第二章2.4.1抛物线的标准方程-人教B帮高中数学选修2-1学案

1、2.4拋物线2.4.1抛物线的标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一抛物线的定义1平面内与一个定点f 和一条定直线l (f? l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点f 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线2定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为m；一个定点f(抛物线的焦点)；一条定直线 (抛物线的准线 )；一个定值 (即点 m 到点 f 的距离与它到定直线于 1 1)l 的距离之比等知识点二抛物线的标准方程由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故

2、抛物线的标准方程有以下几种形式：y2 2px(p0)， y2 2px(p0) ， x2 2py(p0)， x2 2py(p0) 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y2 2px(p0)p2， 0x p2y2 2px(p0) p， 02x p2x2 2py(p0)p0，2py22x2 2py(p0)0， pp y 21. 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()2. 拋物线标准方程中的p 表示焦点到准线的距离()3. 拋物线的方程都是二次函数() 4抛物线的开口方向由一次项确定()题型一求抛物线的标准方程例 1分别求符合下列

3、条件的抛物线的标准方程(1) 经过点 ( 3， 1)；(2) 焦点为直线3x4y 120 与坐标轴的交点 考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1) 因为点 ( 3， 1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y2 2px(p0) 或 x2 2py(p0)若抛物线的标准方程为y2 2px(p0)，则由 ( 1)2 2p ( 3)，解得 p16；若抛物线的标准方程为x2 2py(p0)，.则由 ( 3)2 2p ( 1)，解得 p92x 或 x故所求抛物线的标准方程为y2 132 9y.(2) 对于直线方程3x 4y 12 0，令 x 0，得 y 3；令 y 0，得 x 4， 所以抛物线

4、的焦点为(0， 3)或(4,0)当焦点为 (0， 3)p时， 23，所以 p6，此时抛物线的标准方程为x2 12y；当焦点为 (4,0)p时， 24，所以 p 8，此时抛物线的标准方程为y2 16x.故所求抛物线的标准方程为x2 12y 或 y2 16x.反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2 mx(m0) 或 x2 ny(n 0)，这样可以减少讨论情况的个数跟踪训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：3(1) 准线方程为y2；(2) 焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为5.考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1) 易知抛物线的准线交

5、y 轴于正半轴，且p2，则p 4，故所求抛物线的标准方程为x2 8y.3233(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知 |m|5，m 5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y 和 x2 10y.题型二抛物线定义的应用命题角度1利用抛物线定义求轨迹(方程 )例 2已知动圆m 与直线 y 2 相切，且与定圆c： x2( y 3)2 1 外切，求动圆圆心m 的轨迹方程考点抛物线的定义题点解抛物线定义的直接应用设动圆圆心为m(x，y)，半径为 r ，由题意可得m 到 c(0， 3)的距离与到直线y 3 的距离相等由抛物线的定义可知

6、：动圆圆心的轨迹是以c(0， 3)为焦点， 以 y 3 为准线的一条抛物线， 其方程为x2 12y.反思感悟解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件跟踪训练2已知动圆m 经过点 a(3,0) ，且与直线l：x 3 相切， 求动圆圆心m 的轨迹方程考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用解设动点 m( x， y)， m 与直线 l： x 3 的切点为 n， 则|ma | |mn |，即动点 m

7、 到定点 a(3,0)和定直线l： x 3 的距离相等，点 m 的轨迹是抛物线，且以a(3,0) 为焦点，以直线l： x 3 为准线，p 3， p 6， 2故动圆圆心m 的轨迹方程是y2 12x.命题角度2利用抛物线定义求最值例 3如图， 已知抛物线y2 2x 的焦点是f ，点 p 是抛物线上的动点，又有点 a(3,2)，求|pa|pf|的最小值，并求此时p 点坐标考点求抛物线的最值问题题点根据抛物线定义转换求最值解将 x 3 代入抛物线方程y2 2x，得 y 6.62， a 在抛物线内部设抛物线上点p 到准线 l： x1d， 2的距离为由定义知 |pa| |pf| |pa| d.由图可知，当

8、pa l 时， |pa| d 最小，最小值为7.2，即|pa| |pf |的最小值为 72此时 p 点纵坐标为2，代入 y22x，得 x 2.点 p 坐标为 (2,2) 引申探究若将本例中的点a(3,2) 改为点 (0,2)，求点 p 到点 a 的距离与p 到该抛物线准线的距离之和的最小值2解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离 由图可知， p 点， a 点和抛物线的焦点f 1， 0 三点共线时距离之和最小，2所以最小距离d012 2 0 217.2反思感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准 线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的

