双曲线方程及几何性质教案

1、适用学科L. 一一 .高中数学1 1适用年级I高二1 1适用区域人教版区域课时时长（分钟）丨2课时1知识点1双曲线的定义2. 双曲线的标准方程3. 双曲线的简单几何性质教学目标11. 掌握双曲线的定义，标准方程.i2. 掌握双曲线的几何性质.3. 体会解析几何的思想，熟悉利用代数方法研究几何问题的手段|教学重点双曲线定义、标准方程及几何性质；利用性质解决一些问题教学难点双曲线定义、标准方程及几何性质的灵活应用i【知识导图】教学过程一、导入1情境引入类比椭圆的标准方程及几何性质的探究方式上节回顾：平面上到两个定点的距离之和为一个常数（大于两定点间的距离） 的点的轨迹是椭圆思考：那么平面上到两个定

2、点的距离之差为一个常数的点的轨迹是什么呢？设计意图：类比前面章节“椭圆的标准方程与几何意义”的教学过程，引入本节“双曲线的标准方程与几何意义”，有利于降低学习难度，使学生迅速理解双曲线的定义与元素。强调两节知识的联系与区别，引导学生探究本节过程中对比两节2、步步深化类比椭圆的标准方程，写出双曲线的标准方程，并比较a、b、c的关系：设计意图：利用已知结论得到双曲线的标准方程及简单几何性质，更利于学生对新知的理解和记忆二、知识讲解平面内到两定点 F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2 ）的动点的轨迹叫 双曲线.即 |MFi MF? =2a.【教学建议】 注意差的绝对值为常数，如果只说差为常数，

3、得到的轨迹是双曲线的一支教师讲完定义后，可顺带引出实轴、虚轴、焦距的概念，对比椭圆记忆双曲线的量第15页考点2双曲线的标准方程与几何性质标准方程22xy2 - 2 =1(a0,b0)ab2 2yx - 2 = 1(a 0,b 0)abx_a 或 x_-a, y RxR, y - -a,或 y - a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A _a, 0 ， A a,0A 0, - a ， A 0, a渐近线离心率e = c，e 1,其中 c=a准线2x*c线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长线段AA2 =2a 线段B B叫做双曲线的虚B B 2实虚轴轴，它的长B二加；a叫做双曲线的实半轴长，b叫

4、做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2 二 a2b2 (ca 0, c b 0)注意:2 2 2(1) 区分双曲线中的a, b, c大小关系与椭圆a, b, c关系，在椭圆中a = b + c ,而在双曲 线中 c2= a2 + b2.双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率 e (0,1).22.22xyby x(3)双曲线孑一4 1(a 0, b 0)的渐近线方程是y=x, a2 b2 = 1(a 0, b 0)的渐近线方a程是y=苇x.求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法:(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a, b, c的c方程或不等式，利用b2= c2

5、 a2和e= a转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式 求得离心率的值或取值范围.b 叮 c ak=；=V(2) 求渐近线时，利用c2= a2+ b2转化为关于a, b的方程或不等式双曲线渐近线的斜率与离心率的关系1.a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其中e. 2，渐近线.2共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲2 2线它们互为共轭互为共轭双曲线的方程为：笃一爲 (a 0,b0)和a b2 22xy = 1(a 0, b 0) a b1 1性质：它们有相同的渐近线它们的四个焦点共圆离心率满足 = 1.ee?类型一 双曲线的定义与

6、标准方程2 2若k R，贝U k3是方程 -=1表示双曲线的()k 3k+3B 必要不充分条件D既不充分也不必要条件A .充分不必要条件C.充要条件【答案】 A2 2 2 2【解析】若k3，则方程 y 1，表示双曲线；若方程 y 1表示k-3k+3k-3k+3k3a0 k3c0双曲线，则丿或丿解得k3或k 0k +3 c 0!U【教学建议】引导学生思考本题左边为加号时的情形2 2【总结与反思】本题考查双曲线的定义， 丄=1是双曲线的充要条件是 m、n异号.m n已知双曲线两个焦点的坐标为F, (-5,0), F2 (5,0),双曲线上一点P到F, F2的距离之差的绝对值等于8,求双曲线的标准方

7、程【解析】由题意知，双曲线的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为2 2笃-告=1(a 0,b 0)a b2 2所求双曲线标准方程为 x y 1.169【总结与反思】此题考查双曲线定义，点到两定点的距离之差为定值的点可能为双曲线，比较定点距离与距离之差的大小，写出标准方程.2 2已知双曲线 二生 =1(a 0,b 0)的一条渐近线平行于直线I: y= 2x+10,双曲线的一a2 b2个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()2 2A. x-y =15202 2B.x-y =1205c. 3x2251003x2 3y2D.110025b【解析】双曲线的渐近线方程为y= x,b因为一条渐近线与直线y=

