测量误差与实验数据处理

1、,大学物理实验,测量误差与实验数据处理,测量与误差,就是借助一定的仪器或量具，通过一定的实验方法将待测量与一个选作单位的同类量进行比，其倍数即为该待测量的测量值。,测量组成,测量值=读数值(有效数字)+单位,测量值,单位,单位：采用国际单位制（SI制-1971）,七个基本单位单位：长度（米/m）、质量（千克/kg）、时间（秒/s） 电流强度（安培/A）、温度（开尔文/K）、物质的量（摩尔/mol）、 发光强度（坎德拉/cd）,两个辅助单位：平面角（弧度/rad）、立体角（球面度/sr）,一、测量：,测量的分类,直接测量： 直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较得到 测量值。比如用游

2、标卡尺测量某一圆柱体的外径；用秒表测量时 间等。 间接测量： 利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系，求得该被测 物理量。例如，通过测量流过某一电阻的电流和其两端的电压而求 得的电阻值即为间接测量量，而电流和电压为直接测量量。 直接测量和间接测量的关系 对某一物理量进行测量时，采用一种方法时，可能为直接测量 量，而采用另一种方法是由可谓间接测量量。当时用万用表测量电 阻时得到的测量值就为直接测量值，而非间接测量值了。,1.直接测量和间接测量,等精度测量：,2.等精度测量和非等精度测量,在相同的条件下，对某一物理量 进行多次测量得到的一组测量值 称作等精度测量。,相同的条件：指同一时间地点、

3、同一人、相同的测量仪器和 测量环境等条件。,非等精度测量：,在不同测量的条件下，对某一物理量进行多次测量，所得的测量值的精确程度不能认为是相同的，称作非等精度测量。,三、误差及其分类,误差定义：测量值与真实值之差称为误差， 即 误差 测量值真值,测量误差又称绝对误差。,真实值无法知晓？,1.根据误差的表示方式，误差分为： （1）绝对误差： （2）相对误差：把绝对误差与真实值之比叫相对误差，即,三、误差及其分类,根据误差产生的原因及误差的性质分为： 1.系统误差： 2.随机误差（偶然误差） 3.过失误差（粗差）,1.系统误差,(1)定义：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差绝对值和符号保持不变

4、，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。,(2)性质：带有系统性和方向性,(3)产生的原因： 测量仪器方面的因素。 测量方法方面的因素： 环境方面的因素。 测量人员方面的因素。,(4)系统误差服从的规律,不变的系统误差:误差的符号和大小都固定不变 线性变化的系统误差:误差值随某些因素作线性变化的 系统误差 周期性变化的系统误差:测量值随某些因素按周期性变 化的误差，称为周期性变化 复杂规律变化的系统误差:误差是按确定的且复杂规律 变化 如电阻与温度的关系可用下式表述 式中， 为温度为 时的电阻； 为温度 为时的电阻； 和 分别为电阻的一次和二次温度系数。,(5)系统误差的发现,在测量过程中形成

5、系统误差的因素是复杂的，目前还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法，只有根据具体测量过程和测量仪器进行全面的仔细分析，针对不同情况合理选择一种或几种方法加以校验，才能最终确定有无系统误差。常用方法有：,实验对比法： 主要适用于发现固定系统误差，其基本思想是改变产生系统误差的条件， 进行不同条件的测量。 理论分析法： 主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求的工作条件 是否满足，实验依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满足，如果 这些要求没有满足，则实验必有系统误差。 数据分析法： 主要进行定量分析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误差观察法、 残余误差校验法、不同公式

6、计算标准差比较法、计算数据比较法、检验法、 秩和检验法等方法。,(6)系统误差的减小和消除,由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有一个普遍适用的方法来减小或消除系统误差。下面介绍几种减小和消除系统误差的方法和途径。,这是消除系统误差最根本的方法，通过对实验过程中的各个环节进行认真仔细分析，发现产生系统误差的各种因素。,从产生系统误差的根源上消除,措施： 采用近似性较好又比较切合实际的理论公式，尽可能满足理论公式 所要求的实验条件；选用能满足测量误差所要求的实验仪器装置，严格 保证仪器设备所要求的测量条件；采用多人合作，重复实验的方法。,引入修正项消除系统误差,采用能消除系