9、应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等跟踪训练3已知 p 是抛物线y2 4x 上一动点，则点p 到直线 l： 2x y 3 0 和 y 轴的距离之和的最小值是()a.3b.5c 2d.5 1考点求抛物线的最值问题题点根据抛物线定义转换求最值答案d解析由题意知，抛物线的焦点为f (1,0) 设点 p 到直线 l 的距离为d，由抛物线的定义可知，点p 到 y 轴的距离为 |pf| 1，所以点 p 到直线 l 的距离与到y 轴的距离之和为d|pf | 1.易知 d |pf|的最小值为点f 到直线 l 的距离，故 d |pf|的最小值为|2 3|5，22 1

10、 2所以 d |pf| 1 的最小值为5 1.抛物线的实际应用问题典例河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m 时，小船开始不能通航？考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解如图， 以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴， 建立平面直角坐标系设抛物线方程为x2 2py( p0) ，由题意可知，点b(4， 5)在抛物线上，故 p8x2 16y. 5，得5当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航， 设此时船面宽为aa ，则 a(2， ya)，由 2

11、2 16y ，得 y 5.5aa4又知船面露出水面上的部分高为0.75 m， 所以 h |ya| 0.752(m) 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航素养评析 首先确定与实际问题相匹配的数学模型此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：(1) 建系：建立适当的坐标系(2) 假设：设出合适的抛物线标准方程(3) 计算：通过计算求出抛物线的标准方程(4) 求解：求出需要求出的量(5) 还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题4441. 抛物线y2 x 的准线方程为 ()4a x1b. x 1c. y 1d y 1答案b解析抛物线 y2 x

12、的开口向右，且p1x 1. 2，所以准线方程为42. 已知抛物线y 2px2 过点 (1,4)，则抛物线的焦点坐标为()a (1,0)b.1 ， 0c. 0， 1d (0,1)1616考点求抛物线的焦点坐标及准线方程题点求抛物线的焦点坐标答案c解析由抛物线y 2px2 过点 (1,4)，可得 p 2，抛物线的标准方程为x2 1y41则焦点坐标为0， 16 ，故选 c.3. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点p(m， 2)到焦点的距离为4， 则 m 的值为 ()a 4b 2c 4 或 4d 12 或 2答案c解析由题意可设抛物线的标准方程为x2 2py(p0)，由定义知点p 到

13、准线的距离为4， p故 2 4，2p 4， x2 8y.将点 p 的坐标代入x2 8y， 得 m 4.4. 若抛物线y2 2px(p0)上的动点q 到焦点的距离的最小值为1，则 p .答案2解析因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p21， p 2.5. 若抛物线y2 2px(p0)的准线经过双曲线x2 y2 1 的一个焦点，则p .答案22，解析抛物线 y2 2px(p0) 的准线方程是x p2因为抛物线y22px(p0) 的准线经过双曲线x2 y2 1 的一个焦点f1(2，0)，p所以2，解得 p22. 24，1 焦点在

14、x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2 mx(m 0)，此时焦点为f m0 ，准线方程为x m；焦点在4y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2 my(m0)，此时焦点为 f 0， 4 ，准线方程为my 4 .m2设 m 是抛物线上一点，焦点为f，则线段 mf 叫做抛物线的焦半径若m(x0，y0)在抛物线 y2 2px(p0) 上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|mf | x0 p.2一、选择题1关于抛物线x 4y2，下列描述正确的是()a 开口向上，焦点坐标为(0,1)b. 开口向上，焦点坐标为c. 开口向右，焦点坐标为0， 16(1

15、,0)1d开口向右，焦点坐标为16， 01答案d解析由 x4y2 得 y2 1x， 开口向右，焦点坐标为4161 ， 0 .2已知抛物线y2 2px(p0)的准线经过点 ( 1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()a ( 1,0)b (1,0)c (0， 1)d (0,1)答案b解析抛物线y2 2px(p0) 的准线方程为x p，由题设知 p 1，即 p2，故焦点坐22标 为 (1，0). 3已知抛物线y2 2px(p0)的准线与圆 (x 3)2 y2 16 相切，则p 的值为 ()1a. 2b 1答案cc 2d 4解析抛物线 y2 2px 的准线方程为x p2，它与圆相切，所以必有3 p 4，

