高一数学五科联赛试题含解析

1、高一数学【试卷综析】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。一.选择题:本大题共10小题，每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.1、数列2，5，8，11，则23是这个数列的 A第5项 B第6项 C第7项 D第8项【知识点】数列的概念及简单表示法

2、【答案解析】D 解析 ：解：数列2，5，8，11，组成以2为首项，3为公差的等差数列，通项为an=3n1，令3n1=23，可得n=8故答案选：D【思路点拨】求出数列的通项公式，即可得到结论2、已知中，则等于A、60 B60或120 C30 D30或150【知识点】正弦定理.【答案解析】B 解析 ：解：由正弦定理可知0B180B=60或120故答案选B【思路点拨】利用正弦定理把代入即可求得sinB的值，进而求得3、在中，若，则的值为A、 B、 C、 D、【知识点】正弦定理；解直角三角形.【答案解析】B 解析 ：解：在中，若，所以a：b：c=3：4：5，因为，所以是直角三角形，=.故答案选B.【思

3、路点拨】由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosB的值4、已知数列中，则的值为 A50 B51 C52 D53【知识点】等差数列的定义；等差数列的通项公式.【答案解析】C 解析 ：解：,即数列是以2为首项，为公差的等差数列，.故答案选C.【思路点拨】先判断出数列是等差数列，然后利用通项公式求即可.5、若互不等的实数成等差数列，成等比数列，且，则A. B. C. 2 D. 4 【知识点】等差数列；等比数列.【答案解析】A 解析 ：解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=bd，c=b+d，由题设得，解方程组得，或，d0，b=2，d=6，a=bd=4，故答案选A

4、【思路点拨】因为a，b，c成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为bd，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解6、等差数列的通项公式，设数列，其前n项和为，则等于A. B. C. D以上都不对【知识点】等差数列的通项公式;裂项相消法.【答案解析】B 解析 ：解：,=，故答案选B【思路点拨】先根据等差数列的通项表示出，然后利用裂项相消法求出.7、在中的内角所对的边分别为，若成等比数列，则的形状为A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 不确定【知识点】三角形的形状判断；等比数列的性质；余弦定理.【答案解析】C 解析 ：解：由a,b,c成等比数列

5、得代入余弦定理求得，即，因此a=c，从而A=C，又因为，所以是等边三角形，故答案选C.【思路点拨】先根据a,b,c成等比数列得，进而代入余弦定理求得，整理求得a=c，判断出A=C，最后判断三角形的形状【典型总结】本题主要考查了等比数列的性质，三角形形状的判断，余弦定理的应用三角形问题与数列，函数，不等式的综合题，是考试中常涉及的问题，注重了对学生的双基能力的考查8、等比数列的前项和为4,前项和为12,则它的前项和是A.28 B.48 C.36 D.52【知识点】等比数列的性质【答案解析】A 解析 ：解：为等比数列，成等比数列，等比数列an的前m项和为4，前2m项和为12，4，8，成等比数列，4

6、（）=，解得故答案选：A【思路点拨】利用等比数列的性质，成等比数列进行求解9、在中，为的中点，且，则的值为A、 B、 C、 D、【知识点】平面向量数量积的运算【答案解析】D 解析 ：解：由题意可得,故答案选D【思路点拨】先把转化为，代入已知条件即可.10、 设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围A B C D【知识点】等差数列的通项公式【答案解析】C 解析 ：解：由得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，sin（3d）=1d（1，0），3d（3，0），则3d=，d=由=对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，解得：首

7、项a1的取值范围是故答案选：C【思路点拨】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围【典型总结】本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力，是中档题二. 填空题:共5小题,每小题3分,共15分,把答案填在答题卡的相应位置.11. 已知向量，若，则 ；【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【答案解析】解析 ：解：，即解得故答案为.【思路点拨】根据，把两个向量的坐标代入求解12. 已知等比数列的公比

