2018—2019学年北京八中第一学期高三期中考试数学(理科)试题(解析版)

1、号位封座密号场不考订装号证考准只卷名姓此级班2018 2019 学年北京八中第一学期高三期中考试数学（理科）试题数学注意事项：1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知 m,nR, 集合 A = 2, log 7m,集合 B = m,

2、n, 若 AB =0,则 m + n =A 0B1C7D82已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为A 4B8C16D 323“”是“”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件4函数（且）的图象可能为ABCD5在ABC中,M是BC的中点 ,AM =3, 点P在AM上, 且满足, 则的值为A4B2C- 2D-46如图，点为坐标原点，点，若函数（，且）及（，且）的图象与线段分别交于点，且，恰好是线段的两个三等分点，则， 满足ABCD7已知若函数只有一个零点，则的取值范围是ABCD8设，其中，若对一切恒成立，则下列结论正确的是；函数既不是奇函数

3、也不是偶函数；的单调递增区间是；存在经过点的直线与函数的图象不相交A BCD 二、填空题9在极坐标系中,圆的圆心到直线上的动点的距离的最小值为_.10若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则_ 11已知直线，若，则实数的值是12若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围.13如图，线段，点，分别在轴和轴的非负半轴上运动，以为一边，在第一象限内作矩形，设为原点，则的取值范围是 _ （）求函数f (x) 的单调区间和极值;（）若x(0, 1), 求证 : f (2 - x) f (x);（）若x1(0, 1), x2(1, + 且), f (x1) = f (x2 ), 求证 : x1 + x2 2.

4、19已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点， 分别是椭圆的左、右顶点（ ）求圆和椭圆 的方程14对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性（ ）已知， 分别是椭圆 和圆 上的动点（， 位于 轴两侧），且直线与 轴平行，直质 线，分别与 轴交于点， 求证：为定值（）下列函数中具有性质的有 _ （）若函数具有性质，则实数的取值范围是_ 三、解答题15某中学高一年级共8 个班，现从高一年级选10 名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取 3 名同学，其它各班各选取1 名同学现从这10 名同学中随机选取3 名同学，到社区老年中心参加 “尊老爱老

5、 ”活动（每位同学被选到的可能性相同）20将所有平面向量组成的集合记作,是从到的映射 ,记作或, 其中都是实数 . 定义映射的模为: 在的条件下的最大值 , 记做.若存在非零向量, 及实数使得, 则称 为 的一个特征值 .（）若, 求;（）如果,计算 的特征值 , 并求相应的;（）试找出一个映射,满足以下两个条件 : 有唯一的特征值, . (不需证明 )（ 1）求选出的3 名同学来自不同班级的概率；（ 2）设 X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望16函数 f(x) cos( x )的部分图象如图所示(1) 求 及图中 x0 的值；(2) 设 g(x) f(x

6、) f，求函数g(x) 在区间上的最大值和最小值17已知抛物线C： y2=4x ，其焦点为F，直线过点P（ 2， 0）（ 1）若直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，求l 的方程；（ 2）若直线l 与抛物线交于不同的两点A、 B，求 |FA|+|FB|的取值范围- x18已知函数f (x) = x e(xR)2018 2019 学年北京八中第一学期高三期中考试数学（理科）试题数学答案参考答案1 B【解析】【分析】根据 AB=0 ，得出 log7m=0，求出 m 的值，从而得出n 的值，再求出m+n 的值【详解】根据 A=2 ，log 7m ， B=m ， n ，且 A B=0 ，得 log

7、7m=0，解得 m=1； n=0 ， m+n=1+0=1 故选： B【点睛】本题考查了集合交集的定义与应用问题，是基础题目2 B【解析】试题分析：解：F（ 2， 0）K（ -2， 0），过 A 作 AM 准线，则 |AM|=|AF| ， |AK|=|AM| ， AFK 的高等于 |AM| ，设 A（m2 ，2m）（ m 0）则 AFK 的面积 =42m? =4m 又由 |AK|=|AF|，过 A 作准线的垂线，垂足为P，三角形APK 为等腰直角三角形，所以m= AFK 的面积=42m? =8 故答案为B考点：抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌

