汽车及发动机优化设计练习及答案

1、1.A.2.3.4.5.A.6.D.无约束非线性D. n50C.最小变化 则该矩阵为( 负定D.最大变化率。 )矩阵 负定二次型为了确定函数单峰区间内的极小点，可按照一定的规律给出若干试算点，AD.依次比A)变化的单峰区间D.低一低一咼。较各试算点的函数值大小，直到找到相邻三点的函数值按( 为止。A.咼一低一咼B.咼一低一低C.低一咼一低7.梯度法和牛顿法可看作是(C)的一种特例。A.共轭梯度法B.共轭方向法 C.变尺度法一、填空题1. 目标函数是设计变量的标量函数。2. 组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件 。3. 机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和

2、关键的一步，它是取得正确结果的前提。4设计空间中的一个点就是一种设计方案。5设计空间是所有设计方案的集合6下降迭代算法中的三个要素是：搜索方向、搜索步长、收敛准则。7. 方向导数是函数在某点沿指定方向的变化率 。8. 约束条件可以用数学 等式 或 不等式 来表示。9. 目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在 n+1,空间中描述出来，为了 在n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。10. 二元函数在某点处取得极值的必要条件是if X。=0充分条件是 该点处的海赛矩阵正定11 .多元函数F(x)在X*处梯度 F(x*) = 0是极值存在的必要条件。12. 拉格朗日乘子法

3、的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成 无约束 优化问题，这种方法又被称为升维 法。13. 数值解法的一般迭代公式是 Xk+= Xk+o(k d*_，其核心是 建立搜索方向,和计算最佳步长14 .公式Xk+=Xkdk表示了数值迭代搜索法由K到点(K + 1)间的搜索情况， X 式中kdk表示 搜索方向Xk,，k眾示 搜索步长。15.由于函数极值点的必要条件是函数在这一点的梯度值的模为_0，因此当迭代点的函数梯度的模已充分小时，贝U认为迭代可以终止 。16 .凸规划的一个重要性质是：凸规划的任何局部极小解一定是全局最优解。17. 函数f (xx2 )= x,2 +x22 -4虫2 +5在

4、X0 =弹点处的梯度为12 ，海赛矩阵* .0-418. 函数变化率最大的方向是梯度方向，函数变化率最大的数值是梯度的模。19 .函数 F(x)= 3X12+X22- 2x1 X2+2 在点(1，0)处的梯度为 (6,-2)T。20 .黄金分割法又叫0.618法是一种等比例缩短区间的直接搜索方法。21. 在单峰搜索区间a,b内,任取两个试算点a1,a2,若两点的函数值F(a1) F(a2), 则缩小后的区间a1,b。22. 最速下降法以_负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法,其收敛速度较慢 。23. 改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩24 .各种多维优化方法之间

5、的主要差异是在于构造的搜索方向。、单项选择题 (D )更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程。曲线或曲面B .曲线或等值面 C .曲面或等值线 D .等值线或等值面机械最优化设计问题多属于(C )优化问题。A.约束线性B.无约束线性C.约束非线性当设计变量数目(B )时，该设计问题称为中型优化问题A. n V10B. n= 10 50 C. n v 50梯度方向是函数具有(D )的方向。A.最速下降B.最速上升若矩阵A的各阶顺序主子式均大于零， 正定B.正定二次型C.D.复合形法8.数F(X)为在区间10，20内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F(13)F(16)，则

6、缩小后的区间为(A )。A. 10，16 B . 10，13 C . 13，16 D. 16，202 29目标函数F(x)= x1 +x2 -x1 x2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)= x1+ x2-1=0，贝U目标函数的极小值为(C )。A. 1B. 0.5C . 0.25D . 0.110 一个多元函数F(x)在x*附近偏导数连续,则该点为极小值点的充要条件是(C )。A? F(x*) = 0C? F(x*) = 0, G(x*)正定B. G（x*） = 0D? F（x*） = 0, G（x* 负定11对于多元函数的无约束优化问题，判断其最优点可以根据（A ）。A 目标函数的梯度

7、判定C 目标函数的形态判定B 目标函数的凹凸性判定D 目标函数值的大小判定12 若矩阵A的所有奇数阶主子式小于零，而所有偶数阶主子式大于零，则该矩阵 为（C ）矩阵。A .正定B .正定二次型 C .负定D .负定二次型13 .求多维优化问题目标函数的极值时，迭代过程每一步的格式都是从某一定点xk出发，沿着某一使目标函数（D ）的规定方向S（K）搜索，以找出此方向的极小点X (K+1)。A. 正定B .负疋C .上升D.下降14 .0.618法是一种（C。缩短区间的直接搜索方法。A.等和B .等差C .等比D.等积2 -1115 .海森矩阵H（X（0）:=-一12 其逆矩阵H（X（0） 一1

