422第1课时直线和圆的极坐标方程

1、4.2.2 常见曲线的极坐标方程第 1 课时 直线和圆的极坐标方程1会求极坐标系中直线和圆的极坐标方程2进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法3进一步体会极坐标的特点，感受极坐标方程的美基础初探1直线的极坐标方程若直线I经过点M( p,出)，且直线I的倾斜角为a则此直线的极坐标方程 为 psin( 0 a = psin(0) a -几种常见直线的极坐标方程：图 4-2-12圆的极坐标方程若圆心的坐标为M(p,0),圆的半径为r，则圆的极坐标方程为 p 2ppcos(0220)+ p r = 0.几种常见圆的极坐标方程图 4-2-2思考探究1求直线和圆的极坐标方程的关键是什么？【提示】 求直

2、线和圆的极坐标方程关键是将已知条件表示成p和0之间的关系式这一过程需要用到解三角形的知识 用极角和极径表示三角形的内角和 边是解决这个问题的一个难点 直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转 化而来2直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？【提示】(1)由直角坐标求极坐标时,理论上不是惟一的,但一般约定只在规定范围内求值；(2) 由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(3) 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用 去乘方程的两端.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1: 解惑：疑问2: 解惑：求直线的极坐标方程例求：过A2, n且平行于

3、极轴的直线；过a3, n且和极轴成 的直线.【自主解答】(1)如图1所示，在所求直线上任意取点 M( P 9，过M作MH JOx 于 H,连 0M.A?, n，MH = 2 sinn=2，在 RtOMH 中，MH = OMsin 9,即 psin A迈，所以，过A*,扌平行于极轴的直线方程为 Pin 9= V2.(2)如图2所示，在所求直线上任取一点 M(p, 9),A3, 3 ,0A= 3, ZAOB= 3，由已知/ABx=尹，所以ZOAB =尹一器,-5n 7 n3_sin汀0AM = n1212.又0OMA =0MBx 9= 9, 在AMOA中，根据正弦定理得_p7n si np.7 n

4、 . (nnV6吨r n4+3 =-.将sin5- B展开，化简上面的方程，可得“.、驱 3pcos + sin B)= 2 + 2所以，过A 3,n且和极轴成3n的直线方程为pcos 0+ sin 彷=3.323+2.第7页再练一题i .设p?, nn，直线I过p点且倾斜角为，求直线I的极坐标方程.【导学号：98990012】【解】 如图所示，设M(p, 0)( p0)为直线I上除P点外的任意一点，极 点为0,连接0M，0P，该直线交Ox于点A，则有 OM = p, OP = 2，n /ndMOP = |0- 4l，/OPM = 2，所以 OMcosdMOP = OP，nn卜例即pos|0

5、4| 2，即卩pcos(0 4) 2，显然点P也在这条直线上.故所求直线的极坐标方程为neos(0- 4)2求圆的极坐标方程(1)求以B 3, n为圆心，3为半径的圆.求以极点和点N 2,于所连线段为直径的圆的极坐标方程.n【自主解答】：圆心为B(3, 2)，半径为3.所求圆的极坐标方程为p= 6sin Q(2)如图，设M( p Q为圆上任一点，则有 ONcos/NOM = OM ,即 尸2cos 34n- Q就是所求圆的极坐标方程.再练一题2求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程.【解】女口图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A,在圆上任取一

6、点P(p, Q,连接OP, FA，在 RtSFA 中，OA= 8, OP= p, ZAOP= QOA cosp,即8cosp,即 尸8cos Q就是圆C的极坐标方程. J极坐标的应用例在极坐标系中，已知圆 p= 2cos Q与直线3 pcos Q+ 4 pin Q+ a= 0相切，求实数a的值.【思路探究】将圆 尸2cos Q与直线3 pcos Q+ 4 pin Q+ a= 0化为普通方程后求解.【自主解答】尸2cos Q, $= 2 pcos Q,圆的普通方程为：x2 + y2 = 2x, (x- 1)2+ y2 = 1,直线 3 pcos Q+ 4 pin Q+ a = 0 的普通方程为：

7、3x+ 4y+ a = 0,|3 + 4 0+ a|又圆与直线相切，、一22 = 1,2 + 42解得：a = 2,或 a= 8.理解极坐标的概念，能进行极坐标与直角坐标的互化，根据条件建立相应曲 线的极坐标方程.再练一题3. 已知圆Ci：尸2cos 0,圆C2： p2psin 0+ 2 = 0,试判断这两个圆的位置关系.【解】 法一 圆Ci是圆心Ci(1,0),半径ri = 1的圆.化圆C2为极坐标系下圆的一般方程为p2p3cosn+ &3)212= 0,得：12= P2+ ( 3)2 2p.3cos(0-知圆心C2( .3, n，半径为r2= 1,C1C2的距离为2,则。C1与OC2外切.

8、法二将极坐标方程化为直角坐标方程.OC1： p = 2 pos 0,即 x2 + y2= 2x,即(x 1)2+ y2 = 1, 圆心 C1(1,0)，半径 r1 = 1.OC2： x2 + y2 2 .3y+ 2 = 0, 即卩 x2 + (y- . 3)2= 1.圆心 C2(0,3)，半径 r2 = 1, CQ2 = 2= 1 + 1 = r1 + r2,故OC1与OC2外切.真题链接赏析齬权门也(教材第32页习题4.2第2题)按下列条件写出圆的极坐标方程：(1) 以A(2,0)为圆心，2为半径的圆；(2) 以B 4,扌为圆心，4为半径的圆；(3) 以C(5, n为圆心，且过极点的圆；(4

9、) 以 D02, n为圆心，1为半径的圆.诊析在直角坐标系xOy中，直线Ci: x= 2,圆C2: (x 1)2+ (y2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求Ci，C2的极坐标方程；n(2) 若直线C3的极坐标方程为 時4(p R)，设C2与C3的交点为M，N，求 C2MN的面积.【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化及极坐标的应用，考查知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识.【解】(1)因为x= pcos 0, y= pin 0,所以Ci的极坐标方程为pcos 0= 2,2C2的极坐标方程为p 2 pcos 0 4 pin 0+ 4 =

10、0.n2(2)将 0= 4代入 P 2 pcos 0 4 psin 0+ 4 = 0，得p 3.2p+ 4= 0，解得 p1 = 2 2， p2= ,2.故 p p=，2,即 |MN|= 2.1由于C2的半径为1,所以CzMN的面积为.1. 极坐标方程为p= 2cos 0的圆的半径是 .【解析】= 2cos 0, $ = 2 pcos 0,即 x2+ y2= 2x.化简得(x 1)2+ y2= 1.半径为1.【答案】12. 直角坐标方程x + y 2 = 0的极坐标方程为 .【答案】pin( 0+ 4) = 23. 过点A(2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .【导学号：98990013】【解析】 如图所示，设M(p, 0)为直线上除A(2,0)外的任意一点，连接OM, 则有AAOM为直角三角形，并且/ AOM= 0, OA= 2, OM = p,所以有 OMcos 0 =0A,即pcos 0= 2,显然当p= 2, 0= 0时，也满足方程 pos A2,所以所求 直线的极坐标方程为pcos 0= 2.【答案】pos 0= 24. 曲线C的直角坐标方程为x2