8、握3 C【解析】令，则，单调递增，且， “”是 ”的必要条件故选 4 A【解析】由，所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除；当时，排除 B ，故选 A.5 D【解析】【分析】由平行四边形法则，可得=又，可得=，代入即可得出【详解】由平行四边形法则，可得=，=， AM=3 ，= = 32= 4故选： D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量的平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数，所以，点为坐标原点，点，直线为，经过点，则它的反函数也经过点，又（，且）的图象经过点，根据对数函数的图象和性质可知：，故选 A7 D

9、【解析】试题分析： 函数只有一个零点， 与只有一个交点，图象如图所示，k 的取值范围是考点：函数零点问题8 A【解析】试题分析：，其中角满足，对一切恒成立，或，得，因此，或，对于，故正确；对于，根据函数的表达式，得，故既不是奇函数也不是偶函数，故正确；对于，函数的表达式或，表达式不确定，故不一定是增区间，故不正确；对于，采用反证法，设经过点的一条直线与函数的图象不相交，则此直线与x轴平行方程为，且，平方得矛盾，故假设不成立， 所以经过点的所有直线均与函数的图象相交，故不正确考点：三角函数的图象变换、两角和与差的正弦函数9 C.【解析】解：在极坐标系中，圆的圆心（ 0,0）到直线即为 x+y=2

10、的距离为10 -3【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为，其中一条渐近线的倾斜是，故110或3【解析】试题分析：由题意得：考点：直线位置关系12【解析】试题分析：由题意，由，可求得交点坐标为，要使直线上存在点满足约束条件，如图所示，可得，则实数m 的取值范围考点：线性规划13【解析】解：如图令AB，由于 AB故Acos， Bs，如图A，B1，故 xcoscos（）coss，s（）cos故 B（ coss，cos ）同理可求得（s，coss），即（s，coss），B（coss，cos ）（s， coss）s，B（coss，cos ）（s， coss）s，B 的最大值是 ，最小值是 1，故答案是：

11、 1， 14（ 1）（ 2）或【解析】试题分析：（1）在x0时， f （ x） = 有解，即函数具有性质P，令 -2x+2，即 =8-8=0 ，故方程有一个非0 实根，故f （x） =-2x+2具有性质P；f （x） =sinx （ x 0， ）的图象与y= 有交点，故 sinx= 有解，故 f（ x） =sinx （ x 0， ）具有性质 P；令 x+ = ，此方程无解，故 f（ x） =x+ ，（ x（ 0， +）不具有性质 P；综上所述，具有性质P 的函数有：，（ 2） f（ x）=alnx 具有性质P，显然 a0，方程xlnx=有根， g（ x）=xlnx 的值域 ， +）解之可得：

12、a 0 或 a-e考点：本题考查方程和函数的综合点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大15（ 1）；（ 2）详见解析试题分析： （ 1）求得所有基本事件的种数以及符合题意的基本事件种数，利用古典概型从而求解；（ 2）求得， ，时的概率，得到分布列后即可求解期望试题解析： （ 1）设 “选出的 3 名同学来自不同班级”为事件，则，选出的 3 名同学来自班级的概率为；（ 2）随机变量的所有可能值为， ， ，则；，随机变量的分布列是随机变量的数学期望考点： 1随机变量的概率分布及其期望；2古典概型1

13、6（ 1），；（ 2）见解析【解析】试题分析： （ 1）将点代入，由已给条件可求得；由并结合图象可求得.（ 2）由（ 1）可得到，由，得，可得在和时，函数分别取得最大值和最小值。试题解析：（）图象过点，又，由，得或，又的周期为，结合图象知，（）由题意可得，【解析】，当，即时，取得最大值，当，即时，取得最小值点睛 :三角函数式的化简要遵循“三看 ”原则（ 1）一看 “角 ”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（ 2）而看 “函数名称 ”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦 ”；（ 3）三看 “结构特征 ”，分析结构特征，可以帮助

