食品价格变动分析数学建模

1、装 订 线食 品 价 格 变 动 分 析摘 要本文在综合考虑不同地域的食品价格的基础上，分析了食品价格变动的特点、未来一段时间食品价格的预测以及食品价格与CPI的关系。针对问题一，我们首先将数据进行无量纲化处理，利用关联分析计算出各食品价格间的相关度；然后利用Q型聚类分析模型结合欧氏最短距离，将总体27种食品分为了6大类；最后，分别作出这6大类食品价格随时间变化的折线图，分析出食品价格波动的特点。针对问题二，我们利用了 GM（1，1）灰色预测模型。先进行数据的检验与处理，对原始数据进行一次累加，使数据有较强规律性，进而建立灰微分方程；再用最小二乘法，求解模型，利用所得的函数对六类食品的均价走势

2、进行拟合，并依次进行残差检验与级别偏差检验，均有(k) 0.1，(k) 0.1，达到了较高的精度要求，拟合效果很好；最后，通过拟合函数预测2014年5月份食品价格走势。针对问题三，我们先计算出食品、衣着、住房价格等居民格方面的消费价格与CPI的关联度，通过关联度，可以确定食品价格对CPI有着剧烈的影响，因此进一步检测以确定食品的价格是否可以用来预测CPI；然后，在对所涉及到的食品进行分类和分析各类食品价格走势的基础之上，结合了两个城市西安与武汉食品价格的数据，用多元线性回归分析求解出样本回归方程，作为总体回归方程的估计；模型的检验，用多重决定系数检验拟合程度，用F检验观测显著性，均达到了较高的

3、精度；最后，根据求解出的回归方程，发现用西安的少量食品价格预测CPI时，达不到最低的精度要求，误差很大，因此对于西安来讲，不能仅通过已知的少量食品价格来预测CPI；而对于武汉来讲，其拟合函数有较高的精度，可以通过少量食品价格来准确预测2014年5月份武汉居民消费价格指数CPI。最后是模型的评价与推广。其中，利用关联分析模型和聚类分析模型来解决分类问题很合理，基于最小二乘法的多元线性回归方程拟合具有良好的精度与可信度，能够得到不错的预测结果，具有较强实用和推广价值。关键词：关联分析模型 Q型聚类分析 GM（1，1）灰色预测 多元线性回归分析一、问题重述1.1 问题背景食品价格是居民消费价格指数（

4、CPI）的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是食品价格上涨将降低低收入群体的生活质量。1.2 问题提出根据已知的信息，建立数学模型解决以下问题：（1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。（2）对2014年5月份食品价格走势进行预测。（3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少的食品种类（这里，食品种类是指附件1表格中的商品名称，可以认为每一种商品名称即为一种食品种类）价格即能相对准确地计

5、算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？请至少选择两个有特点的城市进行说明。二、模型假设1) 收集到的相关的数据都准确可靠，可信度高；2) 食品零售价格每十天的平均价格与食品日平均价格的偏差很小，可以忽略不计；3) 食品的分类是按价格走势来划分的，同一类的食品价格的变化幅度可能有所不同，假设只要满足相同的价格走势即可；4) 假设在预测时间段内不存在经济发展状况、突发情况（如自然灾害）等能使食品价格波动显著的因素。三、符号说明：一组数列中的参考数列；：一组数列中的比较序列；:是比较数列对参考数列在k时刻的关联系数；：为数列对参考数列的关联度；：

6、欧式距离；：时间序列的原始数据：对原始数据进行一次累加后的数据：相对误差：级比偏差四、问题一4.1 问题分析该问题要求根据已知的统计数据，分析出我国食品价格波动的特点。因此，从题目的要求可以看出，食品的价格是我们所要分析研究的对象。但由于已知的食品种类有27种，数据量比较庞大，如果逐个地分析每一种食品的价格波动情况，势必导致过程繁琐，无概括性与简洁性。因此可以先对27种食品进行分类，分类的依据是各食品价格间的关联程度。由于每一类中的食品价格均具有相同的走势，因此可以逐类分析，即可得出我国食品价格的波动情况。4.2 建立模型关联分析模型用附表1中的数据， 建立矩阵： ，则 ，（i=1，2，27）