8、2x+ 10平行，所以a = 2.又因为双曲线的一个焦点在直线y=2x+ 10 上，所以一2c+ 10= 0，所以 c= 5.故由 c2 = a2 + b2,得 25= a2 + 4a2,贝a2= 5, b2= 20,2 2从而双曲线方程为 乞一_L=i.520【答案】A【总结与反思】本题考查利用双曲线的几何性质求标准方程，属简单题，明白渐近线与双曲线标准方程的关系即可作答类型二 双曲线的几何性质x2 y2亚已知双曲线C: a2-1(a0, b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()D . y = 1 y= Ex故选 c.1A. y= jx1B. y= 3x1C. y = 2x【解析】-5 _1

9、 乂1 , C的渐近线方程为a. 42【答案】C【总结与反思】本题考查双曲线的离心率与标准方程的关系、双曲线渐近线离心率与渐近线斜率都与a、b、c之间的比值有关，所以求解时并不需求出 a、b、c的值，只要知道关系 即可作答已知F为双曲线C：X2 my2= 3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. ；3 B. 3 C. , 3m D. 3m2 2x22厂2【解析】由题意知，双曲线的标准方程为3m 3 = 1，其中a = 3m, b = 3,故c=、Ja + b =3m+ 3.不妨设F为双曲线的右焦点，故 F3m+ 3, 0) 其中一条渐近线的方程为 y = /ml衍rni|

10、x,即x ,my= 0，由点到直线的距离公式可得d = ”+(_ , m)2=, 3，故选A.【答案】A【总结与反思】 本题考查双曲线的简单几何性质，考虑先将方程化为标准形式，再把需要用的量用m表示出来，得出距离公式，约去变量m,得到距离.2 2已知双曲线E: a2活=1(a0, b0)，若矩形ABCD的四个顶点在 E上，AB, CD的中点为E的两个焦点，且 2AB|= 3|BC|,贝y E的离心率是 .【答案】2【解析】如图所示，由题意得|BC|= |FiF2|= 2 c.又 2|AB= 3|BC|,3|AF 2| = r： ； |AF 1 f + |F i F 2 f =2=5C. |AF

11、i|= 2C.在 Rt AF1F2 中,53 2a = |AF2| |AF i|= 2c 2c = c.ce= a = 2.【总结与反思】本题考查离心率的求法，在几何背景下求离心率问题要考虑矩形的特点，利 用三角形求离心率类型三 直线与双曲线综合问题2V过双曲线x2 3 = 1的右焦点且与X轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A, B两点,则 |AB|=()43A. 3 B. 2 .3 C. 6 D. 4 .32【解析】双曲线X2 卷=1的右焦点为F(2, 0)，其渐近线方程为,3xy= 0.不妨设 A(2, 2 3), B(2， 2 _3)，所以 RB|= 4.3，故选 D.【答案】D【总

12、结与反思】本题考查双曲线渐近线与直线与双曲线综合应用，属简单题， 直接求出渐近线，带入焦点横坐标，求出两点纵坐标即可得出两点距离.已知双曲线的中心在原点，焦点Fi, F2在坐标轴上，离心率为.2,且过点(4, . 10).(1)求双曲线方程； 若点M(3, m)在双曲线上，求证： MF1MF2= 0；(3) 求厶F1MF2的面积.【解析】(1) T e= 2, 设双曲线方程为x2 y2=入 又双曲线过(4， . 10)点,入=16 10= 6,双曲线方程为x2 y2= 6.证明 法一 由知a = b= 6, c= 2 3,-Fi（ - 2.3, 0）, F2（2 .3, 0）,mm kMF i

13、= 3 + 2 3, kMF2 = 3_ 23,2 2 m m- kMF i kMF2 = 9 12= 3,又点（3, m）在双曲线上，m2= 3, - kMF i kMF2 = 1, MFMF2, M? 1 MIF2 = 0.法二 / M|1 = （ 3 2風m）, mF2= （2羽3, m）, MF1 MIF2= （3 + 2 肩）（3 2护）+ m2= 3+ m2./ M在双曲线上， 9 m2= 6,- m2 = 3, - MF 1 MF 2= 0.在 F1MF2 中，|F1F2|= 4 ,3，且 |m|= 3,1 1 SA F1MF2= 2 IF1F2I | m|= 24 . 3 X.