8、为1( B )o1 ；21；2仁1 ;2 -们1;2-1A . 5 I12-B .3 * 2-Ic .5-12D .3 I-1216 .多元函数F（X）在X*处存在极大值的充分必要条件是：在 X*处的Hessian矩阵 （C ）。A .等于零B .大于零C .负定D .正定17 对于一个无约束优化问题,若其一阶、二阶偏导数易计算，且设计变量不多（n 5020 .当满足（A ）条件时，矩阵A为正定矩阵。A .各阶顺序主子式均大于零C .各阶顺序主子式均小于零B .所有偶数阶主子式大于零D .所有奇数阶主子式小于零21.在任何一次迭代计算过程中，当起步点和搜索方向确定后，求系统目标函数的 极小值关

9、键就在于求出（C ）的最优值问题。A .约束B .等值线C .步长D .可行域22 .在设计空间内，目标函数值相等点的连线，对于三维以上问题，构成了（ D ）oA .等值域C .同心椭圆族B .等值面D .等值超曲面23 .在下列无约束优化方法中，（C ）需要计算Hessian矩阵。A. powell法C .牛顿法B.梯度法D .共轭梯度法24 .优化设计的自由度是指（A ）oA. 设计空间的维数C .可选优化方法数B. 所提目标函数数D .所提约束条件数25.对于函数F（x）=x12+2x22,从初始点x（0）=1，1T出发，沿方向 进行一维搜索，最优步长因子为（B ）A . 10/16B

10、. 5/9s(0)= -1，-2T1/2C. 9/3426 .函数S122X24 治2在点二3,2丁处的梯度是（CC . 7,一 2tD . 3，T组（ C ）的基本参数。D.相互约束 A ）oB .-2, 3t27 .A .-2，T优化设计的数学模型中，设计变量是28 .29 .30 .A.相互依赖 B .互为因果关系 C .相互独立 在设计空间内，目标函数值相等点的连线，对于二维问题，构成了（A.等值线B .等值面C .同心椭圆族 D .等值超曲面工程优化设计问题的数学本质是求解（A。的极限值。A.多变量非线性函数C .多变量线性函数B .少变量非线性函数D .多常量线性函数函数f（X）在

11、给定点X（K）的梯度向量是函数等值线在该点 X（K）的（D。方向。A.趋近线方向B .平行线方向C .切线方向 D .法线方向f（X1，X2）在点X*处存在极小值的充分条件是：要求函数在 X处的Hessian矩31 .阵 H（X ” ）为（B ）A.负定于零B.正定C .各阶方子式小于零D .各阶方子式等。A .0.618B .0.5C . 0.382D .0.7533 .已知函数F(X)=x12+x22-3x1x2+x1-2x2+1，则其Hessia n矩阵是（A ）o2-32 32 1-32A .|-32B .3 2C .-1 2D .-2-3C ）倍。32 .利用黄金分割法选取内分点原则

12、是每次舍弃的区间是原区间的（34 . n元函数在X”）点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目标函数值（A ）oA.变化最大35 .当设计变量数目A . n v 10B.变化最小C .近似恒定 D.变化不确定D。时，该设计问题称为大型优化问题。B . n = 10 50C . n v 50D . n 5036 .工程优化设计问题大多是（A.多变量无约束的非线性 B .多变量无约束的线性C。规划问题。C .多变量有约束的非线性D .多变量有约束的线性37 .函数的梯度是一个（B ）A.B.C.D.(B )。42 . n元函数F（X）在点X处梯度的模为（2x 243 .已知函数F(X

13、)= 2x14-1-12B.4-12 -1C.44.在设计空间内，目标函数值相等点的连线，A .等值域B .等值面45 .一维优化方程可用于多维优化问题在既定方向上寻求（对于四维以上问题，构成了（ D ）o C .同心椭圆族A .最优方向B .最优变量C .最优步长B .极限设计点C .外点A为负定矩阵。C .各阶顺序主子式均小于零D .所有参数阶主子式大于零D .可行点A 标量B 向量C T阶偏导数D 一阶偏导数38 黄金分割法是一种等比的缩短区间的（ B ）方法。A 间接搜索B 直接搜索C 下降搜索 D 上升搜索39.实际工程中约束问题的最优值f（X*）不一定是目标函数的自然最小值，但它却