7、统误差的方法进行测量 对于某种固定的或有规律变化的系统误差，可以采用交换法、抵消法、补偿法、对称测量法、半周期偶数次测量法等特殊方法进行清除。,(1)定义：由于感官灵敏度和仪器精密程度的限 制，周围环境的干扰以及伴随测量而来的不可预料 的随机因素的影响而产生的误差。 (2)特点：大小无定值，一切都是随机发生的，因 而把它叫做随机误差(亦称作偶然误差)。 (3)规律：多次测量时，随机误差服从以下统计规 律。,对称性。测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。 有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。 抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。,单峰性。测量

8、值与真值相差越小，在测量中出现的可能性越大； 测量值与真值相差越大，则出现的可能性越小。如图1所示，当误差 呈现正态分布、矩形分布和三角分布时，随机误差具有单峰性。,3.系统误差与随机误差的关系,上面分别单独讨论了系统误差和随机误差，即在不考虑随机误差的情况下 研究系统误差，和在不考虑系统误差的情况下研究随机误差。然而在实际情况 下，对于任何一次实验，既存在着系统误差又存在着随机误差，只存在一种误 差的实验是不存在的。当然在有些实验中，以系统误差为主，有些实验中以随 机误差为主。 系统误差的特点是具有恒定性或规律性，随机误差的特点是随机性， 就其特点而言，似乎这两类误差是可绝然分开的，实际上并

9、非完全如此。比如 分析用刻度不均匀的米尺测量长度时带来的误差。对于米尺上某一确定位置的 刻度值与真值间的误差，不论测量多少次都不会改变，显然这个误差是系统误 差；但对于米尺各处来讲，每个确定位置的刻度值与真值之间的误差的大小和 方向都是不确定的，具有随机性，显然是随机误差。再比如某实验人员在读数 时总是习惯偏向一方，产生的误差是系统误差；而另一实验人员在读数时没有 偏向一边的习惯，而是有时偏左，有时偏右，产生的误差无疑是随机误差。系 统误差和随机误差的这种关系反映出这种分类方式的缺陷，实验不确定度（见 第四节）就可以克服这种缺陷。,4.过失误差,在测量中还可能出现错误，如读数错误、记录错 误、

10、操作错误、计算错误等，由此产生的误差称作过 失误差。这种错误已不属于正常的测量工作范畴，实 验中应当尽量避免。克服错误的方法，除端正工作态 度、保证操作方法无误外，可用与另一次测量结果相 比较的办法发现并纠正。含有过失误差的测量值往往 较大地偏离正常测量值，称作坏值，应当在数据分析 处理过程中给予剔除。,5.误差的几个相关概念,（1）精密度 精密度是指重复测量所得的结果相互接近（或离散）的程度，精密 度的高低反映随机误差的大小。即精密度越高，数据越接近，随机误差 越小；反之随机误差就越大。 （2）正确度 正确度是指测量值或实验结果与真值的符合程度，它的高低反映系 统误差的大小。即正确度越高，测

11、量值越接近真值，系统误差就越小； 反之，系统误差就越大。 （3）准确度 准确度（又称精确度）是精密度 和正确度的综合反映。当随机误差小 到可以忽略不计时，准确度等于正确 度；当系统误差小到可以忽略或得到 修正消除时，准确度等于精密度。两 者都高，准确度就高；两者之一低或 都低，则准确度低。,四、误差的表示形式,误差的表示：绝对误差和相对误差。 绝对误差 表示测量结果 与真值 间的相差范围，正负号“” 表示测量结果 可能比 大或者比 小。由测量结果及其绝对误 差可以看出，真值所在的可能范围为 ，或简写为 。 相对误差： 表示绝对误差在所测物理量中所占的比重，一般用百分比表示。 测量结果表示： (

