现代控制理论（第二章）线性系统的状态空间描述

1、第二章 线性系统的状态空间描述,工业控制系统中，对系统的数学描述常用两种方法：输入/输出描述和状态空间描述。 输入/输出描述的是系统的外部特性。在工程上简便易行，得到广泛应用； 状态空间描述包括了系统的内外部特性，是 一种全面的描述。由于获得了系统的全面信息，故可设计出性能良好的系统。但在许多情况下，得到系统的状态空间描述比较困难。 总之，两种描述方法各有其优缺点，如何应用应视具体研究对象而定。,2.1 状态、状态空间、状态空间描述,例如：,从输入输出关系来看，它们具有相同的传递函数：,但事实上这是两个内部结构完全不同的系统。这两个系统是不等价的，一个是能控不能观的，一个是能观不能控的。这表明

2、系统的内部特性比起由传递函数表达的外部特性要复杂，输入输出描述没有包含系统的全部信息，不能完整的描述一个系统。,一、输入 / 输出描述,系统的输入/输出描述建立的基础：不知道系统的内部结构信息，唯一可测量的量是系统的输入和输出信号。将系统视为一个“黑箱”：,通过向该黑箱施加各种类型的输入并测量与之相应的输出，然后从这些输入/输出对中得出系统的重要特性。,于是多变量和单变量系统的定义： 定义: 当且仅当p = q = 1时，系统称为单变量系统。否则称为多变量系统。,一个系统可能有多个输入和多个输出。一般地，可用向量来表示系统的输入和输出：,y,例如，在经典控制论中就主要讨论的是单变量系统。而且，

3、直观地看，多变量系统的分析和设计应较单变量系统来得困难。事实上，无论是多变量系统还是单变量系统，其分析和控制律设计的复杂程度主要取决于我们对该系统的了解。例如，即使是如下的单变量系统：,若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。,系统的输入输出描述仅在松弛的条件下才能采用。若系统在t0时刻是非松弛的，输出 并不能单单由 所决定，即关系式 不成立。考察简单的一阶系统：,容易得到其解,显然，若其初始条件 不能确定，则不能唯一地确定其输出。,1.非零初始条件与脉冲输入,零初始条件：系统的初始条件为零是指系统在初始时刻没有能量储备。,注意：在建立线性系统的输入输

4、出描述时，必须假设系统的初始条件为零。,初始条件不为零时，可以将非零的初始条件等效成在初始时刻的一个脉冲输入。,令,当0时， 的极限函数，即,称为单位脉冲函数或函数。,单位脉冲函数（函数 ）,函数的性质：,（2）对任何在 时刻连续的函数f (t),有,（1）,非零初始条件与等价的脉冲输入,结论：非零初始条件对应的系统响应等效于 在初始时刻脉冲输入时的系统响应。,2.线性系统的单位脉冲响应,定义1：对单变量系统，在初始条件为零的条件下，当系统的输入为单位脉冲函数时，相应的系统输出称为系统的单位脉冲响应。,用符号 表示该系统的单位脉冲响应，即,单变量线性时变系统输入输出关系：,注意： g(t,)

5、是双变量函数; 代表函数作用于系统的时刻； t 代表观测其输出响应的时刻。,结论1：对单变量线性时变系统，u(t)为其输入变量，g(t,)为其单位脉冲响应，在初始条件为零的条件下，系统的输出响应为：,结论表明：初始条件为零的线性时变系统，其输入输出描述可以由该系统的单位脉冲响应给出完备的表达，即线性系统的单位脉冲响应可以作为系统外部描述的一种形式。,结论2：线性定常系统的单位脉冲响应只取决于响应的观测时刻与函数作用于系统的时刻之差， 即 相应的系统对任意输入u(t)作用下的响应为 或,定义2：如果线性系统输入输出之间的线性映射L满足下式： 即此线性映射L不随时间变化，则称此系统为线性定常系统。

