等比数列习题课课件(20201103180253)

1、第二章数列2.5等比数列的前项和第二课时等比数列习题课课前预习目标课前预习目标课前热身1.对等比数列定义的理解(1) 定义还可叙述为:在数列0中,若 穿则j是等比数列.由定义知，m=m=m=“=d=0,因此在 ai a2 a3 an-等比数列中，每一项均不为0,且公比0丈0,这也是判断为 为等比数列的依据.(2) 如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比是一个 与无关的常数，但却是不同的常数，这时该数列也不是等比数 列.(3) 常数列一定是等差数列，但不一定是等比数列.如各项均为。的数列，当常数列各项均不为。时是等比数列.2.等比数列的通项公式(1)证明方法有： 归纳法：。3 =。20 =0

2、矿一. 累乘法：0,=必.公.住an 1 an2。-3”一1个 =q q 7 . q . i。1矿一 迭代法：2 a=q=cy =a2qn2=avqn(2)由定义及通项公式可推出一些结论，应用它们可使解题简便.设如s为等比数列中任两项，有:(3)用函数的观点研究通项，缶=叩1=头矿=旧=为0q常数)，由此可知，等比数列的图象是函数y=。矿的图象上一些 孤立的点.3.等比中项如果三个数加g, y组成等比数列，则g叫做x和y的等比中 项，如果g是尤和y的等比中项，那么:=*，即g2=xy,故弓= 士面.因此，x0,且x和y的等比中项是两个.4.等比数列的前项和s=*1一矿）i_q(*)，wi (g

3、=l).当等比数列的公比是字母参数时，一定要分类讨论求和.沪官=岂-岂/=c_cq（其中。=壬%乂0）.因此，非常数列的等比数列的前“项和可表示为sn=cl- 矿）的形式，其中c尹。，quo.（3）由通项公式与前项和公式知，有五个量。1，a, sn, n, g可知三求二.课堂互动探究典例剖析等比数列的运算【例1】已知等比数列。的各项都是正数， = 80,= 6560,且在前项中，最大的项为54,求首项。1和公比0【解】由s = 80,，2=6560,矢 1敏乂 1.竺成=80,j 10.兇圣=6560,i i_q解得# = 81.ql, .&为递增数列.二前项中最大项应为如1/1 =54,又q

4、 = 81,代入式得供=q,.(q1) 矿 t=54.cl 1,，q 寸 一54,q_l 54_q g 19 . q3, ciq 12. .2, q=l3.等比数列前项和的性质应用【例2】已知等比数列%的前10项和510=10,前20项的 和$20=30,求s30.【分析】 可以联立方程组求。|，q，再用s公式求得，也可利用和的性质.= 10,= 30,4(1)【解】解法1：设公比为0,贝u(1，)、10志得1+寸=3,.w=2, s30=二)= 1=(1+。+/。)= 10 x (1 + 2+4) 丄q 丄q= 70.解法2： so, s20so, s30s20仍成等比数列，又so= 10,

5、 52o=3o.(30-10)2 *s3030= 仍 ,即，30 = 70.规律技巧等比数列前项和的常用结论：等比数列中&, s顶一 s,n，s.in-s2m仍成等比数列.通过两 种方法比较，可看出解法2利用等比数列的性质，过程简捷.函数与数列的综合问题ri【例3】设心广而巨)，工=尔)有唯一解，必。)= ioe， f(xn j) xn, n 1,2 , 问数列是否是等差数列？(2)求x2oq3的值-【解】q(jc+2)即xl一吊见】=解得x = 0, x2=2.冷)=尤只有一解,*2=。.2xx+2.丄=丄+!.又xi 1002 .j是首项为1002,公差为!的等差数列.2=+2003-d

6、=2003+2 21_*2。3=2003+2003=2003 -规律技巧咼考是在知识点的父汇处命题,而数列是特殊的函数，函数与数列往往是高考的热点.应用心思考，归纳解 法.易错探究已知等差数列。的首项句=1,公差d0,且第二项、第 五项、第十四项分别为等比数列。的第二项、第三项、第四 项.(1) 求数列电与也的通项公式;(2) 设数列胡对任意正整数都有芹+蒙+芒=成立，求cl +c2hfc2009的值【错解】(1)设cii+d=bq,。1+4日=加/,i + 13d=/?iq3 wm由题意得(1 +d)(l + 13d) = (l +4d)整理得冴一2d=0, 解得d=2, d=0(舍去)，

7、un2/? 1=。2=:3, z?3=5 = 9,。42=244=27,公比q=3, bi = ,故b = biq =y l.(2)vn=2/i-l, bn = 3n泓汁=2/1+1.崂+g+芒=，得计+蒙+芒己=%两式相减，得=缶+g = 2.:.cn=2bn=2-3nl.c1+c2+-+c2009 = 2-30+2-31+2-32+- + 2-32008=2(30+ 3】+ 32+ + 328)1 zq2oo9_ ix=2.1匕_ 1)= 3冲9_1.【错因分析】由递推关系式计+亲+務=。+1得到芹+蒙+ +営=加 两式相减得到務=a+i_o = 2时，忽视了 日2这一条件，事实上，数列勺

8、的通项公式应当为分段函数 型，这是易错点.+ 13日=用3【正解】(1)设gi+d=biq, qi+4d=sc/2, 由题意，得(l+d)(l + 13j) = (l+4d)2,整理，得d22d=0.解得d=2, d=0(舍去). . un = 2 一 1.于*3， /?3 = 9,二公比 q=*=3,故 3=久 qt=3t.(2)q=2一 1, b=3i,. 1 = 2 + 1 .崂+辭+芒狀+*=6/7j(/i n2).两式相减,.=2饥=231(32).又当=1时，甘=。2=3,于是 c = 3b = 3.由上述公式，得勺=2313 （=1）,23t 心2）.c2009=3 + 2-31

9、 + 2-32 + - + 2-32008 =3+2（31 + 32 + - + 32008）3.（3河8一）=3 + 23-132009随堂训练1.已知数列为等比数列，s是它的前项和.若时?3 =2们，且。4与2。7的等差中项为j，则$5 = ()a. 35 b. 33 c. 31 d. 29解析依题意，得clq*cl | v5%+27 =2 x 2, 1 . 16. 口1 16, q ,.$5 1-2丿i =31.1_2答案c2-等比数列。中，。1+=66, %0,一1 = 128,前项的和 =126,求和公比么角学. q dn- cl2clri 1 28 9或mi一矿）i_q。1=64,。 =2.= 126,或s77 = 6.3.在等比数列“中,已知s=48, ss = 60,求&解解法1： .件尹2s，由已知，得，赢1一矿）成 pt=48,m”=6oi_q!得1+矿=;,即矿=!=64 1 tj =63. q丿代入得 宀=64. i_q_q解法2： .“为等比数列，.s，s2ii-sh, s.-s2i也成等比数列.(s2n s)2=sn(s3nsa).(s”一s)2 ,(60-48)2 ,/ =+s2n= +60=63.4-设等差数列%的前项和为s，公