12、单位),第二节 直接测量结果误差的估算方法,一、单次直接测量的误差估计在一般情况下，可用仪器 误差仪 (仪器出厂时的检定)作为绝对误差。,1.对于连续读数仪表，误差取最小分度值的一半；,2.对于有游标的量具和非连续读数的仪表，误差仪取最小分度值；,3.对于某些仪器，其不确定度限值仪需要计算：,（a）指针式电表的等于量程与等级的乘积,（b）电阻箱的等于示值乘以等级再加上零值电阻,（c）用天平测量物体质量的等于各砝码不确定度之和,二、多次测量平均值,等精度测量： 是指测量条件完全相同的多次测量。相同的条件是 指相同的观测者、相同的仪器、相同的测量环境等等。,假设对某一物理量进行了,次等精度测量，其

13、测量,值分别为,，则,的算术平均值,因真值不可知，故将测量值的算术平均值作为测得值 的最佳估计值。,设每一次测量值与算术平均值的差值为,在普通物理实验中，通常采用算术平均误差作为绝对误差范围,它表示对物理量 做任意一次测量，测量误差出现在 到,之间的概率为58,相对误差：,三、测量列的标准误差和标准偏差,当测量次数 无限多时，各测量值 的误差 平方平均值的平方根，称作标准误差， 用 表示，即,标准偏差 ：,标准偏差的物理意义,多次测量的随机误差遵从正态分布，那么任意一次测量，测量 值误差落在 到 之间的可能性为68.3，或者说，对某 一次测量结果，真值在区间 内到 的概率为68.3。,O,四、

14、平均值的标准误差,经理论推导测量值算术平均值的标准误差 为：,平均值的标准误差是 次测量中任一次测量值标准误差的 倍。 其物理意义是，在多次测量的随机误差遵从正态分布的条件下，对多 次测量结果，真值在区间 内的概率为68.3。,例1,用 型电位差计测量某一电阻的端电压6次，测量数据列入下表，试表达测量结果。,解：其算术平均值为,平均值的标准误差为：,第三节 间接测量误差的估算方法,误差传递：直接测量所得的结果都是有误差的，显然由直接测量值经过运算而得到的间接测量值也有误差。由直接测量值的误差估算间接测量误差的方法叫做误差传递。 设：,若各直接测量值的绝对误差分别为 ，则间接测量值 的绝对误差为

15、 ，其计算方法如下：,将上式求全微分，得,常用运算关系的标准误差传递公式,例2,某一长度， ，其中， ； ； 试计算其结果及误差。,解：,例3：,用螺旋测微器分别测量某圆柱体不同部位的直径 和不同部位的高 各 8次，得到下列数据，表示出结果。,解：各测量值偏差的绝对值分别为,同理可以求出,圆柱体的体积,相对误差,标准误差,测量结果为：,第四节 测量不确定度及测量结果的表示,一、不确定度评定的意义,即使采用了正确的测量方法，由于测量仪器和测量者的问题，测量结果仍不可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分。实际上，这种不确定的程度是可以用一种科学的、合理的、公认的方法来表征，这就是“不确定度”的评定

16、，在测量方法正确的情况下，不确定度愈小，表示测量结果愈可靠。,不确定度必须正确评价。评价得过大，在实验中会怀疑结果的正确性而不能果断地作出判断，在生产中会因测量结果不能满足要求而需再投资，造成浪费；评价得过小，在实验中可能得出错误的结论；在生产中则产品质量不能保证，造成危害。,二、不确定度的分类和估算方法,不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数，它是被测量的真值在某一量值范围内的一个评定。,不确定度根据其性质和估算方法不同，可分为A类不确定度和B类不确定度。A类不确定度是被测量列能用统计方法估算出来的不确定度分量，用实验标准差表征，即为 ；B类不确定度则是不能用统计方法估算的所有不确定度分

