2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题(文科)解析版

1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试( 山东卷 )文科数学第卷 (共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .(1)若复数 z 满足 z(2i ) 117i(i 为虚数单位 )，则 z 为(A)3+5i(B)3 5i(C) 3+5i(D)3 5i117i(117i )(2i)15 25i【解析】 zi(2i )(2i )3 5i .故选 A.25【答案】 A(2)已知全集 U0,1,2,3,4 ，集合 A 1,2,3 ， B2,4 ，则（ CU A） B 为(A)1,2,4(B)2,3,4(C)0,2,

2、4(D)0,2,3,4【解析】C A 0,4 ,所以U（CU A） B 0,2，4 ,选 C.【答案】 C(3)函数 f (x)14 x2 的定义域为ln( x1)(A) 2,0)(0,2(B)( 1,0) (0,2(C) 2,2(D) ( 1,2x10x1【解析】要使函数有意义则有ln( x1)0 ，即 x0，即 1 x0 或 0x 2 ，选4x 202x 2B.【答案】 B(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若 B 样本数据恰好是A 样本数据都加2 后所得数据，则A， B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数(B)平均

3、数(C)中位数(D)标准差【解析】设公式可得【答案】 DA 样本的数据为变量为X ， B 样本的数据为变量为Y ，则满足DYD ( X2)DX ，所以方差相同，标准差也相同，选YD.X2 ，根据方差(5)设命题 p：函数 y sin 2 x 的最小正周期为2；命题 q：函数 ycosx 的图象关于直线 x对称 .则下列判断正确的是2(A)p 为真(B)q 为假(C) pq 为假(D) pq 为真【解析】函数y sin 2x 的周期为 2，所以命题p 为假；函数 ycos x 的对称轴为x k , kZ ,q2pq 为假，选C.为假，所以所以命题【答案】 Cx2y2,(6)设变量 x, y 满足

4、约束条件 2 xy4,则目标函数 z 3xy 的取值范围是4 xy1,(A) 3(B)3 1,63,6, 1(C)(D) 6, 222【解析】做出不等式所表示的区域如图，由z3xy 得y3xz ，平移直线 y3x ，由图象可知当直线经过点E( 2,0) 时，直线 y3xz 的截距最小，此时 z 最大为 z 3xy6 ，当直线经过 C 点时，直线截距最大， 此时 z 最小，由4xy12xy，4x1333 ,6 ，选 A.解得2 ，此时 z3xy3，所以 z3x y 的取值范围是 y3222【答案】 A(7)执行右面的程序框图，如果输入a 4，那么输出的n 的值为(A)2(B)3(C)4(D)5【

5、解析】当 a4时，第一次 P401,Q3, n1，第二次P 414, Q7, n2 ，第三次 P4216,Q15, n 3 ，此时 PQ 不满足，输出 n3，选 B.【答案】 B(8)函数 y2sinx(0x 9)的最大值与最小值之和为63(A) 23(B)0(C) 1(D)13【解析】因为 0x9，所以 0x9x9，即，3666633x7x时，最小值为2 sin()3 ，当33，所以当366633x32时，最大值为 2sin2 ，所以最大值与最小值之和为23，选 A.62【答案】 A(9)圆 ( x2) 2y24 与圆 ( x2) 2( y1)29 的位置关系为(A)内切(B)相交(C)外切

6、(D)相离【解析】两圆的圆心分别为( 2,0) ， (2,1)，半径分别为r 2 ， R 3 两圆的圆心距离为( 22) 2(01) 217，则 Rr17 Rr ，所以两圆相交，选 B.【答案】 B(10)函数 ycos6 x的图象大致为2x2 x【解析】函数为奇函数， 所以图象关于原点对称， 排除令y0得 cos6x0 ，所以6xk ，A,k2x，函数零点有无穷多个，排除C,且 y 轴右侧第一个零点为 (,0) ，又函数61212y 2 x2 x 为增函数，当 0 x时， y 2x2 x0 ， cos6x0 ，所以函数cos6x120 ，排除 B，选 D.y2 x2 x【答案】 D(11)已

