等差数列前n项和的最值问题的两个解法(20201005090556)_第1页
等差数列前n项和的最值问题的两个解法(20201005090556)_第2页
等差数列前n项和的最值问题的两个解法(20201005090556)_第3页
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文档简介

1、等差数列前 n 项和的最值问题的两个解法求等差数列前n 项和sn 最值的两种方法：21. 函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式snanbn ，通过配方或借助图象 求二次函数最值的方法求解，一定注意 n 是正整数。2. 邻项变号法： a10,d0 时，满足an an 10的项数 m 使得0sn 取得最大值为sm ； 当a10, d0 时，满足an an 10的项数m 使得0sn 取得最小值为sm .例 1、等差数列 an 前 n项和为sn ，已知 a113, s3s11 ，当sn 最大时， n 的值是 ()(a)5(b)6(c)7(d)8解：选 c.方法一：由s3s11 得 a4a5a11

2、0 ，根据等差数列性质可得a7a80 ，根据首项等于13 可推知这个数列递减，从而得到a70, a80 ，故n=7时，sn 最大.方法二：由s3s11 可得3a13d11a155d，把a113 代入得 d2 ，故 sn13nn(n1)n214n ，根据二次函数性质，当n=7 时，sn 最大.方法三：根据a113, s3s11，知这个数列的公差不等于零.由于s3s11 说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于 n 的二次函数， 以及二次函数图象的对称性，当 s3s11时，只有 n31127 时，sn 取得最大值 .练习：1. 已知在等差数列 an

3、中， a131 ， sn 是它的前 n 项的和，s10s22 .（1） ）求最大值 .sn ；（ 2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个解析：（ 1）s10a1a2a10 ， s22a1a2a 22 ，又s10s22 ，d2 ，a11 sna12 na1a22 n(n201) d， 则32na11 n2a22。2 a131d0 ， 又 a131 ，（2） ）方法一：由（ 1）中可知sn32nn2(n16)2256，当n 16 时，sn 有最大值，sn 的最大值是 256.方法二：由 ansnsn1 ，可得 an2n33.由 an2n330 a，得 n33 ；2由an 12n310 ,得n31

4、 n；2又 n 为正整数，所以当n=16 时， sn 有最大值 256.2、设等差数列 a n 的前n 项和为 sn, 已知a3=12,s120,s 130,s 130, 13a178d0,- 247 d-3.a12d12.(2)由s13 a1a1313a0, 知 a70, 知 a60,又 d 0, n 6 时， an0,n 7 时， an0, s6 最大，即 n=6.3. 已知数列 a n 是等差数列，且a2=-1 ， a5=5.(1) 求a n 的通项 an.(2)求a n 前 n 项和sn 的最小值 .解：(1)设a 的公差为 d，由已知条件， a1d1, 解得a=-3 ，nd=2，所以an=a1+(n-

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