7、表示27种食品中某一种食品在给定时间段内没十天的平均价格。根据灰色系统理论中的关联分析理论，选取参考数列：，其中k表示时刻。假设有m个比较数列 ，（i=1，2，m） 则称 是比较数列对参考数列在k时刻的关联系数，其中p（在区间0，1中）为分辨系数，称一式中的，分别为两级最小差与两级最大差。一般来讲，分辨系数 越大，分辨率越大； 越小，分辨率越小。（1）式定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出定义3 称： 为数列对参考数列的关联度。综合以上所述，可以建立食品价格走势的关联分析模型模型：模型的求解

8、与结果根据附表提供在2014.1.1-2014.4.10时间段内的27种城市居民食品零售价格，以各种食品每十天的均价作为参考原始数据，通过MATLAB 实现式（3）的程序运算，得到关联度矩阵R ，部分结果显示如下表（程序代码见附录1，关联度完整矩阵见附录2）：表1.各食品间的部分关联度数据表粳米富强粉标准粉豆腐压榨一级粳米10.95090.98570.99050.9784富强粉0.952210.93970.9580.9334标准粉0.98550.937610.97930.9912豆腐0.99050.95690.979510.9724压榨一级0.97820.93090.99120.972115L

9、桶装0.9390.89480.95240.93330.9595一级散装0.95960.91630.96790.95670.9729猪肉后臀尖(后腿肉)0.66110.63580.66860.65760.6719五花肉0.66570.63960.67330.6620.6767腿肉0.95630.90980.96920.94980.97384.3建立模型Q型聚类分析模型在本模型中，采用精度较高的最短距离聚类法，计算各相关度的距离时采用欧式距离： 最短距离聚类法是在原来的mm距离矩阵的非对角元素中找出 ，把分类对象Gp和Gq归并为一新类Gr，然后按计算公式 计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到一

10、个新的（m1）阶的距离矩阵；再从新的距离矩阵中选出最小者，把Gi和Gj归并成新类；再计算各类与新类的距离，这样一直下去，直至各分类对象被归为一类为止。这样，就可以作出动态聚类图，在根据聚类图将27种食品根据价格走势的近似程度分为若干类。模型的求解与结果附表当中总共列出了27种食物，现从第一种到最后一种依次编号为1-27，根据上述的Q型最短距离法聚类法的算法步骤，利用MTLAB 编写相关程序代码（见附1），得到的聚类图以及将得出的结果加以整理如下：图1.聚类图由聚类图可知，按照均价走势的的不同特点，所涉及到的食品被分成了六类，他们分别是： 1、 豆角2、 西红柿3、 油菜、香蕉（国产）4、 猪肉

11、后臀尖（后腿肉）、五花肉5、 大米（粳米）、面粉（富强粉）、面粉（标准粉）、豆制品（豆腐）、花生油（压榨一级）、大豆油（5L桶装）、菜籽油（一级散装）、牛肉（腿肉）、羊肉（腿肉）、鸡（白条鸡）、鸡（鸡胸肉）、鸭（白条鸭）、鸡蛋（散装鲜鸡蛋）、活鲤鱼、活草鱼、带鱼、大白菜、芹菜、土豆、苹果（富士苹果）6、 黄瓜4.4结果的分析与食品价格波动特点的情况为了进一步说明各种食品归类的合理性以及各类食品的均价走势特点，现结合各类食品的均价走势图加以更为直观的说明，由于第五类所包含的食品种类相对较多，各自选取其中几种食品的均价走势作图，而第一、类各自只包含一种食品，故只需作出每种食品的均价走势图即可，图走

12、势及每类食品的特点如下：为了能直观地说明食品价格波动的情况，现依次作出这六大类食品价格变化的曲线图图2.第一类食品价格走势该图由第一类食品中的豆角的平均价格走势构成，第一类食品有以下的特点：在2014.1.1到2014.1.30这段时间内，食品价格持续增长；在2014.1.30到2014.2.10日这段时间内，趋于平稳，略有下降；在2014.2.10到2014.4.10时间段内，持续下降。总的来说，这类食品先大幅增长，短暂平稳后，大幅下降，波动较大。图3.第二类食品价格走势该图由第二类食品中的西红柿的平均价格走势构成，有以下的特点：在2014.1月份内价格持续增长；到二月份开始回落，在二月中旬

