【学案】两招解决极值点偏移

1、两招解决极值点偏移问题一、极值点偏移的含义众所周知，函数 f ( x) 满足定义域内任意自变量x 都有 f ( x)f (2m x) ，则函数 f ( x)关于直线 x m 对称；可以理解为函数f ( x) 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f ( x) 为单峰函数，则 xm 必为 f ( x) 的极值点 . 如二次函数 f ( x) 的顶点就是极值点 x0 ，若 f (x) c 的两根的中点为x1 x2 ，则刚好有 x1x2x0 ，即极值 点在两根的正中间，22也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f (x) 的极值点为m ，且函数f (x) 满足定义域内 xm

2、 左侧的任意自变量x 都有 f ( x)f (2m x) 或 f ( x)f (2mx) ，则函数 f (x) 极值点 m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数f (x) 定义域内任意不同的实数x1 , x2满足 f ( x1)f (x2 ) ，则 x1 x2 与极值点 m 必有确定的 大小关系：2若 mx1x2 ，则称为极值点 左偏；若 mx1x2 ，则称为极值点 右偏 .22如函数 g (x)xx1x2的左边，我们称x 的极值点 x0 1 刚好在方程 g( x)c 的两根中点e2之为 极值点左偏 .二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数f (x) 存在两个零点x1 , x2 且 x1x2

3、 ，求证： x1x22 x0 （ x0 为函数 f (x) 的极值点）；2.若函数 f ( x) 中存在 x1 , x2 且 x1x2 满足 f ( x1 )f (x2 ) ，求证： x1x22x0 （ x0 为函数 f ( x) 的极值点）；3.若函数 f ( x) 存在两 个零点 x1 , x2 且 x1x2 ，令 x0x1 x2 ，求证： f ( x0 )0 ；2x1x24.若函数f (x) 中存在 x1 , x2 且 x1x2 满足 f ( x1)f ( x2 ) ，令 x0，求证：2f (x0 )0 .二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（ 1）求出函数f ( x) 的

4、极值点 x0 ；（ 2）构造一元差函数F (x)f ( x0x)f ( x0x) ；（ 3）确 定函数F ( x) 的单调性；（ 4）结合F (0)0 ，判断F ( x) 的符号，从而确定f ( x0x)、f (x0x) 的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数f ( x) 满足f ( x1 )f (x2 ) ， x0 为函数f (x) 的极值点，求证：x1x22x0 .（1）讨论函数f ( x) 的单调性并求出f (x) 的极值点 x0 ；假设此处f ( x) 在 (, x0 ) 上单调递减，在(x0 ,) 上单调递增

5、 .（2）构造 F (x)f ( x0x)f ( x0 x) ；注：此处根 据题意需要还可以构造成 F ( x)f (x)f (2x0x) 的形式 .（ 3 ）通过求导F (x) 讨论 F ( x) 的单调性，判断出F ( x) 在某段区间上的正负，并得出f ( x0 x) 与 f (x0x) 的大小关系；假设此处F ( x)在(0,)上单调递增，那么我们便可得出F ( x) F ( x0 )f ( x0 )f (x0 )0 ，从而得到： xx0 时， f (x0x)f ( x0x) .（4）不妨设 x1x0x2 ，通过 f ( x) 的单调性， f ( x1 )f (x2 ) ， f ( x

6、0x) 与 f ( x0x) 的大小关系得出结论；接上述情况，由于 xx0 时， f ( x0x)f (x0x) 且 x1 x0x2 ， f (x1 )f (x2 ) ，故 f (x1 )f ( x2 )f x0(x2x0 )f x0(x2x0 )f (2x0x2 ) ，又因为 x1x0 ，2x0 x2x0 且 f (x) 在 (, x0 ) 上单调递减，从而得到 x1 2x0x2 ，从而 x1x22x0 得证.（5）若 要证明x1 x2) 0，还需进一步讨论x1x2x1x2所在的f (22与 x0 的大小， 得出2单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为x

7、1x2x1x2x0 ，由于 f (x) 在 (, x0 ) 上单2x0 ，故2调递减，故 f ( x1x2 )0 .2【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2 ）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f ( x) 的单调性、极值点，证明 f ( x0 x) 与 f ( x0x) （或 f ( x) 与 f (2x0 x) ）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 x1 x2 2x0或 f ( x1 x2 ) 0 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该2小问分解为三问逐步解题.【例题讲解】【例 1】已知函数f ( x)xe x ( xR

8、) .(1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值；(2)若 x1x2 ，且 f ( x1 )f ( x2 ) ，证明： x1x22 .【例 2】函数f ( x)x 22x1aex 有两极值点x1 , x2 ，且 x1x2 .证明： x1x24 .【例 3】已知函数 f ( x)2ln x ，若 xx，且 f ( x1 )f ( x2 ) ，证明： x1 x2 4 .x12【例 4】已知函数f xx 2 ex2x 的两个零点，a x 1 有两个零点 .设 x1 , x2 是 f证明： x1 x22.【例 5】已知函数 f x lnxax2 ，其中 aR（1）若函数 fx 有两个零点，求 a 的

9、取值范围；（2）若函数 fx 有极大值为1 ，且方程 fx m 的两根为 x1 , x2 ，且 x1x2 ，证明：2x1 x2 4a .【 例 8 】 已 知 函 数 f ( x)xa exb(a0,bR) ， 若 任 意 不 同 的 实 数 x1, x2 满 足f ( x1 )f (x2 ) ，求证： x1x22 ln a .题型二利用对数平均不等式ab(ab两个正数 a 和 b 的对数平均定义： L(a,b)ln aln b),a(ab).对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：ab L (a,b)a b （此式记为 对数平均不等式 ）2取等条件：当且仅当ab 时，等号成立 .只证：当ab

10、时，ab(a,b)ab 不失一般性，可设ab .L.2证明如下：（I）先证：abL(a,b)不等式ln aln babln aab2ln xx1( 其中xa1)abbbaxb构造函数 f ( x)2lnx(x1),( x1)，则 f ( x)2 11(1 1)2.xxx2x因为 x1时， f( x)0，所以函数f (x) 在 (1,) 上单调递减，故 f (x)f (1)0 ，从而不等式成立；（II）再证： L (a,b)ab22(aba2( a1)2(x1)a不等式ln aln b)lnbln x( 其中x1)aba(x1)b(1)bb构造函数 g( x)ln x2( x1)1) ，则 g(

11、x)14( x1)22 .,( xx(x2x( x1)( x 1)1)因为 x1时， g ( x)0 ，所以函数 g( x) 在 (1,) 上单调递增，故 g( x)g (1)0 ，从而不等式成立；综合（ I）（II）知， 对a,bR，都有对数平均不等式abL (a,b)ab 成立，2当且仅当 a b 时，等号成立 .【例 1 】已知函数f (x) ln xax ， a 为常数，若函数f ( x) 有两个零点x1 , x2 ，证明：x1 x2e2 .【例 2】已知函数 f x ln xba a, b R .x（）讨论函数fx的单调区间与极值；（）若 b0 且 f x0 恒成立，求ea 1 b 1 的最大值；（）在（）的条件下，且 ea 1b1取得最大值时，设 F ba1m m R ，且b函数 F x有两个零点 x1 , x2 ，求实数 m 的取值范围，并证明：x1 x2e2.【例 3】已知函数f ( x)( x2)exa( x1) 2 有两个零点x1 , x2 .证明： x1x22 .【例 4】已知函数fxxe xxR .如果 x1x2 ，且