高考数学(文科)压轴大题突破练(函数与导数【2】)(含答案)

1、22222222222222 0122 0132压轴大题突破练函数与导数 (二 )1已知函数 f(x)aln xbx .1 1(1)当 a2，b 时，求函数 f(x)在 ，e上的最大值；2 e2(2)当 b0 时，若不等式 f(x)mx 对所有的 a0， ，x(1，e 都成立，求实数 m 的取值2范围1解 (1)由题知，f(x)2ln x x2，2 2xf(x) x ，x x1 1当 xe 时，令 f(x)0 得 x 2；e e令 f(x)0，得 20，3h(a)在0， 上单调递增，h(a) h(0)x，2 minmx 对所有的 x(1，e 都成立1xe ，ex1，m(x) e .min2函数

2、 f(x)xln xax x(ar)(1) 若函数 f(x)在 x1 处取得极值，求 a 的值；(2) 若函数 f(x)的图象在直线 yx 图象的下方，求 a 的取值范围； (3)求证：2 013 2 012 .(1)解 f(x)ln x2ax.因为 f(1)0，所以 a0.(2)解 由题意，得 xln xax xx，22x 1xx 1x2 0132 012*所以 xln xax .xln x 1ln x设 h(x) ，则 h(x) .x x令 h(x)0，得 0xe，所以 h(x)在(0，e)上单调递增；令 h(x)e，所以 h(x)在(e，)上单调递减1所以 h(x) h(e) ，max

3、e1所以 a .eln x(3)证明 由(2)知 h(x) 在(e，)上单调递减，x所以当 xe 时，h(x)h(x1)，即ln x ln(x1) ，x x1所以(x1)ln xxln(x1)， 所以 ln x ln(x1) ，所以 x(x1)，令 x2 012，得 2 012 2 013 .3已知函数 f(x)ln xax1.(1)若函数 f(x)在点 a(1，f(1)处的切线 l 与直线 4x3y30 垂直，求 a 的值； (2)若 f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围；1 1 1(3)证明：ln(n1) (nn )2 3 n11(1)解 函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)

4、a.x所以 f(1)1a.所以切线 l 的斜率为 1a.因为切线 l 与直线 4x3y30 垂直，3 1所以 1a ，解得 a .4 41(2)解 若 a0，则 f(x) a0，f(x)在(0，)上是单调递增函数x而 f(1)1a0，f(x)0 不恒成立，故 a0.*2221 1考虑 a0，则当 x(0， 时，f(x) a0；a x1 1当 x ，)时，f(x) a0.a x1所以 f(x)在(0， 上是单调递增函数，a1在 ，)上是单调递减函数a1所以 f(x)的最大值为 f( )ln a.a要使 f(x)0 恒成立，只须ln a0 即可由ln a0，解得 a1，即 a 的取值范围为1，)(

5、3)证明 由(2)，知当 a1 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，且 f(x)在(0,1)上是增函数，f(1) 0，所以 ln xx1 在 x(0,1)上恒成立k k k 1令 x (kn )，则 ln 1 ，k1 k1 k1 k11 1 2 1 3 1 n 1令 k1,2，n，则有 ln ，ln ，ln ，ln ，2 2 3 3 4 4 n1 n1以上各式两边分别相加，1 2 n 1 1 1得 ln ln ln ( )，2 3 n1 2 3 n11 1 1 1即 ln (nn )2 3 n14已知函数 f(x)aln xx (a2)x.(1) 当 a1 时，求函数 f(x)的极小值；(2)

6、 当 a1 时，过坐标原点 o 作曲线 yf(x)的切线，设切点为 p(m，n)，求实数 m 的值； (3)设定义在 d 上的函数 yg(x)在点 q(x ，y )处的切线方程为 l：yh(x)，当 xx 时，若0 0 0g(x)h(x)0 在 d 内恒成立，则称点 q 为函数 yg(x)的“好点”当 a8 时，试问函数 y xx0f(x)是否存在“好点”，若存在，请求出“好点”的横坐标；若不存在，请说明理由1 2x 3x1 (x1)(2x1)解 (1)当 a1 时，f(x)ln xx 3x，f(x)2x3 (x0)，x x x1当 0x0，f(x)单调递增；21当 x1 时，f(x)1 时，

7、f(x)0，f(x)单调递增2222222x02所以当 x1 时，f(x)取到极小值2. (2)当 a1 时，f(x)ln xx x，1f(x)2x1 (x0)，x1 n0所以切线的斜率 k2m1 m m0m mln m ，m整理得 mln m10，显然 m1 是这个方程的解，又 yx ln x1 在(0，)上是增函数，所以方程 x ln x10 有唯一实数解，故 m1.(3)当 a8 时，f(x)8ln xx 10x，8f(x)2x10 ，x8函数 yf(x)在其图象上一点 q(x ，f(x )处的切线方程 h(x)(2x 10)(xx )x 10x 0 0 0 x 0 0 008ln x

8、.0设 f(x)f(x)h(x)，则 f(x )0，08 8f(x)f(x)h(x)(2x 10)(2x 10)x 0 x042(xx )(x) 0，x4若 0x 2，f(x)在(x ， )上单调递减， 0 0 x04所以当 x(x ， )时，f(x)f(x )0，0 x 00f(x)此时 2，f(x)在( ，x )上单调递减， 0 x 004所以当 x( ，x )时，f(x)f(x )0， x 0 00f(x)此时 x 时，f(x)f(x )0，0 0当 xx 时，f(x)0 恒成立，xx0所以点(2，168ln 2)为函数 yf(x)的“好点”故函数 yf(x)存在“好点”，“好点”的横坐

