G3MN108——南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试

1、南京市、盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分 160 分，考试时间 120 分钟 )参考公式锥体的体积公式：V1 Sh ，其中 S 为底面积 , h 为高 .3一、填空题 （本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分 . 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合 Ax x21 0，B1,2,5，则 AB =.2i.2已知复数 z（ i 是虚数单位），则 | z |S11i3书架上有 3本数学书， 2 本物理书，从中任意取出2本，For I From 1 To 7 step 2则取出的两本书都是数学书的概率为.SS+ I4运行如图所示的伪代码，其结果为

2、.End For5某校高一年级有学生400 人，高二年级有学生360人，Print S现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55 人，其中第4题图从高一年级学生中抽出20 人，则从高三年级学生中抽取的人数为.6在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P(1,3) ，则其焦点到准线的距离为.xy50,7已知实数 x, y 满足 2xy20, 则目标函数 z xy 的最小值为.y0,8设一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10 的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为.9在ABC 中，设a,b, c分别为角A, B,C的对边，若 a5 ，3，则边c

3、 =.Acos B5410设 Sn 是等比数列an的前 n 项和， an0 ，若AS62S3 5，则 S9S6 的最小值为.11如图，在 ABC 中， ABAC1，DC2BD ，3，cos BAC3C则 AD BC 的值为.BD11 题第高三数学试题第1页（共 4页）12过点 P( 4,0) 的直线 l 与圆 C : ( x 1)2y 25相交于 A, B 两点，若点 A 恰好是线段 PB 的中点，则直线 l 的方程为.13 设 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，且f (x)2xmf ( x),x1,，设 g( x)x若函数2xf ( x),1,y g( x) t 有且只有一个零点，则实数

4、t 的取值范围是.x3x2 , x e,14设函数 y的图象上存在两点 P, Q ，使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角aln x,x e三角形（其中 O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数 a 的取值范围是.二、解答题 （本大题共6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15 (本小题满分14 分 )设函数f( )Asin(x)(A0,0,x) 的部分图象如图所示.x22R（ 1）求函数 yf ( x) 的解析式；y（ 2）当 x, 时，求 f ( x) 的取值范围 .222O5x36第15题图16 (本小题满分

5、14 分)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1 的侧面ACC1 A1 是正方形，点O 是侧面ACC1A1 的中心，ACB， M是棱BC的中点.2（ 1）求证：OM / 平面ABB1 A1 ；A1C1（ 2）求证：平面ABC1平面A1BC .B1OACMB第 16题图高三数学试题第2页（共 4页）17 (本小题满分14 分 )如图所示， A, B 是两个垃圾中转站，B 在 A 的正东方向 16 千米处， AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（ A, B, P 可看成三个点） ：垃圾发电厂到两个垃圾中

6、转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点 P 到直线 AB 的距离要尽可能大） . 现估测得 A, B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？北AB居民生活区第 17题图18 (本小题满分16 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点 M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C : x2y 21上一点，从原点 O 向x0 ) 2y0 ) 2r 24圆 M : (x( y作两条切线分别与椭圆C 交于点 P,Q ，直线 OP,OQ 的斜率分别记为 k1, k2 .（ 1

7、）若圆 M 与 x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；25（ 2）若 r.51求证： k1k2y；4求 OP OQ 的最大值 .QMPOx第 18题图高三数学试题第3页（共 4页）19 (本小题满分16 分 )已知函数fxax在 x 0处的切线方程为y x.( )（ 1）求 a 的值；ex（ 2）若对任意的 x(0, 2) ，都有 f ( x)1成立，求 k 的取值范围；2xx2k（ 3）若函数 g( x)ln f (x)b的两个零点为x1, x2，试判断 g ( x1x2 ) 的正负，并说明理由 .220 (本小题满分16 分 )设数列an 共有 m(m3) 项，记该数列前i 项 a

8、1, a2 , ai 中的最大项为Ai ，该数列后 mi 项ai 1, ai 2 , am 中的最小项为Bi ， riAiBi (i1,2,3, m1) .（ 1）若数列an 的通项公式为an2n ，求数列ri 的通项公式；（ 2）若数列an 满足 a11， ri2 ，求数列an 的通项公式；（ 3）试构造一个数列an ，满足 anbncn ，其中bn 是公差不为零的等差数列，cn 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列ri 都是单调递增的，并说明理由.高三数学试题第4页（共 4页）南京市、盐城市2016 届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分 40 分，考试时间 30 分

