等比数列的前n项和第二课时课件-北师大版高中数学必修5

1、3- 2等比数列的前n项和（第二课时）i书i读i百i遍i要点sn的性质(1) 若an为等比数列，且 sn = aq+b(q乂0, 1),贝lj a+b = 0(ab#0).(2) 设数列是公比为q的等比数列，若项数为2n(nen*),s偶 则一=q.s奇(3) 如果等比数列r的公比为q,其依次每k项之和组成一 个数列sk，s2k-sk, s3k-s2k,若其中的每一项均不为零，那 么它们依次组成一个公比为qk的等比数列.灵活运用上面的性质，有利于提高运算速度与运算的准确性.i入i木i三i分i1.若数列l中前n项和sn = 3n+1,则数列踊是（）a.等差数列b.等比数列c.既是等差数列也是等比

2、数列d.既不是等差数列也不是等比数列答：d van=2)，.(an既不是等差数列，也不是等比数列.n_1(x0)的前n项和为()2.数列 1, x, x2,，1-xnb.a.1 x1 n 11xc.d.以上均不正确答：d在不能确定公比q是否为1时，要分类讨论.当xkl1xn 时，sn= _ ；当 x=l 时，sn=n.1 x授人以渔题型一 等比数列前n项和的性质在等比数列外中，已知sn=48, s2n = 60,求s3n.【解析】 方法一：vs2n2sn, aql.由已知得山（1q。）iq% （1十）iq由，得1 +qn=|,即qn=；.=48,= 60,将代入，得己=64.iq. u (1q

3、3n)1$3n= _q=64(1 下)=63.,方法二：.帛为等比数列,sn，s2nsn, s3n s2n 也成等比数列， .,.(s2n-sn)2=sq(s3n-s2n).(s2n-sn) 2 ,(60-48) 2 ,.s3n=+s2n= 於+60 = 63.探究1通过两种解法比较可看出，利用等比数列的性质解 题，思路清晰，过程较为简捷.思考题1等比数列l中，公比q = 2, s4=l,则s8 的值为()a. 15b. 17c. 19d. 21(2)等比数列修詩中，sn是它的前n项和,且s4=l, s8=4, 贝ai7 + a8 + ai9 + a2o=. 【答案】(1)b (2)81题型二

4、含参数的求和问题例 2 设 ab20,化简：an+an1b+an-2b2+ +bn.【思路分析】先分析an, 列.其次弄清有多少项.an-*b, an-2b2,，是什么数【解析】 尸+此 +此2b2+.+b”（有n+1项）（n+1） a11 （当=1 时）a（讨论公比q=?是否等于1）d” n+ 11 n+1a一二 （当ahb时）， abn+1） a11 （当a=b时）.思考题2【答案】求和：l+a+a2hfan(ao).=1时为n+1；且ano时为1a题型三方程（组）的思想解数列问题例3记等差数列%的前n项和为sn，设s3=12,且2勺, a2心+1成等比数列，求sn.【解析】 设数列（an

5、的公差为d,依题设有2a* (a f，即 ai 十 a?十。3= 12,aj2 + 2aid d2 + 2ai=0 ai+d=4.解得或ai = 8,d=4.因此 sn=|n(3n 1)或 sn=2n(5 n).探究3在等差数列修詩中,通常把首项街和公差d作为基本量，在等比数列扇中，通常把首项加和公比q作为基本量， 列关于基本量的方程（组）是解决等差数列和等比数列的常用方 法.思考题3设sn是等差数列an的前n项和，已知*3与.4 的等比中项为冬5, ；s3与:s4的等差中项为1,求等差数列sj的通项公式an.【解析】 设等差数列r的首项为a,公差为d,则an=a+ (n l)d.前n项和sn

6、=na+n (nl)2d.|s3 |s4=(5s5)由题意得+*4=2,其中s50,于是得d125-3x 24+4a/tvd3x 24 +4a1-4+3a+ a33ad + 5d = 0,2a+?d = 2,整理得解得看或片学a la=4.由此得 &=1 或 an=4_?(n_l)=号_?n.经验证an= 1时,s5 = 5或 题意.32 12y-yn时，s5=-4均适合故所求数列的通项公式为an十 32 12 以 an=yyn.课后巩1. 等比数列徧中,已知心=()a. 20c. 80ai+a2=20, a3 +04=40,贝u a5 +b. 40d. 120答案c2. 公差不为零的等差数列

7、編的第二、第三、第六项构成等 比数列，则公比为（）a 1b. 2c. 3d. 4答案c3. 设等比数列福的前n 项和为sn，若爵=3,则* =(a. 2c.|d. 3答案解析(1+qfiq方法一：设数列r的公比为q,则g = u)=5=3,所以42若捋7y故选b.方法二：(an为等比数列，.s3，s6-s3, s9-s6成等比数列, 即(s6-s3)2=s3 (s9-s6).又亨=3, y=s3代入上式，s63-2649s得4. 若編是等比数列,且前n项和为sn=3n-+t, m t答案-isn=a(qn1), 乂 sn = 3n_1+t,解析显然q/1,此时应有 所以t=-|.5.已知&j是

8、公差不为零的等差数列，勺=1,且勺，街, 成等比数列.(1) 求0的通项公式an；(2) 求数列2扁的前d项和.解析（1）由题设知公差d公0,由疆=1,箱，与，心成等比数列得t2%荘歸，解得d=l或d = 0（舍去）.故徧的通项公式an=h-（n1）x l=n.由知2an=2n,由等比数列前n项和公式得sn = 2 + 22 + 23+- + 2n =2 (l-2n)1-2= 2i_2.等比数列前n项和的最值问题例1数列何詩是等比数列，项数是偶数，各项均为正，它 所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍，问数列傀謂的前多少项和最大. n 疽1 (1q) 4ai

9、ql(q2)刃 且【解析】由题意知ql.1q 一1q2即苦=1，q=乂 ,aiq - 8iq3 = 9(aiq + aiq3),14n-4hi= 108, /.an 108-n-i j/. lgan=21g2 (n4)lg3.l 当 n，2 时,lganlgan-i=21g2 - (n - 4)lg3 - 21g2 - (n - 5 )lg3 = -lg30.设数列igan的前n项和最大，则有pgano,21g2 (n-4) lg3n0,|lgan+i0.|21g2 (n3) lg33 + log34.又 vvlog-g nn, .n=5.数列igan的前5项和最大.例2已知数列%的首项少=21,前n项和sn=an2+bn, 等比数