9、标为 2.中档大题规范练数列1已知公差大于零的等差数列a 的前 n 项和 s ，且满足：a a 64，a a 18.n n 2 4 1 5(1)若 1i21，a ，a ，a 是某等比数列的连续三项，求 i 的值1 i 21n(2)设 b ，是否存在一个最小的常数 m 使得 b b b 0，所以 a a ，所以 a 5，a 13.2 4 2 4a1d5， 所以a13d13，所以 a 1，d4.所以 a 4n3.1 n由 1i21，a ，a ，a 是某等比数列的连续三项，1 i 21所以 a a a ，1 21 i即 181(4i3) ，解得 i3.n(n1)(2)由(1)知，s n1 42nn

10、2n，1 1 1 1所以 b ( )，(2n1)(2n1)2 2n1 2n1所以 b b b1 2 n1 1 1 1 1 1 n (1 ) ，2 3 3 5 2n1 2n1 2n1n 1 1 1因为 ，2n1 2 2(2n1)21所以存在 m 使 b b b m 对于任意的正整数 n 均成立 2 1 2 n2设 s 为数列a 的前 n 项和，已知 a 0,2a a s s ，nnn n 1 n 1 1 n(1)求 a ，a ，并求数列a 的通项公式；1 2 n*22n 1n 12n 13n2n 1n nnnn 1*n 1nnn 1nnn nn nn1n012n2 n1(2)求数列na 的前 n

11、 项和n解 (1)令 n1，得 2a a a ，即 a a .1 1 1 1 1因为 a 0，所以 a 1.1 1令 n2，得 2a 1s 1a ，解得 a 2.2 2 2 2当 n2 时，由 2a 1s 2a 1s ，n n, n1 n1两式相减得 2a 2a a ，即 a 2a .n n1 n n n1于是数列a 是首项为 1，公比为 2 的等比数列 n因此，a 2 nn1.所以数列a 的通项公式为 a 2 . n n(2)由(1)知，na n2nn1.记数列n2 的前 n 项和为 b ，于是nb 12232 n2 . n2b 1222 n232 n2 .，得b 122 2 n2 2 1n

12、2 . n从而 b 1(n1)2 nn.即数列na 的前 n 项和为 1(n1)2 .n3设数列a 的前 n 项和为 s ，满足 2s a 2 1，nn ，且 a 1，设数列b 满足n n n n1 1 nb a 2 n nn.(1)求证数列b 为等比数列，并求出数列a 的通项公式；n n6n3(2)若数列 c ，t 是数列c 的前 n 项和，证明：t 3.n b n n nn(1)解当 n2 时，由2s a 2 1， n n12s a 2 1 n1 n2a a a 2n n1 nna 3a 2 ，n1 n从而 b a 2 3(a 2 )3b ， n1 n1 n n故b 是以 3 为首项，3

13、为公比的等比数列， nb a 2 n n33n13n，a 3 2 (n2)，n因为 a 1 也满足，于是 a 3 2 . 1 n6n3 2n1(2)证明 c ，n b 31 3 5 2n3 2n1 则 t ，n 3 3 3 3 3123nn1012nn1n1nnn 1nn1n3212a 1n222222221 3n 12221 1 3 5 2n3 2n1t ，3 n 3 3 3 3 32 1 2 2 2 2n1，得 t 3 n 3 3 3 3 3112 3 2n11 3 1 3131 2n12 3 32(n1)2 ，3n1故 t 3 3.14已知单调递增数列a 的前 n 项和为 s ，满足 s

14、 (a n)n n n 2 n(1)求数列a 的通项公式；n，n为奇数，(2)设 c n132a 1，n为偶数， n1求数列c 的前 n 项和 t . n n1解 (1)n1 时，a (a 1)，得 a 1，1 2 1 11由 s (a n)，n 2 n1则当 n2 时，s (a n1)，n1 2 n11得 a s s (a a 1)， n n n1 2 n n1化简得(a 1) nan10，a a 1 或 a a 1(n2)，n n1 n n1又a 是单调递增数列，故 a a 1，n n n1所以a 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 a n. n n(2)c n1，n为奇数， a 1

15、n132a 1，n为偶数， n1当 n 为偶数时，t (c c c )(c c c ) n 1 3 n1 2 4 n(1 1 1 n )3(2 2 2 )2 1 4 1 n 1 2n21 3n 22222n2n 2n9n2(n2)n22n1*nnn1 n3 3 3 3n2(14 )1 1 1 2 n 3 13 35 (n1)(n1) 14 21 1 1 1 1 1 1 n n ( )2(4 1)2 1 3 3 5 n1 n1 2 221n 2n4 . 2(n1)当 n 为奇数时，t (c c c )(c c c ) n 1 3 n 2 4 n11 1 1 n1 3(2 2 2 ) 2 1 4

16、1 (n1)1 21 1 1 1 1 1 1 n1 n1 ( )2(4 1)2 1 3 3 5 n n2 2 2n 2n92 .2(n2)2 (n为奇数)，所以 t n 2n4 (n为偶数).2(n1)2x3 15已知函数 f(x) ，数列a 满足 a 1，a f( )，nn .3x n 1 n1 an(1)求数列a 的通项公式；n1 m2 014(2)令 b (n2)，b 3，s b b b ，若 s 对一切 nn 恒成立，求n a a 1 n 1 2 n n 2n1 n最小正整数 m.解 (1)a231 a 23a 2 f( ) a ，n1 a 3 3 n 3nan2a 是以 1 为首项， 为公差的等差数列 n 32 2 1a 1(n1) n .n 3 3 31 1(2)当 n2 时，b n a a 2 1 2 1(n )(n )1 9