九年级圆的基础知识点经典例题与课后习题

1、九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题【知识梳理】1. 圆的有关概念和性质（1）圆的有关概念 圆：平面上到定点的距离 等于定长的所有点组成的图形叫做圆， 其中定 点为圆心，定长为半径. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧，大于半圆的弧称为优弧， 小于半圆的弧称为劣弧. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.（2）圆的有关性质 圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图 形，对称中心为圆心. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一

2、条直线来说，如果具备 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所 对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.，简称弧，用符号“厂”表示，以CD为端点的弧记为“CD”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆.。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.。（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字 母表示。） 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧， 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧

3、所对的圆周角相等；直径所对的圆 周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径. 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 。 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.（3）对圆的定义的理解： 圆是一条封闭曲线，不是圆面； 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）2. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2) 圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的 度数等于它所对的弧的度数的一半.(3) 圆心角与圆周角的关系

4、：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半.(4) 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角.3. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,贝U点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆夕卜 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法 就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4. 确定圆的条件：1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的

5、垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种情况：(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2) 经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆. 定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念：(1) 三角形的外接圆和圆的内接三角形： 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形.(2) 三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3) 三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的距离相等.5. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义：(1) 相交:直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直

6、线叫做圆的割线.(2) 相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公 共点做切点.(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.2. 直线与圆的位置关系的数量特征：设的半径为r，圆心0到直线的距离为d; dr 直线L和。0相交. d=r 直线L和。0相切. dr 直线L和。O相离.3. 切线的总判定定理 :经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线 .4. 切线的性质定理 :圆的切线垂直于过切点的半径 .推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 .推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 . 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,

7、可得如下结论 :如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个 ,就可推出第三个 .垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 .5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念 .和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形 .6. 三角形内心的性质 :(1) 三角形的内心到三边的距离相等 .(2) 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线 : 连接内心和三角形的顶点 ,该线平分三角形的这个内角 .6. 圆和圆的位置关系 .1. 外离、外切、相交、内切、内含 (包括同心圆 )这五种位置关系的定义 .(1) 外离: 两个

8、圆没有公共点 ,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时 ,叫做这 两个圆外离 .(2) 外切 : 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 ,每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫做这两个圆外切 .这个惟一的公共点叫做切点 .(3) 相交 : 两个圆有两个公共点 ,此时叫做这个两个圆相交 .(4) 内切 : 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 ,一个圆上的都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内切 .这个惟一的公共点叫做切点 .(5) 内含 : 两个圆没有公共点 , 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时 ,叫做 这两个圆内含 . 两圆同心是两圆内的一个特例 .2. 两圆位置关系

9、的性质与判定 :(1) 两圆外离 dR+r(2) 两圆外切 d=R+r(3) 两圆相交 R-rvdvR+r (R r)(4) 两圆内切 d=R-r (Rr)(5) 两圆内含 dr)3. 相切两圆的性质 :如果两个圆相切 ,那么切点一定在连心线上 .4. 相交两圆的性质 :相交两圆的连心线垂直平分公共弦 .7. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上 ,这个四边形叫做圆内接四边形 ,这 个圆叫做这个四边形的外接圆 .圆内接四边形的特征 : 圆内接四边形的对角互补 ;圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角&弧长及扇形的面积1. 圆周长公式：圆周长C=2nR （R表示圆的半径）2. 弧长公式：

10、弧长|二-（R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数） 1803. 扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形4. 弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5. 圆的面积公式.圆的面积S -二R2 （R表示圆的半径）6. 扇形的面积公式:（R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数）360当弓形所含的弧是劣弧时扇形的面积S扇形,S弓图5= s扇形一 S三角形B当弓形所含的弧是优弧时， s弓形二s扇形 S三角形1（3）当弓形所含的弧是半圆时,S弓形二二RS扇形例题解析【例题1】如图1,0 O是. ABC的外接圆，AB是直径，若 B

11、OC=80，贝U . A等于（60oB.图2以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦图1【例题2】如图2,C,若大圆半径为10cm,小圆半径为6cm,则弦AB的长为cm.AB12 / 15【例题3】如图3,A ABC内接于O O, AB=BC/ ABC=120 , AD为O O的直径, AD= 6,那么 BD=.【例题4】如图4已知OO的两条弦AC, BD相交于点E,Z A=70）,Z c=50,那 么sin / AEB的值为（）A.2D.1B.【例题5】如图5,半圆的直径AB =10，点C在半圆上，BC =6.(1) 求弦AC的长；(2) 若P为AB的中点，PE丄AB交AC于点E,求PE的长.C（