14、 3= 6.【教学建议】双曲线中的证明问题， 可以利用双曲线的性质将所要证明的结论用坐标关系表 示出来，即可证得结论四、课堂运用1.下列双曲线中，渐近线方程为y= 2x 的是（）2y-=142m x 2“B . y2= 14C.2y-=122x 2 “D . y2= 122.已知F1, F2是双曲线x2的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交,其中一个交点为 P,则|PF2|=（B . 4 C. 2D. 13.已知双曲线C:2x2 - a2 y b2=1(a0,b0）的离心率5e= 4，且其右焦点为F2（5, 0），则双曲线C的方程为（)2222A. Xy =1B x -y =1439

15、162222C. X .y=1f x D -y =116934222 2xyxy4.若实数k满足0k0, b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P使得|PF1|9+ |PF2|= 3b , |PF1| |PF2|=4ab ,则该双曲线的离心率为 （）答案与解析1. 【答案】A【解析】对于A ,2令 X2-4得y= i2x;对于2XB，令4-y2= 0，得 y=x；对于 c,令2y_x2- 2 = 0,得 y= 士.2x；对于 d，令 2 y2= o,得 y= 2x.故选 a.2. 【答案】A【解析】由题意知 PF2I|PFi|= 2a,由双曲线方程可以求出 |PFi|= 4, a = 1,所以

16、|PF2= 4 + 2 = 6.故选 A.3. 【答案】C【解析】由题意得a + b = C，所以 a = 16, b = 9,b! 5e=+ a2 = 4,又右焦点为 f2(5 , 0),2 2& y故双曲线C的方程为16 9 = 1.故选C.4. 【答案】A【解析】 0k0, 25 k0.2 2 2 2x yx y 25 9 k= 1与25 k 9 = 1均表示双曲线,又 25+ (9 k)= 34 k= (25 k) + 9 ,它们的焦距相等，故选 A.2 2x y2 2x y 方程为9 16 =5【答案】g -16= 1（x3） 【解析】如图， ABC与内切圆的切点分别为 G, E,

17、F.AG|= |AE|= 8, |BF|= |BG|= 2, |CE|= |CF|,所以 |CA| |CB|= 8-2= 6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A, B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支,1（x3）.2 22 21. 已知ab0，椭圆Ci的方程为冷占=1，双曲线C2的方程为冷= 1 , Ci与C2a2b2a2 b2的离心率之积为2，则C2的渐近线方程为（）A . x 2y= 0B. 2x y= 0C. x2y= 0D. 2x y= 02 20, b0）上一点，M , N分别是双曲线E的左，右顶点,1直线PM , PN的斜率之积为5.求双曲线的离心率;答案与解析1. 【答案】A【解析】设

18、椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和良，则e1= a , e2= a .因为3a b 3 b 41 b _2e1 e2= 2，所以a = 2，即a = 4，二a= 2 .故C2的渐近线方程为x. 2y= 0.2. 【答案】C【解析】如图所示，由x y6 3 = 1 知,F1( 3,0), F2(3,0).设 M( 3, yo),则 yo= 2，取_6M( 3,2 ).直线 MF2 的方程为 2 x+ 6y 2 = 0，即 x+ 2.6y 3= 0.|一 3 3|6点Fi到直线MF2的距离为d = -1 * 24= 5.姮3.【答案】T2 2x V【解析】由点P(xo, yo)(xoM)在双

19、曲线a2 b2= 1上，=2yb-20X- a宀，yyo122由题意有xo a*+ a= 5，可得a = 5b ,c2= a2 + b2= 6b2,1.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为 2, 且过点(4, .10).点M(3, m)在双曲线上.(1)求此双曲线方程;求证：MF1 MF2= 0.2.如图，中心均为原点 O的双曲线与椭圆有公共焦点,M , N是双曲线的两顶点，若M , O,N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是B . 2C. .33.过点P(8,1)的直线与双曲线 x2 4y2= 4相交于A、D.B两点,)2且P是线段AB的中点，则直线AB的方

20、程为答案与解析1.【答案】B【解析】(1)：飞=2, 可设双曲线方程为 x2 y2 = 过点(4,屮0), 16 10=入即 X= 6.双曲线方程为x2 y2 = 6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中 a= b= 6, c= 2.3,- F1( 2 .3, 0)、F2(2 3, 0),.kMF1 = 3 + 2：3，kMF2= 3 3，2 2mmkMF 1 kMF 2= 9 12=一 3，点(3, m)在双曲线上， 9 m2= 6, m2= 3,故 kMF 1 kMF2= 1, MF 1 X MF2.- MF1 MF2= 0.2. 【答案】B【解析】本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法设椭

