完整版容斥原理习题加答案

1、1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学 实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- AH B得AH B=25,所以答案为B。2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25%是白色的,75%是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝 色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为AHB,本题设小号和蓝色分别为两个事件 A和B,小号占50%蓝色占75%直接代 入公式为

2、：100=50+75+10- AH B，得：AH B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计 师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有 47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有 46人,不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？()【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47 (x+24)+(z+24)+(y+24)+24+15=199

3、 (x+z+y) +24+24+24+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。 其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人()A.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12,再推其他部分数字：

4、根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- 18+16+ (12+ x) +12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。52= x+12+4+Y= 14+12+4+Y 得到Y= 22人。5. 某班统计考试成绩，数学得 90分上的有 25 人;语文得 90分以上的有 21 人;两科中 至少有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科都在 90 分以上的有多少人 ?解：设 A= 数学成绩 90 分以上的学生 B= 语文成绩 90 分以上的学生 那么，集合A U B表示两

5、科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，I A I =25， I B I =21， I A U B I =38现要求两科均在90分以上的学生人数，即求IAQB I,由容斥原理得I APB I = I A I + I B I - I A U B I =25+21-38=8点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A , B,并且会表示 A U B , APB，再利用容斥原理求解。6. 某班同学中有 39人打篮球, 37人跑步, 25人既打篮球又跑步,问全班参加篮球、 跑步这两项体育活动的总人数是多少 ?解：设 A= 打篮球的同学 ;B= 跑步的同学 则 AP B= 既打篮球又跑步的同学 AU B

6、= 参加打篮球或跑步的同学 应用容斥原理 I A U B I = I A I + I B I - I APB I =39+37-25=51（人）7. 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组,参加数学小组的有23人,参加语文小组的有 27人, 参加外语小组的有 18人;同时参加数学、 语文两个小组的有 4人, 同时参加数学、外语小组的有 7人,同时参加语文、外语小组的有5 人;三个小组都参加的有 2 人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人 ?解1 :设A=数学小组的同学, B=语文小组的同学 , C=外语小组的同学, AP B=数 学、语文小组的同学, AP C=参加数学、外语小组

7、的同学 , BP C=参加语文、外语小组的同学 , AP BP C= 三个小组都参加的同学 由题意知：l A I =23, I B I =27,1 C I =18I APB I =4, I AAC I =7 ,I BAC I =5, I AA BAC I =2根据容斥原理二得：I A U BU C I = I A I + I B I + I C I - I AAB I - I AA C|- I BA C|+|A A BAC I=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人）山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法解2 :利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结

8、果。设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域四（即AA BA C）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域W表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2（人）。区域W表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人）。区域V表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3（人）。区域I表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14（人）。同理可把区域H、川所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域 内，则参加课外小组的人数为；14+20+8+2+5+3+2=54（人）点评：解法2

9、简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来 了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。8某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有 77人能干车工工作，86人 能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人？解：工人总数100，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为163,然后找出这一公共部分，即163-95=689某次语文竞赛共有五道题（满分不是100分），丁一只做对了（1）、（2）、（3）三题得了 16分;于山只做对了（2）、（3）、（4）三题

10、，得了 25分;王水只做对了（3）、（4）、（5）三题，得了 28分， 张灿只做对了（1）、（2）、（5）三题，得了 21分，李明五个题都对了他得了多少分？解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰 好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+30+28+21=120。因此，五道题满分总和是120七=40。所以李明得 40分。10.某大学有外语教师 120名，其中教英语的有50名，教日语的有 45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？解

11、：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课 的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理，至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14（人）L对艇门大学汁算机系100名学生竝行河果发现ftin鸟欢迓MBA和足球、香车.其中就人 喜欢看NBAS人客款君赛卑,52人喜欢看足球客坎看NBA 乂喜欢看參车的有】因人*既客蛊看足厚及喜欢看赛车的右人*三静赫轉欢希的宥12人丫则貝喜然看足璋的有：九22人K2S AU30人D沂人2.外诣学校有英语、袪日谄救呻其阶人，翦叩只能戟英囲的有&人，只能教日龄的育石人陡ft 英*日蔚的有5人，能載法，日带的有3人陀教英*怯蜡的有电人，三种都能教的有2人则貝能敕怯语 MWi他斗人風5人人D.7fifcfrft对】端人的制査兄示就釋由的与不魯欢餐山的人散比为5,初真欢游冰的与不海狀游激的人数比为7阴种活功榔尊欢的疽43人对这两种活动都不喜吹豹人敷是*A. ISK27C26Q324.某个班的全体学生进行短跑、游泳.篮球三个项目的测试梢4名学生在这三个项目上祁汝冇达 到优弄，其余毎人至少有一个项目达到了优秀.这部分学生达到优秀的项