7、知双曲线 C1 ：x2y21(a0,b0) 的离心率为2.若抛物线 C2 : x22 py( p 0) 的焦点到双22曲线 C1ab2，则抛物线 C2 的方程为的渐近线的距离为(A) x28 3y(B) x2163y(C) x28 y(D) x216y33【解析】抛物线的焦点(0, p) ，双曲线的渐近线为yb x ，不妨取 yb x ，即 bx ay0 ，2aaap222cp焦点到渐近线的距离为2，即 ap4a4c ，所以a2b 2b双曲线的离心a4率为 c2 ，所以 cp2 ，所以 p 8 ，所以抛物线方程为 x 216y ，选 D.aa4【答案】 D(12)设函数 f (x)1， g(

8、x)x2bx .若 yf ( x) 的图象与 yg( x) 的图象有且仅有两个不同的公x共点 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则下列判断正确的是(A) x1x2 0, y1y2 0(B) x1x2 0, y1y2 0(C) x1 x20, y1y20(D) x1 x20, y1 y20【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图，做出点 A 关于原点的对称点C,则 C 点坐标为 ( x1,y1) ，由图象知x1 x2 , y1y2 , 即 x1x2 0, y1 y20 ，故答案选 B.方法二：设 F (x)320 与 f ( x)g (x)

9、 同解，故其有且仅有两个不同零点x1 , x2 .xbx1 ，则方程 F (x)由 F (x)2F (b)3系数得案为 B.【答案】 B0 得 x 0或 x2b .这样，必须且只须30 由此得 b332 .不妨设 x1x2 ，则 x22x1 3 4 1，故 x11 3 2 . x1x21 3 2222F (0)0 或 F ( b) 0 ，因为 F (0) 1 ，故必有 32b3 2 .所以 F ( x)(xx1 )(x3 2)2 ，比较311x1x20 ，由此知 y1y20 ，故答x1x2x1 x2第卷 (共 90 分)二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分.(13)如图，正

10、方体ABCDA1 B1 C1 D1 的棱长为1， E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥ADED1 的体积为 .【解析】以 ADD1 为底面，则易知三棱锥的高为1，故 V11 1111 .326【答案】 16(14)右图是根据部分城市某年6 月份的平均气温 (单位： )数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是20.5， 26.5，样本数据的分组为 20.5,21.5)， 21.5,22.5) ， 22.5,23.5) ，23.5,24.5) ， 24.5,25.5) ， 25.5,26.5 .已知样本中平均气温低于22.5的城市个数为 11，则样本中平均气温不低于25.5的城市个数为

11、 .【解析】 最左边两个矩形面积之和为 0.10 1+0.12 1 0.22，总城市数为 110.22 50，最右面矩形面积为 0.18 1 0.18， 500.18 9.【答案】 9(15)若函数f (x)x0,a1) 在 1，2上的最大值为4，最小值为 m，且函数 g( x) (1 4m) xa ( a在 0,) 上是增函数，则a .【解析】当 a 1时，有 a24,a 1m ，此时 a2,m1，此时 g ( x)x 为减函数，不合题意 .2若 0 a1 ，则 a 14,a2m ，故 a1, m1 ，检验知符合题意 .4161【答案】（ 16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆

12、心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在 (0， 0)，圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2， 1)时， OP 的坐标为.【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA2 ，即圆心角PCA 2,则PCA 2所以PB sin(2)cos2，,22CBcos(2)sin 2 ，所以 xp 2CB2sin 2 ， y p1PB1cos2 ，所以2OP(2sin 2,1cos2) .另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为x2cosy1，且sin3x2cos(32)2sin 2PCD2,2 ，则点 P 的坐标为2，即2y132)1 cos2sin(2OP(2sin

13、 2,1cos2) .【答案】 (2sin 2,1 cos 2)三、解答题：本大题共6 小题，共74分.(17)( 本小题满分12 分 )在 ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a, b,c，已知sin B(tan Atan C)tan Atan C .( )求证：a ,b,c成等比数列；( )若 a1,c2 ，求ABC的面积S.【答案】 (17)(I)由已知得：sin B(sin A cosCcos A sin C )sin A sin C ，sin B sin( AC)sin Asin C ，sin 2 Bsin A sin C ，再由正弦定理可得：b 2ac ，所以 a ,b,c 成