9、钟）21 选做题 （在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做2 题 ,每小题 10 分 ,计 20 分 .请把答案写在答题纸的指定区域内）A. （选修 4 1：几何证明选讲）如图， AB 为 O 的直径，直线 CD 与 O 相切于点 D ， ACCD，DEAB，C、E为垂足，连接 AD , BD . 若 AC4，DE3，求 BD 的长 .CDABOEB. （选修 4 2：矩阵与变换）第 21( A)题图设矩阵M0的一个特征值为2 ，若曲线 C 在矩阵 M 变换下的方程为xy1a22，求曲21线C 的方程.C（选修 4 4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点 A 的极坐标为 (2 2,)

10、，圆 E 的极坐标方程为4cos4sin ，试判断点 A 和圆 E 的位置关系 .4D (选修 4 5：不等式选讲）已知正实数 a,b,c, d 满足 abc d1.求证：12a12b12c12d26 .高三数学试题第5页（共 4页） 必做题 （第 22、 23 题 , 每小题 10 分 ,计 20 分 . 请把答案写在答题纸的指定区域内）22（本小题满分10 分）直三棱柱ABC A1B1C1 中， ABAC，AB 2，AC4， AA12，BDDC .（ 1）若1，求直线 DB1 与平面 AC11D 所成角的正弦值；（ 2）若二面角 B1 AC11 D 的大小为60 ，求实数的值 .A1C1B

11、1ACDB第22题图23（本小题满分10 分）设集合 M1,2,3, n (n 3) ，记 M 的含有三个元素的子集个数为Sn ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn .（1）求 T3 ， T4 ， T5 ， T6 的值；S3S4 S5S6（ 2）猜想 Tn的表达式，并证明之 .Sn高三数学试题第6页（共 4页）南京市、盐城市2016 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题 ：本大题共 14 小题，每小题5分，计 70 分.1.1103.34.175.176.97.38.2.10222 3, 3(0, 19.710. 2011.212.x

12、3y 4013.14.22e114二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 .高三数学试题第7页（共 4页）151A22T50T221.46324f (x)2sin( x)(, 2)22k( kZ )3362k( kZ )26.62f (x)2sin( x) .862x,x6, 2102233sin( x)3 ,1f (x)3,2 .1462161A1BCO AC1M BCOM / A1B .4OMABB1 A1 A1BABB1 A1OM / /ABB1 A1 .62ABCA1 B1C1CC1ABCCC1BCA

13、CBBCACCC1, ACACC1 A1CC1ACC2BCACC1 A1 .8AC1ACC1 A1BCAC1ACC AACACBC, AC1A BCBC AC1C1 1111AC1A1BC .12AC1ABC1ABC1A1BC .14PA505.21730.PB3PA5x, PB3xcosPAB(5 x)2162(3x)2x8.62165x105xPABhPA sinPAB5x1( x8 )21 x417 x264105x41( x234)2225.104x234x34h15.高三数学试题第8页（共 4页）即选址应满足PA534千米， PB3 34千米 .14分解法二：以 AB 所在直线为 x

14、 轴，线段 AB的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系 .2分则 A(8,0), B(8,0) .yPA505P由条件，得.4分PB303设 P(x, y)( y0) ，则3( x8)2y25(x8)2y2，OxAB化简得，( x2，1y7y分).10即点 P 的轨迹是以点（17,0 ）为圆心、15 为半径的圆位于x 轴上方的半圆 .则当 x17 时，点 P 到直线 AB 的距离最大，最大值为15千米.所以点 P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可 .14分18 解：（ 1 ）因为椭圆 C 右焦点的坐标为(3,0)，所以圆心 M 的坐标为 (3,1) ， .2分1 )212从

15、而圆 M的方程为 ( x3) 2( y.4 分24（ 2 ）因为圆 M 与直线 OP : yk1 x 相切，所以| k1 x0y0 |2 5，k1215即 (45x2 ) k210x y k45y20 ，6 分010010同理，有 (4 5x02 )k2210x0 y0k245y020 ，所以 k1 ,k2 是方程 (45x02 )k 210x0 y0 k45y020 的两根，8分1252从而 k1 k245y0245(14x0)14x0110分4 5x0 24 5x024 5x02.4yk1 x2424k12设点 P1( x1 , y1), P2 (x2 , y2 ) ，联立 x2y21，解

16、得 x114k12 , y114k12，12分4242 , y224k22，同理， x214k1224k2高三数学试题第9页（共 4页）所以 OP2 OQ2(424k122) (1424k222 )14k114k14k214k24(1k12 )4(1k22 )44k12116k1214分14k1214k2214k1214k12(520k12)225152， 当且仅当 k1时取等号 .所以 OP OQ 的最大值为分(14k12 ) 242.16219. 解：（ 1 ）由题意得f( x)a(1x)x0 处的切线方程为 yx ，ex，因函数在a所以 f(0)1 ，得 a1.4 分1（ 2 ）由（ 1