17、量，用 表示。,A类不确定度分量的估算，直接由测量列平均值的标准误差公式来计算。即,B类不确定度分量的估算，最常用的方法是 采用近似标准差估算非统计不确定度。 当非统计不确定度相应的估计误差为高斯 分布时有： 当非统计不确定度相应的估计误差为均匀分 布(方法、环境、数字仪表等误差分布)时有：,为非统计不确定度相应的估计误差限，通常,二、合成不确定度,合成不确定度，即A类和B类不确定度的总和，其合 成公式为：,式中， 为合成不确定度； 为任一A类不确定度分量， 为任一B类不确定度分量。,上式为合成不确定度的计算公式，它是由多个彼此间相互独立的统计和非统计不确定度的方根和。合成不确定度表明在测量过

18、程中所有不确定度因素对测量结果的合成影响。,三、总不确定度计测量结果表示,1.总不确定度：是以确定的置信概率所给出的与合成不确定度成正比的置信区间。即,式中， 为总不确定度； 为置信因子； 为合成不确定度。,总不确定度即在一定置信概率下所对应的置信区间的范围。 当置信概率为68.3时，置信因子 为1；当置信概率为95.4时， 置信因子 为2；当置信概率为99.7时，置信因子 为3。一般物 理实验中取与标准差相对应的置信概率68.3，故总不确定度就等 于合成不确定度。,2.不确定度的传递 由直接测量量的不确定度引起的间接测量量的不确定度传递公式，如同标准差传递公式一样。设间接测量量N的函数为 ，

19、则,3.用总不确定度表示测量结果 用总不确定度表示测量结果的形式为,=(,)(单位) (写出置信度,值),当置信度 时， ，则 (单位) ( ，可不写) 当置信度 时， ，则 (单位) ( ) 当置信度 时， ，则 (单位) ( ),一、有效数字的概念 在测量数据的各数字中，既有没有误差的可靠数 字，又有含有误差的可疑数字。 我们把可靠数字和数据最末的一位可疑数字统称为 有效数字。 一般规定，数值中的可靠数字与所保留的1位(或2 位)可疑数字，统称为有效数字。测量结果用有效数字 表示，可以反映测量的准确度。 (1)一个物理量的测量值和数字的一个数有着不同的意义； (2)对于十进制单位变换，只涉

20、及小数点位置改变，而不允许 改变有效位数； (3)实验结果的最后1位数字应与绝对误差对齐，绝对误差最多 写2位，相对误差也是如此。,第五节 有效数字及其运算,二、关于有效数字的几点说明：,（1）非测量值（如公式中的常数，实验次数等）不是有效数字，如，e等不是有效数字。 （2）在测量数据中，左边第一位非零数字之前的零不是有效数字，但数据中间和末尾的零应算为有效数字。 （3）记录数据时，不可随便增（减）零。对测量数据而言，尽 管它们在数字上相等， 8.605cm8.6050cm。要特别强调的是： 记录原始测量数据时，一定要反映出测量器具的测量精度。 （4）在换算单位时应保持有效数字位数不变。 （5

21、）注意科学计数法的正确形式。即把数据写成小数点前只保 留一位整数，后面再乘以10的方幂的形式,（6）表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数 一定要取齐。同时，我们规定：普通物理实验中的最终测量量 （待测量）的不确定度取一位；相对误差取两位。,保留1位,尾数对齐,保留2位,二、有效数字的运算,为获得实验结果，往往需要对测得的数据进行运算。在数据运算 中，首先应保证测量的准确程度。 有效数字的运算规则： 1.加减运算几个数相加减时，最后结果的可疑数字与各数值中最先 出现可疑数字对齐。,例1已知 ， ，,试问计算结果应保留几位数字?,解：,上例的简算方法为,=302.3+23.6-1.4=