21、圆长轴长为2a,则双曲线实半ca2a aei 2轴长为7=2,所以离心率的比值e2=c=2.a3.【答案】2x-y 15= 0【解析】设A、B坐标分别为(xi, yi)、(x2, y2),则x2 4y? = 4x2- 4y2=4一得(Xi + X2)(xi X2) 4(yi + y2)(yi 丫2)= 0.T P是线段AB的中点，xi + X2= i6, yi + y2= 2,yi y2Xi + x2xi X2=yi + y2 = 2.直线AB的斜率为2,直线AB的方程为2x y i5 = 0.本节主要讲了三部分：双曲线的定义与标准方程、双曲线的几何性质、双曲线综合应用双曲线定义的应用主要有两

22、个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值 |PF i |PF2|= 2a（其中0v 2av |FiF2|）与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题；双曲线的标准方程与几何性质的考查比较频繁，主要是对离心率、渐近线与标准方程之间的2 2关系进行考查其中e= , e i, c= a2亠b2，渐近线方程可以将 斗-=i中aa2b2的i化成0求直线方程，避免忽略焦点在y轴的情形；双曲线综合应用中主要是双曲线与直线、双曲线与椭圆的综合应用，主要以大题形式考查.常用联立方程或者点差法转化条件，做题时应注意总结做法.2 2X，若顶点到渐近线的距i.已知双

23、曲线= i（a 0,b 0）的渐近线方程为a b离为 3，则双曲线的方程为（）第ii页2 x3y2彳2 x2y确2 x2y确3x22y确A.1B.1C.1D.144124412442 2xy_2.设双曲线a2 9 = 1（a0）的渐近线方程为3xi2y= 0，则a的值为（）A . 4B. 3C. 2D. 12 23. 已知双曲线 爲-彳 1过点2,-1，则双曲线的离心率为（）a 4A. .2 B. 2 C. 3D. 42 2x _y_4. 若双曲线E : 9 16= 1的左、右焦点分别为 Fi , F2,点P在双曲线E上，且|PFi|= 3,则 |PF2| 等于（）A . 11B. 9 C.

24、5D. 3答案与解析1. 【答案】B【解析】渐近线方程化简为x_、3y=0,顶点坐标 a,0，顶点到渐近线的距离为解得a = 2-、3，根据渐近线方程的斜率 -a于，可得心,所以双曲线的方程为第22页X212，解得a =a翌.由题意知a0, a= 2.故选C.2y 1.选 b.42.【答案】C【解析】渐近线方程可化为 y=x.T双曲线的焦点在x轴上,3. 【答案】C【解析】由题意可得:据此有 a = 1 ,b22=4,c2=a2 b2，则4. 【答案】B【解析】由题意知 a= 3, b = 4,. c= 5.由双曲线的定义有|PF1|PF2|= |3|PF2|= 2a= 6, -|PF2| =

25、 9.巩固2 21.“a _2”是 直线I :2ax -y 2a2 =0 ( a 0)与双曲线C :笃1的右支无交点a 4的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要2.已知双曲线1A3.已知双曲线条件C的离心率为2，焦点为Fi, F2,点A在C上.右|F识|= 2|F2A|,则cos / AF2F11B. 12 2C:予一b2= 1(a0, b0)，若存在过右焦点 F的直线与双曲线 C相交于A, B两点且AF = 3BF，则双曲线离心率的最小值为 ()A. ,2B. 3C. 2D. 2 2答案与解析1. 【答案】A【解析】因为直线I过双曲线C的左顶点且双曲线 C

26、的右支无交点，所以直线I的斜率不小22于双曲线C的渐近线y x的斜率，即2a _ ，又a 0，所以a _ 1，故选A.aa2. 【答案】AJF1AI- |F2A|= 2a,【解析】由题意得|F1A|= 2|F2A|,解得 |F2A|= 2a, |F1A|= 4a,c又由已知可得2= 2,所以c= 2a，即|F1F2|= 4a,|F2Af+ IF1F2I2 IF1AI2 4a2 + 16a2 16a21所以 cos/ af2F1=2 |F2A| |F1F2|=22aX4a= 4故选 A.3. 【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A, B两点且AF = 3BF，故直线与双曲线相 设 A(xi, yi), B(x2, y2)，右焦点 F(c, 0)(c0)，因为 AF = 3BF，所以 c xi= 3(c x), 3x2 交只能如图所示的情况，即 A点在双曲线的左支,B点在双