17、 ）知 f (x)x1对任意 x(0, 2)都成立，exk2xx2所以 k2xx20，即kx22x对任意 x(0, 2)都成立，从而 k0 .6分又不等式整理可得kexx22 x，令 g (x)exx22x ，xxg ( x)ex( x 1)ex2) 0，得 x 1，8所以x22( x 1) ( x 1)(x2分当 x(1,2) 时， g ( x) 0 ，函数 g( x) 在 (1,2) 上单调递增，同理，函数 g ( x) 在 (0,1) 上单调递减，所以kg( x)ming(1)e 1，综上所述，实数k 的取值范围是 0, e1) .10分（ 3 ）结论是 g ( x1x2 )0.11分2

18、11 x证明：由题意知函数g (x)ln xxb ，所以 g ( x)x1，xx1x2易得函数 g ( x) 在 (0,1) 单调递增，在 (1,) 上单调递减，所以只需证明1即可.12 分2因为 x1, x2 是函数 g( x) 的两个零点，所以x1bln x1lnxx2b，相减得 x2 x12 ，ln x2x1不妨令 x2t 1 ，则 x2tx1 ，则 tx1x1ln t ，所以 x11ln t ， x2tln t ，x1t1t1即证 t1 ln t2 ，即证(t)ln t2 t10 ，14 分t11)2t1因为(t )14(t0，所以(t ) 在 (1,) 上单调递增， 所以(t)(1)

19、0 ，t(t 1)2t(t1)2综上所述，函数g( x) 总满足 g ( x12x2 )0成立 .16分高三数学试题第10 页（共 4 页）20 解：（ 1 ）因为an2n 单调递增，所以Ai2i ， Bi2i1 ，所以 ri2i2i 12i ， 1i m1 .4 分（ 2 ）根据题意可知，aiAi， Biai 1 ，因为 riAiBi20，所以 AiBi可得 aiAiBiai1 即 aiai 1 ，又因为 i1,2,3, , m 1，所以 an 单调递增， 7 分则 Ai ai ， Biai1 ，所以 riai ai12 ，即 ai 1ai2 ，1im1 ，所以 an是公差为2 的等差数列，

20、 an12(n1)2n1， 1im1 .10 分（ 3 ）构造 ann( 1 )n ，其中 bnn ， cn( 1) n .12 分22下证数列an满足题意 .证明：因为 ann( 1 )n ，所以数列an 单调递增，2所以 Aiaii( 1)i ， Bi ai1i1( 1 )i 1 ，14 分22所以 riaiai 11 (1 )i 1 ， 1 i m1 ，2因为 ri 1ri 1 ( 1 )i 2 1 ( 1 )i 1 ( 1 )i 20 ，222所以数列ri单调递增，满足题意 .16 分（说明：等差数列bn 的首项 b1 任意，公差d 为正数，同时等比数列cn的首项 c1 为负，公比q(

21、0,1) ，这样构造的数列an都满足题意 .）附加题答案21. A 、解：因为 CD 与O 相切于D ，所以CDADBA ，2分又因为 AB 为O 的直径，所以ADB90 .又 DEAB，所以EDADBA ，所以EDADBA ，所以EDACDA. 4分又 ACDAED90 ， AD AD ，所以ACDAED .所以 AEAC4 ，所以 ADAE2DE 25 ，6 分又 DEAE ，所以 BDDEAD15.10 分BDADAE4B 、由题意，矩阵M 的特征多项式f ( )(a)(1) ，因矩阵 M 有一个特征值为2 ， f (2)0 ，所以 a 2 .4 分所以 Mx20xx，即x2x，y21y

22、yy2x(2xy8x4xyy1代入方程x2y21，得(2 x)2y)21，即曲线 C 的方程为22. 10分高三数学试题第11 页（共 4 页）C 、解：点 A 的直角坐标为 (2,2) ，2 分圆 E 的直角坐标方程为 ( x2)2( y2)28，6 分则点 A 到圆心 E 的距离 d(22) 2(2 2)24r22 ，所以点 A在圆 E外.10分D、解：因 ( 12a12b12c12d ) 24(12a12b12c12d ) ，6分又 abcd1，所以 (12a12b12c12d )224 ，即 12a1 2b12c12d2 6 .10分22 解：分别以 AB, AC, AA1 所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系 .则 A(0,0,0)，B(2,0,0)， C (0,4,0)， A1 (0,0,2)， B1(2,0,2) ， C1 (0,4,2)2 分（1）当1时， D 为 BC 的中点，所以 D(1,2,0)， DB(1,2,2) ，AC1(0,4,0)，11A1 D(1,2,2) ，设平面 AC11 D 的法向量为 n1( x, y, z)则4 y0(2,0,1) ，又 cosDB1, n1