14、我们找到变形的方向，如“遇到分式通分 ”等 .17（ 1） y = 0 或 xy + 2 = 0（ 2） (6, +)【解析】【分析】（ 1）当直线l 的斜率为0 时，直线l 的方程为y=0 ；当直线 l 的斜率不为0 时，设直线方程为y=k（ x+2 ），联立直线方程与抛物线方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用判别式为0 求得 k 值，则直线方程可求.（ 2）联立联立，得 k2x2+（ 4k 2 4）x+4k 2=0，利用判别式大于0 求得 k 的范围，再由抛物线的焦半径公式及根与系数的关系可得则 |FA|+|FB| 的取值范围可求【详解】（ 1）如图，当直线 l 的斜率为 0 时，直线

15、 l 的方程为 y=0；当直线 l 的斜率不为0 时，设直线方程为 y=k（ x+2），联立222 4） x+4k2，得 k x +（ 4k=0由 =（ 4k24） 2 16k4= 32k2+16=0 ，解得 k=直线方程为 y=综上，若直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线 l 的方程为： y=0 或 y=；（ 2）联立联立，得 k2x2+（ 4k 2 4）x+4k 2=0设 A （ x1， y1）， B（ x2， y2）当 k0时，由 = 32k 2+16 0，得 k k 0 或 0k |FA|=， |FB|=，则 |FA|+|FB|=，0 ， ，则 2+6 |FA|+|FB| 的取

16、值范围是（ 6， +）【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题18（ 1）在 ()内是增函数 , 在 ()内是减函数 .在处取得极大值且（ 2）见解析 (3) 见解析【解析】【分析】（）直接利用函数的导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可求函数f （x）的单调区间及极值；（）令g（ x） =f （ x） f（ 2 x）求出 g （ x） =（ x 1）（ e2x2 1） e x，通过 x1，判断g（ x）在 1， +）上是增函数，即可证明当x 1 时， f（ x） f （ 2 x）；（）因为 x1， x2 分别在（ 0， 1）和（ 1， +）利用函数的关系式

17、，证明x1+x 2 2【详解】解： x=（1 x） e令，则 x=1当 x变化时，f （x）的变化情况如下表：x（ ， 1）1（1， +）+0f（ x）极大值 f（ x）在（ ， 1）上是增函数，在（ 1，+）上是减函数 f（ x）在 x=1 处取得极大值 ；（）证明：令g（x） =f （ x） f （ 2 x）则 g（ x） =xe x（ 2 x）ex 2 g （ x） =（x 1）（ e2x 2 1） ex当时,从而又所以,从而函数在是增函数 . e x 0， g （ x） 0， g（ x）在 1，+）上是增函数又 g（ 1）=0 0x1 时 ,g（x） g（ 1） =0即当 0x1 时，

18、 f（ x）f （ 2 x）() 证明 :由()得:在 ()内是减函数即【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性的判断极值的求法，考查分析问题解决问题的能力19（）；（）见解析【解析】试题分析：（ 1）根据椭圆定义知，又，因此易求得，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；（ 2）设出，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线AP的方程，求出 M 点坐标，同理写出 BP 方程，求出 N 点坐标，再求得向量，并计算数量积，结果为 0，可得试题解析：（ ）依题意，得，圆方程，椭圆方程（ ）设，方程，令时，方程为，令得，点睛： “设而不求 ”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、 差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简 ”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：（ 1）设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为；（ 2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；（ 3）利用韦达定理得，然后再求弦长以及面积，或求其他量（如本题向量的数量积）20（ 1） 1（ 2）,(3)见解析 .【解析】【分析】（1）由新定义可得=，利用=1，可得1，从而