12、图8）三、课堂练习O1、如图 6,在O O 中，/ ABC=40 ,则/ AOC=度.2、如图7, AB是。O的直径，AC是弦，若/ ACO = 32,则/ COB的度数等于.3、已知O O 的直径 AB=8cm C 为O O 上的一点，/ BAC=30o,贝U BC=cm.4、如图8,已知在Rt ABC中，.ACB二Rt,AB = 4，分别以AC , BC为直径作半圆，面积分别记为S , S2，则S1 + S2的值等于.5、如图9,O O的半径OA = 10cm, P为AB上一动点，则点P到圆心O的最 短距离为cm(第15题图)6 如图 10,在O O 中，/ ACB= / BDC=60 ,

13、 AC=23cm ,(1)求/ BAC的度数； (2)求。O的周长7、已知：如图11,O O的直径AB与弦CD相交于E,弧BC =弧BD, O O的 切线BF与弦AD的延长线相交于点F.(1)求证:CD/ BF.3连结BC,若O O的半径为4,cos/BCD=-,求线段AD CD的长.(第24题)8 如图12,在厶ABC中，AB=BC , D作DF丄BC,交AB的延长线于E,垂足为F.(1) 求证：直线DE是O O的切线；(2) 当 AB=5 , AC=8 时，求 cosE 的值.图12四、经典考题解析,AC* 3,则厶ABC的周长是1. 如图13,在O O中，已知/ A C吐/CD*60图1

14、4B图152.“圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题:不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”“今有圆材，埋在壁冲，.用数学语言可表述为如图14, CD为。O的直径，弦 AB丄CD于点E, CE* 1寸,AB=10寸，则直径CD的长为（）A . 12. 5 寸 B . 13 寸 C . 25 寸 D . 26 寸3.如图15,已知AB是半圆O的直径，弦AD和 BC相交于点CDP,那么AB等于（）A . sin / BPD B. cos/ BPD C . tan / BPD D .cot / BPD4. OO的半径是5, AB CD为O O的两条弦，且 AB/ CD AB=6 CD=8

15、求AB与CD之间的距离.5. 如图16,在。M中，弧AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm并 建立如图所示的直角坐标系，点 C是y轴与弧AB的交点。(1)求圆心M的坐标;(2)若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形 ACBD勺最大面积19 / 15五、课后训练1. 如图17,在O O中，弦AB=1.8cm圆周角/ ACB=30，贝U OO的直径等于cm图17图19100。2. 如图18, C是O O上一点，0是圆心若/ C=35，则/ AOB的度数为()A . 35B. 70 C . 105D. 1503. 如图19,0 O内接四边形ABCD中, AB=CD则图中和/ 1相等的角有

16、4. 在半径为1的圆中，弦AB AC分别是3和.2 ,则/ BAC的度数为多少？5. 如图20,弦AB的长等于O O的半径，点C在O O上,则/ C的度数是CA图20图21图226. 如图21,四边形ABCD内接于。0,若/ BOD=100 ,则/ DAB勺度数为（）A . 50 B . 80C . 100 D . 1307. 如图22,四边形ABCD为O O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果/BOD=120，那么/ BCE等于（）A . 30B . 60 C . 90D . 1208. 如图，O O的直径AB=10 DEL AB于点H, AH=2（2）延长ED到P,过P作。O的切线，切

17、点为C,（1）求DE的长；若PC=22.5，求PD的长.九年级数学圆练习题填空题：（21分）1、如图，在O 0 中，弦 AB/ OC Z AOC=115”，则丛 BOC =2、如图，在。O中，AB是直径，NC=15，则NBAD=3、如图，点O是AABC的外心，已知NOAB = 4O*，则N ACB=（1题图）（2题图）图）4、如图，AB是。O的直径，弧BC=I BD，（3题图）（4题A = 25 ，贝、BOD 二.A（5题图）（6题图）（7题图）5、如图，O O的直径为8,弦CD垂直平分半径OA则弦CD=.&已知OO的半径为2cm弦A吐2cm P点为弦AB上一动点，则线段OP的范 围是.7、如

18、图，在O O中，/ B=5Ob，Z C=2Ob，则/ BOC勺=二、解答题（70分）1、如图，AB是O O的直径.若OD/ AC，矛与Bd的大小有什么关系？为什么？2、已知：如图，在。0中，弦AB=CD求证：弧 AC=I BD / AOCM BOD3、如图，已知：。0中，AB CB为弦,0C交AB于D,求证：(1)Z 0DB2 OBD (2)Z 0DB2 OBC4、已知如图，AB AC为弦，OMLAB于 M ONLAC于N,ABC的中位线吗？5、已知如图，AB CD是O 0的直径，DF BE是弦，且DF=BE求证：/ D=Z BCE6 已知如图，AB是。O的直径，C是。O上的一点，CDLAB于D, CE平分/ DCO 交于E,求证：弧AE=fi EB7、如图，已知 ABC AC=3, BC=4,Z C=90。，以点C为圆心作。C,半径为r. 当r取什么值时，点A、B在。C外.(2)当r在什么范围时，点A在。C内，点B在。C外.当r在什么范围时C与线段AB相切。NCB三、计算下列各题：