16、p 2.24. 若动点p 与定点 f (1,1)和直线 l： 3x y 4 0 的距离相等，则动点p 的轨迹是 ()a 椭圆b双曲线c抛物线d 直线答案d解析方法一设动点 p 的坐标为 (x， y).则x 1 2 y 1 2|3x y 4|10整理，得x2 9y24x 12y 6xy 4 0， 即( x3y 2)2 0， x3y 2 0.所以动点 p 的轨迹为直线方法二显然定点 f(1,1) 在直线 l：3x y 4 0 上，则与定点f 和直线 l 距离相等的动点p的轨迹是过f 点且与直线l 垂直的一条直线5. 若点 p 在抛物线 y2 x 上，点 q 在圆(x 3)2 y2 1 上，则 |p

17、q|的最小值是 ()a.3 1b.10 1c 2d.11122 答案d解析设圆 (x3) 2 y2 1 的圆心为o (3,0) ， 要求 |pq|的最小值，只需求|po |的最小值00设点 p 坐标为 (y2， y )，则|po |y2 3 2 y2y2 2 5y2 900002 5 211，y024|po |的最小值为11，2从而 |pq|的最小值为111.26. 抛物线y 4x2 上的一点m 到焦点的距离为1，则点 m 的纵坐标是 ()17157a. 16b.16c.8d 0答案b解析抛物线方程化为x2 1y，准线为y 1 ，由于点m 到焦点的距离为1，所以 m 到416准线的距离也为1，

18、所以 m 点的纵坐标等于1 11615.167. 已知直线 l 与抛物线y2 8x 交于 a，b 两点，且 l 经过抛物线的焦点f，a 点的坐标为 (8,8)， 则线段 ab 的中点到准线的距离是()252525a. 4b. 2c. 8d 25答案a(x 2)解析抛物线的焦点f 的坐标为 (2,0) ，直线 l 的方程为y 434yx 2 ，由3得 b 点的坐标为1， 2 .2y28x，.|ab| |af| |bf| 2 8 212522.ab 的中点到准线的距离为2548. 已知点p 是抛物线x2 4y 上的动点，点p 在 x 轴上的射影是点q，点 a 的坐标是 (8,7)， 则|pa| |

19、pq |的最小值为 ()a 7b 8c 9d 10考点抛物线的定义题点抛物线定义与其它知识结合的应用答案c解析抛物线的焦点为f (0,1)，准线方程为y 1，根据抛物线的定义知，|pf| |pm | |pq|1.|pa| |pq | |pa| |pm| 1|pa| |pf| 1 |af| 182 7 1 2 1 10 1 9.当且仅当 a， p，f 三点共线时，等号成立，则|pa| |pq|的最小值为9.二、填空题9. 已知抛物线y2 2x 上一点 p( m,2)，则 m ，点 p 到抛物线的焦点f 的距离为 答案252解析将(m,2)代入抛物线中得4 2m， 得 m 2，由抛物线的定义可知点

20、p 到抛物线的焦点f 的距离为2 1 5.2210. 设抛物线y2 2px(p0) 的焦点为 f，点 a(0,2) 若线段 fa 的中点 b 在抛物线上，则点b到该抛物线准线的距离为 答案3244解析如图所示， 由已知， 得点 b 的纵坐标为1，横坐标为p，即4b p，1 .将其代入 y2 2px，得 1 2pp，解得p2，故点 b 到准线的距离为pp3p32 .4244411. 设抛物线y28x 的焦点为f，准线为 l ，p 为抛物线上一点，pal ，a 为垂足，如果直线 af 的斜率为3，那么 |pf| .答案8解析如图所示， 直线 af 的方程为y3(x 2)，与准线方程x 2 联立得 a( 2,43)设 p(x,43)，代入抛物线方程y2 8x，得 8x48， x6，|pf|x 2 8.三、解答题12. 已知拋物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上， 拋物线上一点m(m，3) 到焦点的距离为5， 求 m 的值，拋物线方程和准线方程解设所求 拋物线方程为x2 2py(p0) ，p则焦点为 f 0， 2 .m (m， 3)在拋物线上，且 |mf | 5， m2 6p，m2 3 p 22解得 5，p 4，m 26，m 26，拋物线