13、达到小低谷后开始反弹；到三月份开始又呈大幅下降趋。总的来说，这类食品价格有较大的波动。图4.第三类食品价格走势该图由第三类食品中的油菜和香蕉的平均价格走势构成，有以下的特点：在统计时间段，即2014.1.1到2014.4.10这段时间内，略有变化，波动不大。图5.第四类食品价格走势该图由第四类食品中的猪肉后臀尖（后腿肉）、五花肉的平均价格走势构成，有以下的特点：在整个统计时间内称明显的下降趋势。图6.第五类食品价格走势该图由第五类食品中的大米（粳米）、面粉（富强粉）、面粉（标准粉）、豆制品（豆腐）、花生油（压榨一级）、大豆油（5L桶装）、菜籽油（一级散装）、牛肉（腿肉）、羊肉（腿肉）、鸡（白条

14、鸡）、鸡（鸡胸肉）、鸭（白条鸭）、鸡蛋（散装鲜鸡蛋）、活鲤鱼、活草鱼、带鱼、大白菜、芹菜、土豆、苹果（富士苹果）的平均价格走势构成，第五类食品有以下的特点：这类食品平均价格很平稳，在统计时间内没有明显的波动。图6.第五类食品价格走势该图由第六类食品中的黄瓜的平均价格走势构成，有以下的特点：在2014.1月份内价格持续增长；在二月初达到顶峰后开始逐渐回落。有一定的波动性。总的来说，六类食品的价格走势曲线各不相同，之间的差别很大，从而说明的分类的准确性。五、问题二5.1 问题分析问题二要求预测2014年5月食品价格的走势。如果对27种食品中每一种都进行预测，显然过程繁琐，也没有代表性与统一性；而如

15、果仅从27种食品中挑出一种或几种来预测分析，显然又不能全面地、准确地预测全国食品价格的走势。因此，可以在问题一的基础上，预测每个大类食品价格的走势即可，因为每类中各种食品的价格走势大致一样，考虑到每种食品的规格等级、计量单位对食品均价走势的影响，应先对数据进行标准化和平均化，然后采用GM（1，1）灰色预测模型，求解之后对价格进行预测。5.2 建立模型GM（1，1）灰色预测模型数据的无量纲化与标准化处理由于在同一大类中不同食品的单价不同，为了便于处理数据，采用下式对原始数据进行无量纲化处理：然后对无量纲化后的数据取平均值，作为时间序列的原始数据，即：用matlab可以绘制出六类食品价格数据处理后

16、的散点图：图7.六类食品均价处理后数据散点图建立模型对原始数据进行一次累加，得：构造数据矩阵B 及数据向量Y ， ，计算 ，建立微分方程，根据上述微分方程，可以得到如下预测值：, 同时有模型的检验模型的检验包括两个部分：残差检验与级别偏差检验。残差检验时，令相对误差为（k），计算：如果，（k）0.2,则可以认为达到了一般的要求，如果（k）0.1,则达到了较高的要求。在级别偏差检验时：首先由参考数据计算出级比（k），再用发展系数a求出相应的级比偏差如果，（k）0.2,则可以认为达到了一般的要求，如果（k）m），由（17）得记 ， ， ， 则式（17）可以表示为 其中En为n阶单位矩阵。对于模型（

17、17）中的参数（0，2，n）可以用最小二乘估计法6.3 模型的求解与检验现收集到了西安与武汉两市各类食品价格的数据。西安市西安市月度各项价格指标见附录2.基于多元线性回归模型，可得到如下表所示：表9.西安各项指标的值值置信区间(bint)0-0.1367-9.64619.372610.34380.33240.355220.0055-0.04730.058330.09030.08390.096740.04120.00270.079850.12160.06620.17760.09180.07040.113270.12950.11560.143580.17760.14480.2103=0.9981

18、,F=996.7411,p=00.05,=0.0001分析表可知，拒绝回归方程的概率p=0.41000.05；用Matlab命令finv（0.95，1，n-2）计算得到=5.5914F；与1相距较远，说明模型精度不满足。为了更直观的表明该结论，我们在这里仍然给出方程与预测值。与CPI的模拟多元线性方程：用求解模型得到的模拟方程可以预测西安市2014年5月份的CPI数据如下表：表11.西安预测的CPI值商品名称粳米菜籽油花生油模拟并预测CPI标准化模拟并预测CPI值模拟并预测CPI变化率（上月=100）2013年6月1111.0184101.63632101.636322013年7月1.0067

19、111.0082100.6183698.998432013年8月1.0083111.0057100.3688699.752032013年9月1.005111.0108100.87784100.507112013年10月1.0033111.0134101.13732100.257222013年11月1.0033111.0134101.137321002013年12月1.0033111.0134101.137321002014年1月1.0033111.0134101.137321002014年2月1.0033111.0134101.137321002014年3月1.0033111.0133101.

