完整版相似三角形证明技巧整理

1、实用文档相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形（1）三角形相似的条件：、两个三角形相似的六种图形:条件DEBC条件务条件条件厶d条件AD是RtABC，:斛边上的高只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决 三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；已知 寸等J找另一角两角对应相等，两三角形相似* 知对 i 找夹边对应成比例两边对

2、应成比例且夹角相等，两三角形相似i找夹角相等*两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似边对应成比例，两个直角三角形相似人士 找另一角两角对应相等，两三角形相似C）己知一个直彳L找两边对应成比例判定定理2找顶角对应相等k判定定理1d）有等腰关-找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e）相似形的传递性若2,3,则3四、“三点定形法”， 即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例 式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个 三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，

3、再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个 不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。这样反而使问题有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线, 复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知：如图, AB（中 ,CE丄AB,BF丄AC.求证:AE ACAF BA（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD是Rt ABC的斜边 AB上的高，/ BAC的 平分线分别交 BC、CD于点E、F, AC AE=AF AB吗？ 说明理由。分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？）例3、已知：如图， A

4、BC中，/ ACB=90, AB的垂直平分线交交BC延长线于F。求证：cD=DEDF。分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？）五、过渡法（或叫代换法）1、等量过渡法（等线段代换法）例1 :如图3, ABC中，AD平分/ BAC , AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E.求证：DE2=be- ce分析：标准文案2、等比过渡法（等比代换法） 例2 :如图4,在AABC中，/ BAC=90 , AD丄BC, E是AC的中点,AB的延长线于点F.AB DF求证：一ED交D 国斗AC AF3、等积过渡法（等积代换法）例3:如图5，在ABC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上

5、的高，G是DC延长线上一点，过 B作BE丄AG，垂足为E,交CD于点F. 求证：CD2= DF- DG.小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似； 不相似，不用急：等线等比来代替。同类练习：1. 如图，点 D、E分别在边 AB、AC上，且/ ADEN C 求证：(1)A ADEA ACB;(2)AD- AB=AE- AC.2. 如图，A ABC中，点 DE在边BC上，且A ADE是等边三角形，/ BAC=120 求证：（1 ）A ADBA CEA;(2) DE2=BD- CE;(3) AB - AC=AD BC.3. 如图， 平行四边形 ABCD中，E为BA延长线上一点，/

6、D=Z ECA.求证：AD- EC=AC EB5.如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F, 求证：FC2=FG EF.6.如图，E是正方形 ABCD边BC延长线上一点，连接求证：FM=CF.AE交CD于F,过F作FIM/ BE交DE于M.7. 如图， ABC中，AB=AC点D为BC边中点，CE/ AB,BE分别交AD AC于点F、G 连接FC. 求证：（1） BF=CF.9如图，四边形 ABCD中, AB/ CD,AB丄BC,AC丄 BD AD= BD 过 E 作 EF / AB交 AD于 F. 是说明：(1) AF=BE;(2)AF2=AE EC.实用文档

7、10. A ABC中,/ BAC=90 ,AD丄 BC,E 为 AC中点。 求证：AB:AC=DF:AF。11. 已知，CE是RTA ABC斜边AB上的高，在 EC延长线上任取一点 P,连接AP,作BGL AP,垂足为G ，交CE于点D.试证：CE2=ED- EP.六、证比例式和等积式的方法：可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截;平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幕.例1 如图5在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高,DF丄AB于F，交AC的延长线于H，(2)FD 是 FG 与 FH例2 如图6， ABCD中，E是BC上的

8、一点,Safbe= 18，求：(1)BF: FD(2)SafdaAE 交 BD 于点 F，已知 BE： EC = 3： 1，AD交 BE 于 G，求证：(1)FG / FA= FB / FH标准文案E-A例3 如图7在ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N .求：AN :实用文档AB的值;例4求证:如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交AC于F，过F作FG / AB交AE于G.AG 2= AF XFC例5求证:如图在 AABC中，D是BC边的中点，且AD = AC , DE丄BC ABCFCD ; (2)若 Scd = 5, BC = 10,求

