2012年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题(理科)解析版

1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一 . 填空题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共计 50 分。在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1. 在等差数列 an 中， a25 则 an 的前 5 项和 S5 =A.7B.15C.20D.252. 不等式 x10 的解集为2 x1A.1 ,1B.1,1C.11,D., 11,2222【答案】 A【考点定位】本题主要考察了分式不等式的解法，解题的关键是灵活运用不等式的性质，属于基础试题3. 对任意的实数 k，直线 y=kx+1 与圆 的位置关系一定是A. 相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直

2、线过圆心【答案】 C31的展开式中常数项为4.x2 xA. 35B.35C.35D.1051684（ 5）设 tan, tan 是议程 x23x 20 的两个根，则 tan() 的值为（A）-3（ B）-1（ C）1（ D）3（ 6）设 x, yR，向量 a( x,1),b(1,y), c(2,4) 且 ac,bc ，则 ab（A）5（ B）10（C） 25（D）10（ 7）已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 且以 2 为周期， 则“ f (x) 为 0，1上的增函数” 是“ f (x) 为 3， 4上的减函数”的（ A）既不充分也不必要的条件（ B）充分而不必要的条件（ C）必要而

3、不充分的条件（ D）充要条件【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考察函数的奇偶性，进而来考察函数的周期性，根据图像分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键。,（ 8）设函数f ( x) 在 R上可导，其导函数为f ( x) ，且函数 y(1x) f ( x)（ A）函数 f (x) 有极大值（ B）函数 f ( x) 有极大值（ C）函数 f (x) 有极大值（ D）函数 f ( x) 有极大值f (2) 和极小值f (1)f (2) 和极小值 f (1)f (2) 和极小值 f (2)f (2) 和极小值 f(2)（ 9）设四面体的六条棱的长分别为1， 1， 1， 1，2 和 a

4、，且长为 a的棱与长为2 的棱异面，则 a 的取值范围是（ A） (0,2)（ B） (0, 3)（ C） (1, 2)（ D） (1, 3)（ 10）设平面点集 A( x, y) ( yx)( y1)0 , B (x, y) (x 1)2( y 1)21 ，则AB 所x表示的平面图形的面积为（A） 3（B） 3（C） 4（ D）4572二 填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分，把答案分别填写在答题卡相应位置上（ 11）若）（ 2+i） =a+bi，其中a,b R,i为虚数单位，则a b； 11、4（1+i（ 12） lim12n2。 12、05n n5【答案】25【解析】【考

5、点定位】本题考查极限的求法和应用，因都没有极限，可先分母有理化再求极限（ 13）设ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且 cos A3 ,cos B5 , b 3, 则 c5131413、5（ 14）过抛物线 y22x 的焦点 F 作直线交抛物线于A, B 两点，若 AB25, AFBF ,则512AF =。 14、6（ 15）某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课的概率为（用数字作答） .315、【答案】5【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课，排列有种排法，语

6、文、数学、英语三门文化课相邻有 A44 A33 种排法，语文、数学、英语三门文化课两门相邻有 C32 A22C12C21 A33 种排法。故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为【考点定位】 本题在计数时根据具体情况运用了插空法， 做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义。三 解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(16) （本小题满分 13 分，（）小问 6 分，（）小问 7 分 .）设 f ( x) a ln x13 x1, 其中 aR ，曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线垂直于y 轴 .

7、2x2（）求 a 的值；（） 求函数 f (x) 的极值 .16：解：（1）因 fxa ln x13 x 1 ，故 fxa 132x2x 2x22由于曲线 yf x在点 1, f1 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即 f 10 ，13，解得 a1从而 a02213 x 1 x（ 2）由（ 1）知 fxln x0，3x22x21132 x 1f x2x222x2xfx(3 x 1)(x1)2x211令 fx0，解得 x11, x2（因 x23不在定义域内，舍去） ，3当 x0,1 时， f x0 ，故 fx 在 0,1上为减函数；当 x1,时， fx 0，故f x 在 1,上为增函数；故

8、 fx 在x1 处取得极小值f 13 。（ 17） （本小题满分13 分，（）小问5 分，（）小问8 分.）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束 .设甲每次投篮投中的概率为1 ，乙每次投篮投中的概率为1 ，且各次投篮互不影响 .32（）求甲获胜的概率；（）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望17、解：设 Ak , Bk分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P Ak1， PBk1，k1,2,332（ 1）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知， P CP A1P A1 B1A2P A1B

9、1 A2B2 A3P A1PA1PB1PA2PA1PB1PA2PB2PA3121122211332332311113392727（ 2）的所有可能为： 1,2,3由独立性知： P1P A1P A1B112123323211222P2 P A1 B1A2P A1B1 A2 B212323329222P3 P A1B1 A2 B211329综上知，有分布列123P221399从而， E12223 113（次）399918. （本小题满分 13 分（）小问 8 分（）小问 5 分）设(x)4cos( x) sinxcos(2 xx) ，其中0.6（）求函数y( x) 的值域（）若( x) 在区间3x