20、1273499.990132014年4月1.005111.0107100.8678699.74341可以看出，这些食品的价格并不能准确的预测西安的CPI数据。武汉市武汉市月度各项价格指标见附录表2.基于多元线性回归模型，可得到如下表所示：表12.武汉各项指标的值值置信区间(bint)0-7.2644-22.74558.216710.31170.29260.330820.039-0.08210.1630.01680.07870.154940.06560.02620.105150.09860.05290.144360.12350.03620.210970.12820.07670.179680.18

21、940.14050.2383=0.9952 ,F=439.2472, p=00.05, =0.0019分析表格可知，食品价格系数为1=0.3438，即当食品价格变化1时，CPI将会有0.3438的改变，均高于其它指标的系数，可见食品价格的变化会对CPI产生重要影响。下面分析在食品中，该地区各种食品价格与CPI的关联度，可以用问题一中已建立的关联分析模型。由此得出的数据如下表：表12.武汉食品价格与CPI相关度食物种类CPI鲤鱼0.9628鲜羊肉0.946菜籽油0.9388 花生油0.9374 草鱼0.9304 大豆油0.9267 土豆0.9253 带鱼0.9084 芹菜0.9061 鲜猪肉0.

22、891 鸡蛋0.8845 鸡肉0.8549 香蕉0.8424 苹果0.8108 大白菜0.7386 油菜0.7094 豆角0.6751 西红柿0.6077 黄瓜0.6064分析表10可知，鲤鱼、鲜羊肉和菜籽油的价格与CPI的关联程度最高，因此可以用这几项的价格指标来预测CPI。求解模型多元线性回归模型可以得到上述几种食品的值：值置信区间(bint)00.98500.76021.20971-0.0883-0.46390.287420.18150.03210.33083-0.0744-0.49080.3419=0.8867 ,F=13.0488, p=0.00840.05 , =0与CPI的模拟多

23、元线性方程：用求解模型得到的模拟方程可以预测西安市2014年5月份的CPI数据如下表：表13，武汉预测的CPI值食品名称菜籽油鲜羊肉鲤鱼CPI标准化CPI值CPI变化率（上月=100）2013年6月1111.0037100.5707100.57072013年7月1.0084111.003100.5006100.50062013年8月0.98910.99030.99681.0032100.5206100.01992013年9月0.97110.95961.0093101.1319100.60812013年10月0.955410.96771.0101101.212100.07922013年11月0.

24、97811.01170.97251.0098101.18299.97042013年12月0.95931.06370.99191.0195102.1539100.96052014年1月0.98211.09291.01781.0209102.2942100.13732014年2月0.98751.13851.02581.0281103.0156100.70522014年3月0.9931.15731.02581.031103.3062100.28212014年4月0.99531.14151.0211.0283103.035799.7382为了更进一步说明预测的可靠性，这里给出折线图：从图中可以看出，这

25、三种食品的价格与CPI的数值相关度很高，可以近似用这三种食品的价格预测CPI值。综上所述，武汉市可以用菜籽油、鲜羊肉和鲤鱼的价可预测CPI，而西安不能用几样食品的价格准确预测CPI。故并不是所有城市都可以用少量食品就能准确预测该城市的CPI指数，应当根据具体城市情况分析而下结论。七、模型的评价对于问题一，模型一运用灰色理论计算关联度作为评判走势的量值，建立了关联分析模型弥补了采用线性相关系数在价格走势方面不完全符合实际情况的缺点，并且建模过程简单，准确.模型二采用Q型短距离聚类分析法对所涉及到的食品的零售价格走势等模糊性质进行了定量地确定，合理地分型化类。对于问题二中的基于最小二乘法GM（1，