9、DE 的长.D例6如图10过AABC的顶点C任作一直线与边 AB及中线AD分别交于点F和E .过点D作DM /FC交AB于点M .若Szaef : S四边形MDEF = 2 :求证：AEXFB = 2AF XED图例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，ZADP与ZQCP相似?例8 己知如图12在梯形 ABCD中，AD / BC,Z A= 90, AB= 7, AD = 2, BC = 3.试在边 AB上确定点P的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似.例9.如图，已知 ABC中，AB=AC , AD是B

10、C边上的中线,BA , BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE PF。例10 .如图，已知：在 ABC中，/ BAC=900 , AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。求证:AB _DF标准文案八、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段 或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以 下几种：（一）、作平行线例1.如图， ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD = AE，DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BFCFBDCE例2.如图， ABC中，AB

11、FC4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用三点定形法”确定要证明的两个三角形相似、例5 如图在 AABC中，D是BC边的中点，且AD = AC , DE丄BC,交AB于点E, EC交AD于点F . 求证：ABCFCD ;若 S济cd = 5, BC = 10,求 DE 的长.5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相 似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.例6如图10过AABC的顶点C任作一直线与边 AB及中线AD分别交于点F和E .过点D作DM /图FC交AB于点 M .若SeAEF : S

12、四边形mdef = 2： 求证：AEXFB = 2AF XED6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性 质得到两线段的比注意平截比定理的应用.例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，ADP与QCP相似?P所在的位置本题是开放7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点 性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.例8 己知如图12在梯形 ABCD中，AD/ BC,/ A= 90, AB= 7, AD = 2, BC = 3.试在边 AB上确 定点P的位置，使得以 P、A、D为

13、顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似.8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P所在的位置本题有多个位置，应注意计算，严防漏解.例11.如图，已知 ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF / BA，BF交AD于P点，交 AC 于E点。求证：BP2=PE PF。11分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知 AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,由线段垂直平分线的性质知 PB=PC，只需证明 PECs PCF,问题就能解决了。例12 .如图，已知：在

14、ABC中，/ BAC=900 , AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于求证:AC AFF。12分析：比例式左边 AB , AC在厶ABC中，右边DF、AF在厶ADF中，这两个三角形不相似，因此本 题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。七、 确定证明的切入点 。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一， 从“已知”入手，通过推理论证,得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”； 第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。八、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的

15、辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段 或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以 下几种：（一）、作平行线例1.如图， ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E，且使AD = AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证:BFBDCFCEA例 2.如图， ABC 中，ABAC , AB DF=AC EF。DE, BC的延长线相交于点 F,证明:例3、如图45 , B为AC的中点,E为BD的中点，贝U AF : AE=0E交例4、如图4-7，已知平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD交于0点，E为AB延长线上一点,BC 于 F，

16、若 AB=a , BC=b , BE=c,求 BF 的长.例5、 ABC中，在 AC上截取 AD，在CB延长线上截取 BE，使AD=BE，求证:DF ?AC=BC ?FE例6:如图 ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于 E,交AB于F,求证：AE: ED=2AF FB。（二）、作延长线AB于例7.如图，Rt ABC中，CD为斜边 AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交 BC于F, FG2G，求证：FG2=CF?BFCB1AF AD例8 .如图4-1，已知平行四边 ABCD中，E是AB的中点，3 ，连E、F交AC于G.求AG :AC的值.（三）、作中线例10:已知：如图， AB

17、C中，AB = AC , BD丄AC于D .求证：BC 说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并 且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.= 2CD AC .中考综合题型1.已知：如图，在 ABC中，AB AC, A 36 ,BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2 DC AC .(2)要说明线段的乘积式 ab cd，或平方式a2 be，般都是证明比例式，a d，或b 里, c b a e 再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.2.如图，矩形ABCD中，AD 3厘米，AB a厘米(a 3) 动点M , N同时从B点出发，分别沿B

18、A, B C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于 AB ,分别交AN , CD于P, Q 当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为 t秒.(1) 若a 4厘米，t 1秒，则PM 厘米；(2) 若a 5厘米，求时间t,使 PNBPAD，并求出它们的相似比；(3) 若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求t(用表示)3.如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 AB、BC匀速运动，其中点 P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点 都停止运动，设运动时间为t (s),解答