14、是（C ）的最小值。A .函数可行域内B .约束条件限定下C .约束条件限定的可行域内D .转化为无约束下40 .利用0.618法在搜索区间a,b内确定两点a仁0.382,b1=0.618，由此可知区 间a,b的值是（D ）。A. 0,0.382 C. 0.618,1 B. 0.382,1 D.0,1 q41.约束极值点的库恩一塔克条件为 F（X）= gdX），当约束条件i=1gi（X） 0（i=1,2,，和）入i耳0 则q应为等式约束数目起作用的等式约束数目不等式约束数目 起作用的不等式约束数目石+石,cFA.|汩=If x1妆 2&nB. “F|=)2+(f )2 j)2D. |叩|=C.

15、1*1=tx1tx2ex nD)0（干）2（汗）2.（千）2x1;x2x n千.:F汗i 11 * * *r:x1.:x2.:x n2x2-x1x2+1，则其 Hessian 矩阵是(A )。D .等值超曲面 C ）的一维搜索。D .最优目标 46.凡在可行域内的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点称为（D ）oA .边界设计点47 .当满足（B ）条件时，矩阵 A .各阶顺序主子式均大于零 B .所有参数阶主子式小于零48. （ A ）的主要优点是省去了 Hessian矩阵的计算，被公认为是求解无约束优化 冋题最有效的算法之一。A. 变尺度法C .惩罚函数法B. 复合形法D .坐

16、标轮换法三、简答题1 .什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何 不同？1）内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近 约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 二crU（k = 12）c为惩罚因子的缩减系数，其为小于1的 正数，通常取值范围在0.1 0.72）外点惩罚函数法简称外点法，这种方法新目标函数定义在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上

17、的最优点。外点法可以用来求解含不等式和 等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于：的数列。惩罚因子按下式递增rk = crk（k = 1,2,），式中c为惩罚因子的递增系数， 通常取c = 5102.共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。1.对于二次函数，f X XtGX bTX c,从Xk点出发，沿G的某一共轭方向dk 作一维搜索，到达Xk 1点，则Xk 1点处的搜索方向dj应满足dj 丁 gk1-gki=0, 即终点Xk 1与始点Xk的梯度之差g-1 gk与dk的共轭方向dj正交。3 .为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进?

18、 第6页共12页XX0 二X1沿梯度方向进行一维搜索，有3.下表是用黄金分割法求目标函数却的极小值的计算过程，请完成下a答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于 迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向， 这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负 梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。5算法的收敛准则由哪些？试简单说明。略6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说明 略7 简述复合形法的基本思路 略 三、计算题1试用牛顿法求f （X ）=8为2+5X22的最优解，设X（）=【10。（迭

19、代一次即可）初始点为X 0 =10 10 T，则初始点处的函数值和梯度分别为f X0 =170016% 4x2200 ，4 10x2 二 140200 = 10一200 0140|口0-140： 0：0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件f X1 ；=min f X0 - 八 f X0 1Ct二min810 -200： 0 2410 -200：。10-140：。510-140： 021 f ： 2，故消去所以消去区间 怙1丨，得到新的搜索区间 l：1,bl，则形成新的搜索区间bl- Gbl- 0.6944,1】。至此完成第一次迭代， 继续重复迭代过程，最终可得到极小点。表。迭代序号aa1a2

20、by1比较y200.211、f (x) = 2xj ,6x2 1T ,迭代序号a12by1比较y200.20.50560.6944140.062629.496210.50560.69440.8111129.496225.4690八 f (x(0) )- L4,-6】T .x(1x(0)0“&(0)2-40,1-604.用牛顿法求目标函数f X =16xf 25x2+5的极小点，设X 0 - 12 22n令 C o) = (2-4 o)3(1-6 o),解：由 X 0 =（2 2T，贝H f X0 二、2f X0 -2f X032x16450x2|t 100求解min ( 0)Ct-2 r:T-2X-2 rIL%-2 r:t:x1:x2-2 r:T-2x2320050132丄50因此可得：XX0 -、2-1 2f X0 If X0 = 2令(-0 ) = -8(2-4。)- 36(1- 6 0 ) = 0 二X(1) = X(00-、(0)6.用共轭梯度法求解min14f(x-(x1,x2) 0132 f(x(4x!，2x2丄5064100第1次迭代:f X1 =5，从而经过一次迭代即求