22、324.5,=(324.50.5),=0.15,几个数相乘或除，计算结果的有效数字位数与各数值中有效 数字位数最少的一个相同(或最多再多保留一位)。,2.乘除运算,例2.,试问计算结果应保留几位数字?,解：用计算器计算可得5.34820.5=109.6340,看一下具体的运算过程便一目了然。见运算式，因为一个数字与一个可疑数字相乘，其结果必然是可疑数字，所以，由上面的运算过程可见，小数点前面第1位的“9”及其以后的数字都是可疑数字。按照保留1位可疑数字的原则，计算结果应写成110，为3位有效数字。,除法是乘法的逆运算，如,可见，积或商的有效数字的位数，同上面叙述的加减简算法则是一致，与参与运算

23、的各量中的有效数字位数最少的位数相同。如4位有效数字与3位有效数字相乘，计算结果为3位有效数字。如果计算结果的第一位数是“1”，“2”，“3”时，则可多留一位。 在进行乘除运算时，误差传递公式为,例题3. 用千分尺、游标卡尺、物理天平作为测量器件测量一小圆柱体的物质密度。,游标卡尺,物理天平,保留2位,尾数对齐,3.乘方运算 乘方运算的有效数字位数与其底数的有效数字位数相同。 4.对数、三角函数和次方运算 它们的计算结果必须按照误差传递公式来决定有效数字 位数，而不可以用前面所述的简算方法。,例4已知A30002，计算,解：由计算器算：,按照误差传递公式可得,结果为,5.数字的截尾运算,在数据

24、处理时，经常要截去多余的尾数，一般截尾时以“四舍六入，逢5奇进偶不进”来定。这个原则比过去习惯规定的四舍五入的截尾规则更合理，这可由下面的分析看出。如按四舍五入来截尾时，数字2可能是由下面这列数1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4截尾而得到。撇开1.5这个数不计，其他几个数的平均正好为2，加1.5后，其平均数就比2偏小。如按前述规定，则2可以是由1.5，1.6，1.7，2.0，2.4，2.5截尾得到，平均正好是2。截尾时尾数的进与舍机会均等，这就更合理了。 根据以上的截尾原则，将下列数截去尾数成4位有效数字时，应有 2.345 26 2.345 2.3

25、45 50 2.346 2.346 50 2.346 2.347 50 2.348,6.数字的科学记数法,在乘除和开方等运算中，对数字采用科学记数常常是比较方便的。 所谓数字的科学记数法即是将数字分成两部分，第一部分表示有 效数字，书写时只在小数点前保留1位数，如3.46，5.894等；第 二部分表示单位，以10的几次幂来表示，如 ， 等。,0.001730.000013 4,7.计算公式中常数的取值,像这 类常数在参与运算时，比测量值多取一位有效数字，但最后结果的有效数字以测量值的有效数字为准。,8.如果在运算中既有加减，又有乘除，则逐步按照有效数字的运算规则处理，以决定最后结果的有效数字的

26、位数。,应当注意的是，上面所讲的是有效数字的实验数据记录和运算规则，不能替代绝对误差和相对误差的计算。,第六节 测量数据处理的基本方法,数据处理：从获得原始数据到得出结论为止的数据加工过程 一、列表法 若对某一物理量进行了多次测量，或要测量几个量之间的函数关系 时，一般要用列表法处理数据。,优点： 使大批数据条理化，清晰醒目，易于检查数据，发现问题，有利 于反映物理量之间的对应关系。,表格要求 1.表格应力求简洁明了，便于分析各测量物理量之间的关系。 2.各栏目都要标明物理量的名称和单位。以国家标准（GB3100-3102）的规 定使用表示物理量的符号。,3.栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、 有条理。数据要按着有效数据规则正确记录。数据书写时,要写在每 一个表格的下方，在数据的上方留有一定的空间，为数据出现错误 时留出修改余地；对错误数据不能涂抹不清，只需用一条横线划掉 即可，保持数据的原始性。 4.反映测量值函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小 的顺序排列。