10、 ,上为增函数，求的最大值。2218、解：（1） fx3cosx1sinx sinxcos 2x4222 3sinx cosx2sin 2xcos2 xsin2x3sin 2x1因 1 sin 2x1，所以函数 yfx的值域为13,13（ 2 ） 因 ys i xn 在 每 个 闭 区 间2,2kkZ上为增函数，故k22f x3sin 2x10在每个闭区间k4, kkZ上为增函数。4依题意知3,2k4, k4对某个 kZ 成立，此时必有k 0，于是2324，解得1，故1。6的最大值为62 419. （本小题满分 12 分（）小问 4 分（）小问 8 分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，

11、 AB=4，AC=BC=3， D为 AB的中点（）求点 C到平面 的距离 ;（）若求二面角的平面角的余弦值。【答案】（）（） 1319、解：（1）由 ACBC , D 为 AB 的中点，得 CDAB ，又 CDAA1 ，故 CD面 A1 ABB1 ,所以点 C 到平面 A1ABB1的距离为 CDBC 2BD 25(2)如图，取 D1 为 A1B1 的中点，连结 DD1 ,则 DD1AA1CC1 ,又由（ 1 ）知CD面A1ABB1，故CDADCDDD，11所以A1DD1 为所求的二面角A1 CDC1 的平面角。AC因A1D为AC在面A1 ABB1上的射影，又已知AB1，11由三垂线定理的逆定理

12、得AB1A D， 从 而都 与互余，因此A1AB, A DAB1AB111A1 AB1A1DA ，所以 RtA1 AD Rt B1 A1 A ，因此，AA1A1B1 ,即 AA12AD A1B1 8,ADAA1得AA 22 。1从而 A1DAA12AD 223 ,所以，在 Rt A1DD1 中， cos A DD1DD1AA161A1DA1 D320. （本小题满分 12 分（）小问 5 分（）小问 7 分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为 A，左右焦点分别为F1 , F2 ，线段 的中点分别为 B1, B2 ，且 AB1B2是面积为4 的直角三角形。（）求该椭圆的离心率和

13、标准方程；（）过做直线 l 交椭圆于 P， Q两点，使 PB2QB2 ，求直线 l 的方程20、解：设所求椭圆的标准方程为x2y21 ab0，右焦点为 F2 c,0。a2b2因 AB1 B2是直角三角形，又AB1AB2 ,故B1 AB2 为直角，因此 OAOB2 ,得 bc。2结 合c2a2b得 4b2a2b2， 故a25b2 ,c2，4所以b离心率 ec25 。a5在 RtAB1 B2 中， OAB1B2 ，故S ABB1 B1 B2 OA OB2 OAc b b21222由题设条件 S AB B4 ，得 b24 ，从而 a25b220 。12因此所求椭圆的标准方程为：x2y21204（2）

14、由（ 1）知 B1(2,0), B (2,0) ，由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线 l 的方程为：xmy2 ，代入椭圆方程得m25 y24my160 ，设 Px1, y2 , Q x2 , y2 ，则 y1 , y2 是上面方程的两根，因此y1y24m,y1y216m25m25又 B Px2, y, B Qx22, y2，所以2112B2P B2Q x12 x22 y1 y2my14my24y1 y2m21 y1 y24m y1y21616 m2116m216m25m251 6m26 4m25由 PB2QB1 ,得 B2 P B2Q0 ,即 16m2640 ，解得 m2 ，所以满足条件

15、的直线有两条，其方程分别为：x 2 y2 0 和 x 2 y 2 0（ 21）（本小题满分12分，（ I）小问5 分，（ II）小问7 分。）设数列 an 的前n项和 Sn 满足 Sn 1a2 Sna1 ，其中 a2 0 。（ I）求证： an是首项为1 的等比数列；（ II）若 a21 ，求证： Snn (a1a2 ) ，并给出等号成立的充要条件。221、（ 1）证明：由 S2a2S1a1 ，得 a1a2a1 a2a1 ，即 a2a2a1 。因 a20 ，故 a11，得a2a2 ，a1又由题设条件知Sn 2a2 Sn 1a1 ， Sn1a2 Sna1两式相减得 Sn2Sn1a2Sn 1Sn，即 an2a2an 1 ，由 a20 ，知 an10 ，因此an2a2an1综上， an2a2 对所有 nN * 成立，从而an是首项为1，公比为 a2 的等比数列。an1（ ）当n 1或 2 时，显然Snnan ) ，等号成立。2(a12设 n3 ， a21且 a20 ，由（ 1）知， a11， ana2n 1 ，所以要证的不等式化为：1 a2a2 2a2 n 1n 1 a2n 1n 32n1即证： 1a2a22a2n1a2nn22当 a21 时，上面不等式的等号成立。当 1a2 1 时， a r1与 a nr1