6、,结论3：对多变量线性时变系统，u(t)为其p维输入向量，y(t)为q 维输出向量，在初始条件为零的条件下，系统的输出响应为： 其中： 称G(t,)为系统的单位脉冲响应矩阵。,多变量线性系统的单位脉冲响应,结论4： 对于多变量线性定常系统，有 对初始条件为零的线性定常因果系统，有 其中：t0为系统的初始时刻。,说明：元素 为在系统第j个输入端单独施加单位脉冲函数时(而其他输入为零)，系统第i个输出端的响应。,状态：系统的状态是一个在时域中可以确定该系统行为或运动信息的集合。,状态变量：确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻 的值以及 的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时

7、刻 的状态。,2、状态向量,由描述系统的 个状态变量 构成 的向量称为 维状态向量。,1、状态、状态变量,二、状态空间描述的基本概念,以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。,3、状态空间,系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹。,4、状态轨线,描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分（差分）方程组。,5、状态方程,描述系统输出变量与状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程组。,6、输出方程,状态方程与输出方程的组合称为状态空间描述。,7、状态空间描述,系统状态空间描述中，函数 和 不显含 或 。,8、自治系统,系统状态空间描述中， 和 均是线性函数。,9、线性

8、系统,状态方程为一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程，输出方程是向量代数方程。,10、线性系统的状态空间描述,若状态 、输入 、输出 的维数分别为 ，则称 矩阵 及 为系统矩阵， 矩阵及 为控制矩阵， 矩阵 及 为观测矩阵， 矩阵 及 为前馈矩阵。,线性系统的状态空间描述中，若系数矩阵 均为常数。,11、线性定常系统的状态空间描述,简记为系统 或系统 。,12、线性系统的结构图,13、线性系统的信号流图,和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量,例：如下图所示电路， 为输入量， 为输出量。,建立方程：,初始条件：,三、系统状态空间描述的建立,根据系统机理建立状态空间描述,前

9、面电路的微分方程组改写如下矩阵形式：,设：,则可以写成状态空间表达式：,在前面例子中，如果选择状态变量 则状态方程为：,输出方程为：,由以上定义和例子归纳出下列特点：,1、独立性：状态变量之间线性独立； 2、多样性：状态变量的选择不是唯一的； 3、等价性：状态向量之间存在非奇异线性变换； 4、现实性：状态变量可以选为涵义明确的物理量； 5、抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义，以凸显系统某一性质； 6、状态变量的数目等于且仅仅等于系统中包含独立贮能元件的数目； 7、状态变量的数目可以是有限个，也可以是无限多个，本课程仅研究有限个数的情况。,例 建立右图所示电路系统状态空间描述,以上方程可表为

10、形如,例 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）,根据牛顿第二定律,即：,选择状态变量,则：,系统的动态方程为,系统的结构图如下,例 建立电枢控制直流电动机的状态空间表达式,电枢回路的电压方程为,系统运动方程为,（式中， 为电动势常数； 为转矩常数； 为折合到电动机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）,可选择电枢电流 和角速度 为状态变量，电动机的电枢电压 为输入量，角速度 为输出量。,状态空间表达式,系统结构图如下：,这里分两种情况： 1）微分方程中不含输入信号导数项,2）微分方程中含有输入信号导数项,2.2 由系统输

11、入输出描述导出状态空间描述,由系统输入输出描述导出状态空间描述的问题称为实现问题。,1、由微分方程求状态空间描述,1）微分方程中不含有输入信号导数项,首先考察三阶系统，其微分方程为,选取状态变量,则有,写成矩阵形式,状态图：,一般情况下，n 阶微分方程为：,选择状态变量如下：,写成矩阵形式：,系统的状态图如下：,首先考察三阶系统，其微分方程为,选择状态变量：,其中，待定系数为：,2）微分方程中含有输入信号导数项,于是,写成矩阵形式,系统的状态图,一般情况下，n 阶微分方程为：,选择 n 个状态变量为,系统动态方程为,其中,系统状态图如下,当 时：,选择 n 个状态变量为,系统动态方程为,2、由