26、1）灰色预测模型，采用了指数函数拟合的方法，相比于多项式拟合模型，线性拟合，二次多项式拟合，大大提高了拟合以及预测精度。对于问题三的多元线性回归模型，综合考虑了多个变量对单个变量的影响，使预测的准确性大大提高。但本文中也有一些不做之处，比如对于问题一种的要求对所涉及到的食品进行分类，本文仅根据食品均价走势的相似性进行了分类，因而采用了食品零售均价走势灰色关联模型，使得分类指标较单一，未对各食品之间的内在关联进行过深挖掘，这可能质导致最终分类结果过于不平衡（如每类食品数量差别较大）的原因。八、模型的推广本文中所涉及到的关联度分析模型和灰色预测模型具有很好的推广价值。灰色系统理论提出了一种新的分析

27、方法关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。这种方法已应用到农业经济、水利、宏观经济等各方面，都取得了较好的效果。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做

28、较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。九、参考文献1 . 贾俊平 统计学（第四版），北京：中国人民大学出版社，2011-02；2 . 梁进，陈雄达，张华隆 数学建模讲义，上

29、海：上海科学出版社，2014-013 .李小民，王栎鑫，李恒 近期我国食品价格的分析 ，北邮学报，2012-094 .中华人民共和国国家统计局: /;5 . 武汉市物价局:/cms/frontpage/price_monitor/PriceTypeList.action?type=16 .西安市物价局：/ptl/def/def/index_1285_3890.html附录一相关度分析clc,clearload data.txt %把原始数据存放在纯文本文件dat

30、a.txt 中n=size(data,1);for i=1:ndata(i,:)=data(i,:)/data(i,1); %标准化数据endck=data(1:n,:);m1=size(ck,1);bj=data(1:n,:);m2=size(bj,1);for i=1:m1for j=1:m2t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:);endjc1=min(min(abs(t);jc2=max(max(abs(t);rho=0.5;ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2);rt=sum(ksi)/size(ksi,2);r(i,:)=rt;endr 分类代码

31、（最短距离聚类法）clc ,clearload xiangguandu.txtx=xiangguandu;y=pdist(x,Euclid);yc=squareform(y);z=linkage(y);h=dendrogram(z)y=cluster(z,6)ind1=find(y=2);ind1=ind1 ind2=find(y=1);ind2=ind2 ind3=find(y=3);ind3=ind3 ind4=find(y=4);ind4=ind4 ind5=find(y=5);ind5=ind5 ind6=find(y=6);ind6=ind6 绘制各类图形load data.txtx

32、=1:10; y0=data;y=y0(,:); %代第N组数据的序号进 plot(x,y) 问题二数据标准化及灰色算法的matlab 程序clear;clc;load data.txt;X=data;n=27;%数据标准化处理for i=1:nfor j=1:10Q(i,j)=X(i,j)./X(i,1);endend%构造各类食品统一的均价数据A(1,:)=Q(22,:);A(2,:)=Q(24,:);V(1,:)=Q(8,:);V(2,:)=Q(9,:);V(3,:)=Q(21,:);W(1,:)=Q(1,:);W(2,:)=Q(2,:);W(3,:)=Q(3,:);W(4,:)=Q(4

33、,:);W(5,:)=Q(5,:);W(6,:)=Q(6,:);W(7,:)=Q(7,:);W(8,:)=Q(10,:);W(9,:)=Q(11,:);W(10,:)=Q(12,:);W(11,:)=Q(13,:);W(12,:)=Q(14,:);W(13,:)=Q(15,:);W(14,:)=Q(16,:);W(15,:)=Q(17,:);W(16,:)=Q(18,:);W(17,:)=Q(25,:);W(18,:)=Q(26,:);W(19,:)=Q(27,:);%用x0存储各类食品的均价标准化后的原始数据x0(1,:)=mean(A);x0(2,:)=Q(23,:);x0(3,:)=me

34、an(V);x0(4,:)=Q(20,:);x0(5,:)=Q(19,:);x0(6,:)=mean(W);t=1:10;%所研究的食品的均价数目%各类食品的均价标准化后的原始数据走势图subplot(2,3,1)plot(t,x0(1,:),r.);title(类食品);xlabel(时间/10d);ylabel(相对均价);subplot(2,3,2)plot(t,x0(2,:),r.);title(类食品);xlabel(时间/10d);ylabel(相对均价);subplot(2,3,3)plot(t,x0(3,:),r.);title(类食品);xlabel(时间/10d);ylabel(相对均价);subplot(2,3,4)plo