BC2.思考：三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他； 按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形.在判断三角形的形状时是不 是要一个一个去判定？提示不需

2、要.如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角， 锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2+ b2 c2来判断cos C的正负.而 判断边或角是否相等则一目了然，不需多说.基础自测1. 在 ABC 中，若 BC= 3,则 ccos B+ bcos C =.解析ccos B+ bcos C= BC = 3.答案32. 若厶ABC中，AB= 1, AC = 3, A= 60则BC边上的中线 AD =解析在厶ABC中，由余弦定理可知 BC= .7. AD= 利用正、余弦定理解决实际问题例船,正沿南偏东75的方向以10 n mile/h的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 n mile/h

3、 的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶 上该走私船？；已知sin 38 13=聲3）思路探究先画出示意图，再借助正、余弦定理求解.解如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x h后在B处追上走私船，则CB= 2 AB210x, AB= 14x，AC= 9，/ ACB= 75+ 45= 120,由余弦定理，得（14x） = 9 +2（10x） 2X 9X 10xcos 120，2化简得 32x 30x 27= 0，+ AC2 - BC2132第5页合作探究攻重难sin/ BAC= 383 + 45833.答 巡逻艇应该沿北偏东833方向去追，经过1.5 h才追赶上该走私船

4、.规律方法准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知 识，建立数学模型，然后正确求解.跟踪训练1 两船同时从A港出发，甲船以20 n mile/h的速度向北偏东80的方向航 行，乙船以12 n mile/h的速度向北偏西40方向航行，求一小时后，两船相距多 少 n mile.解一小时后甲船到B处，乙船到C处，如图， ABC中，AB = 20, AC=12，/ CAB= 40 + 80= 120由余弦定理，得 BC2= 202 + 122 2X 20X 12 cos 120= 784，二 BC = 28

5、(n mile).即一小时后，两船相距28 n mile.虔璽圍 2abcosC = ab, cos C=1,c=n3法一：又 2cos Asin B = sin C = sin(A+ B)=sin Acos B+ cos Asi n B, sin Acos B cos Asin B= 0, si n(A B) = 0, A= B,n A= B= C = 3, ABC为等边三角形.法二：由 2cos Asin B = sin C 可知,2 2 2b + c a2bx 2bc二 c,2 2 即 b = a , a= b,n A= B= C = 3, ABC为等边三角形.规律方法利用正、余弦定理判

6、定三角形形状的策略跟踪训练工回码42.在 ABC中，若B = 60 2b= a+ c,试判断 ABC的形状.2 2 2解法一：根据余弦定理得b= a + c - 2accosB. B = 60 2b = a+ c,/、2a+ c 220二 =a + c 2accos 60 ,I 2丿整理得(a c)2 = 0,a= c.又: 2b = a+ c, 2b = 2a, 即卩 b= a.:. ABC是正三角形.法二：根据正弦定理，2b= a+ c可转化为2si n B= sin A+ sin C.又 B= 60, A+ C= 120, C= 120A, 2si n 60 =sin A+ si n(1

7、20 A),整理得 sin(A+ 30) = 1, A= 60,C = 60,ABC是正三角形.1231 I利用正、余弦定理度量平面图形探究问题1. 在厶ABC中，若 AD丄BC,贝U ABcos B+ ACcos C的值为多少？提示女口图，易知 ABcos B= BD, ACcos C = CD , 又 BD + CD = BC,故 ABcos B + ACcos C= BC.2. 在厶ABC中，若AD是/ BAC的平分线，贝U BD与DC有什么关系？提示BD : DC = AB : AC.3. 在厶ABC中，若AD是BC边上的中线，则 AD与AB, AC, BC间存在怎样的等量关系？2 2

8、 2 2 提示4AD = 2(AB + AC ) BC .例 如图1-2-1，在平面四边形 ABCD中，AB丄AD, AB= 1, AC= . 7,第5页图 1-2-1/ ABC= 2n，/ ACD = n求 sin/BAC;求DC的长.思路探究(1)在厶ABC中，由余弦定理求BC,在 ABC中由正弦定理求/ BAC的正弦值.(2)垂直关系 Tsin D -正弦定理确定边长解(1)在厶ABC中，由余弦定理得:2 2 2AC2= BC2+ BA2 2BC BAcos B,2即 BC + BC 6 = 0,解得：BC= 2,或 BC= 3(舍),由正弦定理得：i BBAC- ACb? sin/ B

9、AC- BCAC B-专. sin/ BAC sin BAC7n(2)因为 AB丄 AD,所以/ CAD + / BAC=，所以 cos/ CAD = sin/BAC =217 ,sin/ CAD= 1 7 = 7 , 所以 sin D = sin / CAD + 1 回並_ 5/7 2+ T X 2 = 14 ,由正弦定理得:DC AC sin/ CAD - sin DDCACsi n/CADsin D7X专5.74,7514母题探究：1.(变条件)将本例中四边形ABCD满足的条件改为/ BAD - 90 / BCD- 150 / DAC- 60 AC-2 , AD- .3+ 1.求 CD 的长和 ABC 的面积.解 在厶ACD 中，由余弦定理得 CD2 =