19、下列问题：(1 )当t= 2时，判断 BPQ的形状，并说明理由；(2 )设厶BPQ的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式；4. 如图(10)所示：等边 ABC中，线段AD为其内角角平分线，过 D点的直线B1C1丄AC于G交AB的 延长线于B1.请你探究：些CD ,如CD是否都成立？AB DBAB DB1AC CD请你继续探究：若 ABC为任意三角形，线段 AD为其内角角平分线，请问 一 一 一定成立吗?AB DB并证明你的判断5. 如图12,在平面直角坐标系中，点 A、C分别在x轴、y轴上，四边形 ABCO为矩形，AB=16,点D与 点A关于y轴对称，AB:BC=4:3，点E、F分别是线

20、段 AD、AC上的动点(点 E不与点A、D重合)，且 /CEF = /ACB.(1) 求AC的长和点D的坐标；(2) 说明ZAEF与/DCE相似；图1216. 如图，在 Rt ABC中，/ B = 90, AB = 1, BC =，以点C为圆心，CB为半径的弧交 CA于点D ;2以点A为圆心，AD为半径的弧交 AB于点E.(1 )求AE的长度；(2)分别以点 A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F ( F与C在AB两侧)，连接 AF、EF ,设EF交弧DE所在的圆于点 G,连接AG,试猜想/ EAG的大小，并说明理由.(第题)7. (2011广东汕头，21, 9分)如图(1) , ABC

21、与厶EFD为等腰直角三角形， AC与DE重合，AB=EF=9, / BAC =Z DEF = 90固定 ABC，将 EFD绕点A顺时针旋转，当 DF边与AB边重合时，旋转中止. 不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF (或它们的延长线)分别交 BC (或它的延长线)于 G、 H点，如图(2).(1) 问：始终与 AGC相似的三角形有 及;(2) 设CG = x, BH = y,求y关于x的函数关系式(只要求根据 2的情况说明理由)；8. 如图8,A ABC,是一张锐角三角形的硬纸片， AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片 上剪下一个长 HG是宽HE的2倍的

22、矩形EFGH，使它的一边 EF在BC上，顶点G、H分别在AC , AB 上, AD与HG的交点为M.(1)求证：如匹;AD BC(2)求这个矩形EFGH的周长.9. (1)如图1，在/ABC中，点D , E, Q分别在 AB, AC, BC上，且DE ZBC, AQ交DE于点P.求证:DP PEBQ QC .(2)如图，在/ABC中，ZBAC=90,正方形 DEFG的四个顶点在/ABC的边上，连接 AG, AF分别交DE于M , N两点./如图2，若AB=AC= 1，直接写出 MN的长；10.如图，在 ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点.且满足 AD = AB, / ADE =/ C

23、 .(1)求证：/ AED = / ADC , / DEC = / B;(2)求证：ab2=ae?ac.AD11 学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直 角三角形相似的条件。（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或，两个直角三角形相似”。（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。已知：如图， 。试说明 Rt ABC s Rt A B C .12. 如图，

24、在 ABC中，/ C=90 , AC=8 , BC=6 . P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P 分别作AC、BC边的垂线，垂足为 M、N .设AP=x .在厶ABC中，AB= :（2）当x= 时，矩形PMCN的周长是14;（3）是否存在x的值，使得 PAM的面积、 PBN的面积与矩形 判断，并加以说明.13如图，已知 ABCABQ，相似比为k（ k 1）,且厶ABC的三边长分别为a、b、c（ a b c）, A1B1C1的三边长分别为Q、bj、g。若c 印，求证：a kc ； 若c aj，试给出符合条件的一对 abc和厶ABQ，使得a、b、c和ai、b、q进都是正整数，并加以说明

25、；2?请说明理由。若b a , c b ,是否存在厶abc和厶ABG使14. （2009武汉）如图1,在Rt ABC中,BAC 90 , AD丄BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F , OE丄BO 交BC边于点E .（1）求证： ABF COE ；(2)当0为AC边中点,ACAB2时，如图2,求0F的值;0E(3)当0为AC边中点,ACABn时，请直接写出E的值.图1图215.已知/ ABC=90,AB=2 BC=3 AD/ BC, P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足PQPCADAB(如图8所示)(1 )当AD=2,且点Q与点B重合时(如图9所示)，求线段 PC的长;3(2