12、系统传递函数求状态空间描述,设 n 阶微分方程为：,引入辅助变量 z,1）串联分解的情况,严真有理分式,微分方程形式：,以及,选择状态变量如下：,写成矩阵形式,2）只含单实极点的情况,选取状态变量,系统动态方程为,选取状态变量,系统动态方程为,3）含重实极点的情况,选取状态变量,系统动态方程为,选取状态变量,取拉氏反变化,系统动态方程为,例 已知描述系统的微分方程为,试求系统的状态空间表达式。,解,（1）待定系数法,选择状态变量如下,其中,于是系统的状态空间表达式为,（2）辅助变量法,引入辅助变量z,选择状态变量,于是系统的状态空间表达式为,3、由方块图描述导出状态空间描述,例,设系统方块图如

13、下，试列写其状态空间描述,解,上图等效为,指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：,写成矩阵形式,例,设,画出结构图,动态方程为,2.3 线性时不变系统的特征结构,1、特征多项式,连续时间线性时不变系统,(1) 特征多项式,均为实常数,(2) 特征方程,(3) 凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理,这一定理揭示了线性时不变系统一特性：对系统矩阵A，有且仅有 为线性无关，所有 都可表示为它们的线性组合。,(4) 最小多项式,的各个元多项式之间互质,定义（s）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理，即（A）=0,(5) 系统矩阵的循环性,如果系统矩阵A的特

14、征多项式(s)和最小多项式（s）之间只存在常数类型的公因子k，即,则称系统矩阵A是循环的。,2、特征值,(1) 特征值的代数属性,系统特征值就是使特征矩阵(sIA)降秩的所有s值,(2) 特征值集,对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。,(3) 特征值的形态,特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数。,(4) 特征值类型,系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型 。,(5) 特征值的代数重数,代数重数i 代表特征值集中值为i 的特征值个数,(6) 特征值的几何重数,(7) 特征值重数和类型的关系,对n 维线性时不变系统，若i A为重特征值，则其代数

15、重数i和几何重数i之间必 有,3、特征向量和广义特征向量,(1) 特征向量的几何特性,(2) 特征向量的不唯一性,(3) 单特征值所属特征向量的属性,对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值1、2、n的相应一组特征向量v1、v2、vn为线性无关，当且仅当特征值1、2、n为两两互异。,广义特征向量,对n维线性时不变系统，设i为nn维系统矩阵A的一个i重特征值，则,特征值为两两互异的情形,2.4 状态方程的约当规范形,对n个特征值1、2、n两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=v1、v2、vn，则状态方程,可通过线性非奇异变换,而化为约当规范形,例 将矩阵 化为对角阵,解

16、,解出,变换矩阵,如果矩阵 A 具有友形式,变换矩阵为范德蒙特矩阵,特征值包含重值的情形,对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值,基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令,可将系统状态方程化为约当规范形：,其中，Ji为相应于特征值i 的约当块：,一、传递函数矩阵,多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：,称G(s)为系统的传递函数矩阵。,其中,2.4 由状态空间描述导出传递函数矩阵,(1) G(s)的函数属性,传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的qp有理分式矩阵。,(2) G(s)的真性和严真性,当且仅当

17、G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的,(3) G(s)的特征多项式和最小多项式,(4) G(s)的极点,G(s)的极点定义为方程式,的根,状态空间表达式为,进行拉普拉斯变换,如果 存在，则,如 ，则,状态变量对输入向量(输入到状态)的传递函数矩阵：,G(s)基于(A,B,C,D)的表达式,而,输出对输入向量(输入到输出)的传递函数矩阵：,设G(s)的首一化特征多项式为 G(s)，A的特征多项式为(s)，若,必有,若系统能控能观测，则,G(s)的极点集合G，A的特征值集合，若G，则G；若系统能控能观测，则G= 。,例 线性定常系统状态空间表达式为,求系统的传递函数矩阵。,解,或,开环

18、传递矩阵：偏差向量至反馈向量之间的传递矩阵,开环与闭环传递矩阵,闭环传递矩阵：,状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达式也不相同。 由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。 线性变换的几何意义既坐标变换实质是把系统在一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。,求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，突出了系统的某些结构特征，或简化系统分析和综合过程、或便于求解状态方程。,2.5 线性系统在坐标变换下的特性,1、坐标变换下的几何含义和代数表征,状态空间描述的坐标变换,坐标变换：系统坐标变换的几何含义就是换基，即把状态空间的坐标系由一个基底换为另一个基底。 坐标变