8、为正数，且，则 ；【知识点】等比数列的性质【答案解析】3 解析 ：解：在等比数列中，由等比数列的性质可得，而，所以，则，又因为等比数列的公比为正数，所以，则.故答案为3.【思路点拨】根据等比数列的性质即可得到结论13. 若数列的前项和，则 的值为 ；【知识点】数列递推式【答案解析】 解析 ：解：数列的前项和，=，,故答案为.【思路点拨】根据数列的前项和，利用递推式直接进行计算即可得到结论14数列中，则的通项公式为 ；【知识点】等比数列的通项公式；构造新数列.【答案解析】 解析 ：解：，所以可得数列是等比数列，首项公比为3；所以，故答案为：.【思路点拨】由已知条件构造出新数列是等比数列，然后利用

9、等比数列的通项公式求出结果即可.15在中的内角所对的边分别为，重心为，若；则 ；【知识点】余弦定理；向量在几何中的应用【答案解析】解析 ：解：由可以得到即，又因为不共线，所以=0, =0,即所以，故答案为.【思路点拨】首先变形已知条件，找出a,b,c满足的关系式，最后借助于余弦定理求出结果.三、解答题(本大题共6小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.(本小题满分8分)在等比数列中，已知（1）求数列的通项公式.（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的前项和.【知识点】等差数列与等比数列的综合【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）为等比数列且（2）又因为为等

10、差数列，所以.【思路点拨】（1）由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可（2）利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列bn是等差数列求出首项与公差再代入求出通项公式及前n项和Sn17. (本小题满分8分)设向量（1）若，求的值（2）设函数，求的取值范围【知识点】向量的模的运算；向量的数量积公式；三角函数的定义域与值域.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1），.（2）故【思路点拨】（1）利用向量的模相等得到可解x;（2）先用向量的数量积公式求出函数，再求值域即可.18. (本小题满分8分)已知三个内角,的对边分别为, 且，(1)求角 (2)若=,的面积为,求的周

11、长.【知识点】余弦定理；正弦定理.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）由c=asinC+ccosA，利用正弦定理化简得：sinC=sinAsinC+sinCcosA，sinC0，sinA+cosA=1，即2sin（A+）=1，sin（A+）=，又0A，A+，则A+=，即A=；（2）ABC的面积S=bcsinA=，sinA=，bc=4，由余弦定理知a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bc，得a2+bc=（b+c）2，代入a=2，bc=4，解得：b+c=4，则ABC周长为4+2【思路点拨】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化为

12、一个角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA，已知面积代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，将a，bc，cosA的值代入求出b+c的值，即可出三角形ABC周长【典型总结】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19. (本小题满分9分)在火车站A北偏东方向的C处有一电视塔，火车站正东方向的B处有一小汽车，测得BC距离31km，该小汽车从B处以60公里每小时的速度前往火车站，20分钟后到达D处，测得离电视塔21km,问小汽车到火车站还需要多长时间北ACDB【知识点】解三角形的实际应用【答案解析】

13、15(分钟)解析 ：解：由条件=,设,在中,由余弦定理得 .=.在中,由正弦定理,得( )(分钟)【思路点拨】先画出图形，在BCD中，求出sin，利用sin=sin（60），求出sin，在ADC中，由正弦定理，得AD，即可求出小汽车到火车站的时间【典型总结】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题20. (本小题满分9分) 设数列为等差数列，且，数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的性质；错位相减法求和.【答案解析】（1） ；（2）. 解析 ：解：（1）数列为等差数列，则故，又满

14、足等比数列求和的性质且，.（2），则将两式相减得： ，所以.【思路点拨】（1）根据已知条件求出公差，然后利用通项公式求出，同时借助于等比数列的前n项和求出即可.（2）由数列的特征采用错位相减法求和即可.21(本小题满分13分)设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上 （1）求归纳数列的通项公式（不必证明）； （2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（）， ；，；，.， 分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为， 求的值； （3）设为数列的前项积，若不等式对一切 都成立，其中，求的取值范围【知识点】数列与函数的综合；数列与不等式的综合 【答案解析】（1

15、）（2）=2010. （3）解析 ：解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以由此猜想：（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），. 每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 又=22，所以=2010.8分（3）因为，故，所以又，故对一切都成立，就是对一切都成立9分设，则只需即可由于，所以，故是单调递减，于是令，12分即 ，解得，或综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是【思路点拨】（1）由已知可得，即 Sn=n2+n再利用a1=S1=2，当n2时，an=SnSn1=n2+n（n1）2（n1）=2n，故可求；（2）由an=2n可得数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），