14、等比数列 .(II)若 a1,c2 ，则 b2ac 2， cosBa2c2b23 ，2ac4sin C1 cos2 C7，4 ABC 的面积 S1177ac sin B12.2244(18)( 本小题满分12 分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2， 3；蓝色卡片两张，标号分别为1， 2.( )从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4 的概率；( )现袋中再放入一张标号为0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4 的概率 .【答案】 (18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10 种：红 1 红 2 ，红 1

15、红 3，红 1 蓝红 1 蓝 2，红2 红 3，红 2 蓝 1 ，红 2 蓝 2，红 3 蓝 1，红 3 蓝 2，蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色不同且1，标号之和小于4 的有3 种情况，故所求的概率为P3.10(II)加入一张标号为况：红1 绿 0，红0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10 种情况外，多出5 种情2 绿 0 ，红 3 绿 0，蓝1 绿 0 ，蓝 2 绿 0，即共有15 种情况，其中颜色不同且标号之和小于4 的有8 种情况，所以概率为P8.15(19) ( 本小题满分 12 分 )如图，几何体E ABCD 是四棱锥， ABD 为正三角形，CB CD,ECBD .

16、( )求证： BEDE ；( )若 BCD120 ， M 为线段 AE 的中点，求证： DM 平面 BEC .【答案】 (19)(I)设 BD 中点为 O，连接 OC， OE，则由 BCCD知，COBD ，又已知 CEBD ，所以 BD 平面 OCE.所以 BDOE ，即 OE 是 BD 的垂直平分线，所以 BEDE .(II)取 AB 中点 N，连接 MN ,DN ， M 是 AE的中点， MN BE ， ABD 是等边三角形， DN AB .由 BCD 120知， CBD 30，所以 ABC 60 +30 90，即BCAB ，所以 ND BC，所以平面 MND 平面 BEC，故 DM 平面

17、 BEC.(20) ( 本小题满分 12 分 )已知等差数列 an 的前 5项和为 105，且 a202a5 .( )求数列 an 的通项公式；( )对任意 mN* ，将数列 an 中不大于 72m的项的个数记为bm .求数列 bm 的前 m 项和 Sm .【答案】 (I)由已知得：5a110d105,a19d2( a1 4d ),解得 a17, d7,所以通项公式为n7 (n1)77n .a(II)由 an7n72 m ，得 n72 m 1，即 bm7 2m 1 .bk 172m 149，b72m 1k m是公比为49 的等比数列，b Sm7(149m )7 (49m1).14948(21)

18、 ( 本小题满分 13 分 )如图，椭圆 M : x223 ，直线 x2y2 1(a b 0) 的离心率为a 和 yb 所围成的矩形ABCD的ab2面积为 8.( )求椭圆 M 的标准方程；( ) 设直线 l : yxm(m R ) 与椭圆 M 有两个不同的交点P, Q, l 与矩形 ABCD有两个不同的交点 S,T .求 | PQ | 的最大值及取得最大值时|ST|m 的值 .【答案】 (21)(I) ec3a22 b23 a2a4矩形 ABCD面积为8，即 2a2b8 由解得： a 2,b1 ，椭圆 M 的标准方程是 x2y21 .x24y24(II)4,5 x28mx4m24 0，yx

19、m,设 P( x1 , y1 ), Q(x2 , y2 ) ，则 x1x28 m, x1x24m24 ，2255由4)0得5m5.64m20(4m822442|PQ|24m2m45m .555当 l 过 A 点时， m1 ，当 l 过 C 点时， m1 .当5 m1时，有 S(m1,1),T (2,2m),| ST | 2(3 m) ，24 61，|PQ|4 5 m4|ST |5 (3 m)25t 2t其中 t m 3 ，由此知当 13，即 t4, m5(5,1) 时， | PQ | 取得最大值 25 .t433|ST|5由对称性，可知若1 m5 ，则当 m5时，| PQ | 取得最大值 25 .3| ST|5当 1 m 1 时， | ST | 2 2 ， | PQ |2 5 m2 ，| ST|5由此知，当 m 0 时， | PQ | 取得最大值 25 .|ST|5综上可知，当 m5和 0 时， |PQ|取得最大值 25 .3| ST|5(22) ( 本小题满分 13 分 )ln x k(k 为常数， e